Cúbica triple de Koras-Russell

En geometría algebraica , las ternas cúbicas de Koras-Russell son ternas complejas afines suaves difeomorfas a las estudiadas por Koras y Russell (1997). Tienen una acción hiperbólica de un toro unidimensional con un único punto fijo, de modo que los cocientes de la terna y el espacio tangente del punto fijo por esta acción son isomorfos. Fueron descubiertas en el proceso de demostrar la Conjetura de Linealización en dimensión 3. Una acción lineal de sobre el espacio afín es una de la forma , donde y . La Conjetura de Linealización en dimensión dice que toda acción algebraica de sobre el espacio afín complejo es lineal en algunas coordenadas algebraicas en . M. Koras y P. Russell dieron un paso clave hacia la solución en dimensión 3, proporcionando una lista de ternas (ahora llamadas ternas de Koras-Russell) y demostrando ^[1] que la conjetura de linealización para se cumple si todas esas ternas son 3-espacios afines exóticos , es decir, ninguna de ellas es isomorfa a . Esto fue demostrado posteriormente por Kaliman y Makar-Limanov utilizando el invariante ML de una variedad afín , que había sido inventado exactamente para este propósito. ${\displaystyle \mathbf {C} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$ ${\displaystyle t*(x_{1},\ldots ,x_{n})=(t^{a_{1}}x_{1},t^{a_{2}}x_{2},\ldots ,t^{a_{n}}x_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle t\in \mathbf {C} ^{*}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{3}}$

Antes del artículo mencionado anteriormente, Russell observó que la hipersuperficie tiene propiedades muy similares a las del espacio tridimensional afín, como la contractibilidad, y estaba interesado en distinguirlas como variedades algebraicas . Esto se desprende ahora del cálculo de que y . ${\displaystyle R=\{x+x^{2}y+z^{2}+t^{3}=0\}}$ ${\displaystyle ML(R)=\mathbf {C} [x]}$ ${\displaystyle ML(\mathbf {A} ^{3})=\mathbf {C} }$

Referencias

1. Koras, Mariusz; Russell, Peter (1999). "C ^∗ -acciones sobre C ³ : el lugar geométrico liso del cociente no es de tipo hiperbólico". J. Algebraic Geom . 8 (4): 603–694.

Fuentes

• Koras, M.; Russell, Peter (1997), "Triples contráctiles y C ^* -acciones sobre C ³ ", Journal of Algebraic Geometry , 6 (4): 671–695, ISSN  1056-3911, MR  1487230, Zbl  0882.14013