Forma cúbica

Polinomio homogéneo de grado 3

En matemáticas , una forma cúbica es un polinomio homogéneo de grado 3, y una hipersuperficie cúbica es el conjunto cero de una forma cúbica. En el caso de una forma cúbica en tres variables, el conjunto cero es una curva plana cúbica .

En (Delone y Faddeev 1964), Boris Delone y Dmitry Faddeev demostraron que las formas cúbicas binarias con coeficientes enteros se pueden utilizar para parametrizar órdenes en cuerpos cúbicos . Su trabajo se generalizó en (Gan, Gross y Savin 2002, §4) para incluir todos los anillos cúbicos (aEl anillo cúbico es unanilloque es isomorfo aZ³como unmódulo Z ),^[1]dando unabiyecciónque preservael discriminanteentreórbitasde una acciónZ)en el espacio de formas cúbicas binarias integrales y anillos cúbicos hastael isomorfismo.

La clasificación de las formas cúbicas reales está vinculada a la clasificación de los puntos umbilicales de las superficies. Las clases de equivalencia de dichas cúbicas forman un espacio proyectivo real tridimensional y el subconjunto de formas parabólicas define una superficie: el toro umbilical . ^[2] ${\displaystyle ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3}}$

Ejemplos

• Curva plana cúbica
• Curva elíptica
• Fermat cúbico
• Cúbico triple
• Cúbica triple de Koras-Russell
• Triple cúbico de Klein
• Segre cúbico

Notas

1. De hecho, Pierre Deligne señaló que la correspondencia funciona según un esquema arbitrario .
2. Porteous, Ian R. (2001), Diferenciación geométrica, para la inteligencia de curvas y superficies (2.ª ed.), Cambridge University Press, pág. 350, ISBN 978-0-521-00264-6

Referencias

• Delone, Boris ; Faddeev, Dmitriĭ (1964) [1940, Traducido del ruso por Emma Lehmer y Sue Ann Walker], La teoría de las irracionalidades de tercer grado , Traducciones de monografías matemáticas, vol. 10, American Mathematical Society, MR  0160744
• Gan, Wee-Teck; Gross, Benedict ; Savin, Gordan (2002), "Coeficientes de Fourier de formas modulares en G ₂ ", Duke Mathematical Journal , 115 (1): 105–169, CiteSeerX  10.1.1.207.3266 , doi :10.1215/S0012-7094-02-11514-2, MR  1932327
• Iskovskikh, VA; Popov, VL (2001) [1994], "Forma cúbica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Iskovskikh, VA; Popov, VL (2001) [1994], "Hipersuperficie cúbica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Manin, Yuri Ivanovich (1986) [1972], Formas cúbicas, Biblioteca Matemática de Holanda Septentrional, vol. 4 (2.ª ed.), Ámsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-87823-6, Sr.  0833513