En geometría y topología , la notación de poliedro de Conway , inventada por John Horton Conway y promovida por George W. Hart , se utiliza para describir poliedros basados en un poliedro semilla modificado por varias operaciones de prefijo . [1] [2]
Conway y Hart extendieron la idea de usar operadores, como el truncamiento según lo definido por Kepler , para construir poliedros relacionados de la misma simetría. Por ejemplo, tC representa un cubo truncado , y taC , analizado como t ( aC ) , es ( topológicamente ) un cuboctaedro truncado . El operador dual más simple intercambia elementos de vértice y cara ; por ejemplo, un cubo dual es un octaedro : dC = O . Aplicados en una serie, estos operadores permiten generar muchos poliedros de orden superior. Conway definió los operadores a (ambo), b ( bisel ), d ( dual ), e (expandir), g (giro), j (unir), k (kis), m (meta), o (orto), s ( desviación ) y t ( truncar ), mientras que Hart agregó r ( reflejar ) y p (hélice). [3] Implementaciones posteriores nombraron operadores adicionales, a veces denominados operadores "extendidos". [4] [5] Las operaciones básicas de Conway son suficientes para generar los sólidos de Arquímedes y de Catalan a partir de los sólidos platónicos . Algunas operaciones básicas pueden realizarse como compuestos de otras: por ejemplo, ambón aplicado dos veces es la operación de expansión ( aa = e ), mientras que un truncamiento después de ambón produce bisel ( ta = b ).
Los poliedros pueden estudiarse topológicamente, en términos de cómo se conectan entre sí sus vértices, aristas y caras, o geométricamente, en términos de la ubicación de esos elementos en el espacio. Diferentes implementaciones de estos operadores pueden crear poliedros que sean geométricamente diferentes pero topológicamente equivalentes. Estos poliedros topológicamente equivalentes pueden considerarse como una de las muchas incrustaciones de un grafo poliédrico en la esfera. A menos que se especifique lo contrario, en este artículo (y en la literatura sobre operadores de Conway en general) la topología es la preocupación principal. Los poliedros con género 0 (es decir, topológicamente equivalentes a una esfera) a menudo se ponen en forma canónica para evitar la ambigüedad.
En la notación de Conway, las operaciones sobre poliedros se aplican como funciones, de derecha a izquierda. Por ejemplo, un cuboctaedro es un cubo ambón , [6] es decir , , y un cuboctaedro truncado es . La aplicación repetida de un operador se puede denotar con un exponente: j 2 = o . En general, los operadores de Conway no son conmutativos .
Los operadores individuales pueden visualizarse en términos de dominios fundamentales (o cámaras), como se muestra a continuación. Cada triángulo rectángulo es un dominio fundamental . Cada cámara blanca es una versión rotada de las demás, y también lo es cada cámara coloreada. Para los operadores aquirales , las cámaras coloreadas son un reflejo de las cámaras blancas y todas son transitivas. En términos de grupo, los operadores aquirales corresponden a grupos diedros D n donde n es el número de lados de una cara, mientras que los operadores quirales corresponden a grupos cíclicos C n que carecen de la simetría reflexiva de los grupos diedros. Los operadores aquirales y quirales también se denominan operaciones de preservación de la simetría local (LSP) y operaciones locales que preservan las simetrías de preservación de la orientación (LOPSP), respectivamente. [7] [8] [9] Las LSP deben entenderse como operaciones locales que preservan la simetría, no operaciones que preservan la simetría local. Nuevamente, estas son simetrías en un sentido topológico, no geométrico: los ángulos exactos y las longitudes de los bordes pueden diferir.
Hart introdujo el operador de reflexión r , que da la imagen especular del poliedro. [6] Esto no es estrictamente un LOPSP, ya que no preserva la orientación: la invierte, intercambiando las cámaras blanca y roja. r no tiene efecto sobre los poliedros aquirales aparte de la orientación, y rr = S devuelve el poliedro original. Se puede usar una línea superior para indicar la otra forma quiral de un operador: s = rsr .
Una operación es irreducible si no puede expresarse como una composición de operadores además de d y r . La mayoría de los operadores originales de Conway son irreducibles: las excepciones son e , b , o y m .
La relación entre el número de vértices, aristas y caras de la semilla y el poliedro creado por las operaciones enumeradas en este artículo se puede expresar como una matriz . Cuando x es el operador, son los vértices, aristas y caras de la semilla (respectivamente), y son los vértices, aristas y caras del resultado, entonces
La matriz para la composición de dos operadores es simplemente el producto de las matrices de los dos operadores. Operadores distintos pueden tener la misma matriz, por ejemplo, p y l . El número de aristas del resultado es un múltiplo entero d del de la semilla: esto se llama tasa de inflación o factor de arista. [7]
Los operadores más simples, el operador identidad S y el operador dual d , tienen formas matriciales simples:
Dos operadores duales se cancelan; dd = S , y el cuadrado de es la matriz identidad . Cuando se aplica a otros operadores, el operador dual corresponde a reflexiones horizontales y verticales de la matriz. Los operadores se pueden agrupar en grupos de cuatro (o menos si algunas formas son iguales) identificando los operadores x , xd (operador de dual), dx (dual de operador) y dxd (conjugado de operador). En este artículo, solo se da la matriz para x , ya que las otras son reflexiones simples.
El número de LSP para cada tasa de inflación es comenzando con la tasa de inflación 1. Sin embargo, no todos los LSP necesariamente producen un poliedro cuyas aristas y vértices forman un grafo 3-conectado y, como consecuencia del teorema de Steinitz, no necesariamente producen un poliedro convexo a partir de una semilla convexa. El número de LSP 3-conectados para cada tasa de inflación es . [8]
Estrictamente, semilla ( S ), aguja ( n ) y cremallera ( z ) no fueron incluidas por Conway, pero están relacionadas con las operaciones originales de Conway por dualidad, por lo que se incluyen aquí.
A partir de aquí, las operaciones se visualizan en las semillas del cubo, dibujadas en la superficie de ese cubo. Las caras azules cruzan los bordes de la semilla y las caras rosas se encuentran sobre los vértices de la semilla. Existe cierta flexibilidad en la ubicación exacta de los vértices, especialmente con los operadores quirales.
Cualquier poliedro puede servir como semilla, siempre que las operaciones puedan ejecutarse sobre él. A las semillas comunes se les ha asignado una letra. Los sólidos platónicos se representan con la primera letra de su nombre (Tetraedro , Octaedro , Cubo , Isohedro , Dodecaedro ) ; los prismas ( Pn ) para formas n - gonales ; antiprismas ( An ) ; cupolas ( Un ) ; anticupulas ( Vn ) ; y pirámides ( Yn ) . Cualquier sólido de Johnson puede ser referenciado como Jn , para n = 1..92 .
Los cinco sólidos platónicos se pueden generar a partir de generadores prismáticos con cero a dos operadores: [14]
Las teselaciones euclidianas regulares también se pueden utilizar como semillas:
Se trata de operaciones creadas a partir del conjunto original de Conway. Nótese que existen muchas más operaciones de las que se han nombrado; el hecho de que una operación no esté aquí no significa que no exista (o que no sea una LSP o una LOPSP). Para simplificar, en esta lista solo se incluyen operadores irreducibles: se pueden crear otros componiendo operadores juntos.
Se pueden agrupar varios operadores según algunos criterios o modificar su comportamiento mediante un índice. [4] Estos se escriben como un operador con un subíndice: x n .
Las operaciones de aumento conservan los bordes originales. Pueden aplicarse a cualquier subconjunto independiente de caras o pueden convertirse en una forma de unión eliminando los bordes originales. La notación de Conway admite un índice opcional para estos operadores: 0 para la forma de unión o 3 o más para la cantidad de lados que tienen las caras afectadas. Por ejemplo, k 4 Y 4 =O: si se toma una pirámide de base cuadrada y se pega otra pirámide a la base cuadrada, se obtiene un octaedro.
El operador de truncamiento t también tiene una forma de índice t n , que indica que solo se truncan los vértices de un cierto grado. Es equivalente a dk n d .
Algunos de los operadores extendidos se pueden crear en casos especiales con operadores k n y t n . Por ejemplo, un cubo achaflanado , cC , se puede construir como t 4 daC , como un dodecaedro rómbico , daC o jC , con sus vértices de grado 4 truncados. Un cubo lofteado, lC es lo mismo que t 4 kC . Un quintododecaedro, qD se puede construir como t 5 daaD o t 5 deD o t 5 oD , un hexecontaedro deltoidal , deD u oD , con sus vértices de grado 5 truncados.
Meta agrega vértices en el centro y a lo largo de los bordes, mientras que bevel agrega caras en el centro, vértices semilla y a lo largo de los bordes. El índice es la cantidad de vértices o caras que se agregan a lo largo de los bordes. Meta (en su forma no indexada) también se llama cantitruncation u omnitruncation . Tenga en cuenta que 0 aquí no significa lo mismo que para las operaciones de aumento: significa que se agregan cero vértices (o caras) a lo largo de los bordes. [4]
Medial es como meta, excepto que no agrega aristas desde el centro a cada vértice semilla. La forma de índice 1 es idéntica a los operadores orto y expand de Conway: expand también se denomina cantelación y expansión . Tenga en cuenta que o y e tienen sus propias formas indexadas, que se describen a continuación. Tenga en cuenta también que algunas implementaciones comienzan la indexación en 0 en lugar de 1. [4]
Los operadores de Conway de Goldberg-Coxeter (GC) son dos familias infinitas de operadores que son una extensión de la construcción de Goldberg-Coxeter . [16] [17] La construcción GC puede considerarse como tomar una sección triangular de una red triangular, o una sección cuadrada de una red cuadrada, y colocarla sobre cada cara del poliedro. Esta construcción puede extenderse a cualquier cara identificando las cámaras del triángulo o cuadrado (el "polígono maestro"). [7] Los operadores de la familia triangular se pueden utilizar para producir los poliedros de Goldberg y los poliedros geodésicos : consulte la Lista de poliedros geodésicos y poliedros de Goldberg para obtener fórmulas.
Las dos familias son la familia GC triangular, c a,b y u a,b , y la familia GC cuadrilátera, e a,b y o a,b . Ambas familias GC están indexadas por dos números enteros y . Poseen muchas cualidades interesantes:
Los operadores se dividen en tres clases (los ejemplos están escritos en términos de c pero se aplican a los 4 operadores):
De las operaciones originales de Conway, las únicas que no pertenecen a la familia GC son g y s (gyro y snub). Meta y bevel ( m y b ) se pueden expresar en términos de un operador de la familia triangular y uno de la familia cuadrilátera.
Según la teoría básica de números, para cualquier valor de a y b , .
El conjunto original de operadores de Conway permite crear todos los sólidos de Arquímedes y los sólidos de Catalan , utilizando los sólidos platónicos como semillas. (Tenga en cuenta que el operador r no es necesario para crear ambas formas quirales).
El icosaedro truncado , tI , se puede utilizar como semilla para crear algunos poliedros visualmente más agradables, aunque estos no son transitivos ni por vértices ni por caras .
Cada uno de los mosaicos uniformes convexos y sus duales se pueden crear aplicando operadores de Conway a los mosaicos regulares Q , H y Δ .
Los operadores de Conway también se pueden aplicar a poliedros toroidales y poliedros con múltiples agujeros.
