Rombicuboctaedro

Sólido arquimediano con 26 caras

En geometría, el rombicuboctaedro es un sólido arquimediano con 26 caras, que consta de 8 triángulos equiláteros y 18 cuadrados. Johannes Kepler lo nombró en su Harmonices Mundi de 1618 , como abreviatura de rombo cuboctaédrico truncado , siendo rombo cuboctaédrico su nombre para un dodecaedro rómbico . ^[1]

El rombicuboctaedro es un sólido arquimediano y tiene como dual al sólido Catalan , icositetraedro deltoidal . La girobicúpula cuadrada alargada es un poliedro similar a un rombicuboctaedro, pero no es un sólido arquimediano porque no es transitivo por vértices . El esqueleto de un rombicuboctaedro se puede representar como un gráfico. El rombicuboctaedro se encuentra en diversas culturas en la arquitectura, los juguetes, las artes y otros lugares.

Construcción

El rombicuboctaedro se puede construir a partir de un cubo dibujando uno más pequeño en el medio de cada cara, paralelo a las aristas del cubo. Después de quitar las aristas de un cubo, los cuadrados se pueden unir agregando más cuadrados adyacentes entre ellos, y las esquinas se pueden llenar con los triángulos equiláteros . Otra forma de construir el rombicuboctaedro es uniendo dos cúpulas cuadradas regulares en las bases de un prisma octogonal regular . ^[2]

Proceso de expansión del rombicuboctaedro.

Un rombicuboctaedro también puede ser conocido como octaedro expandido o cubo expandido . Esto se debe a que el rombicuboctaedro también puede construirse separando y alejando las caras de un cubo o un octaedro regular de su centroide (en azul o rojo, respectivamente, en la animación), y rellenando entre ellas con los cuadrados y triángulos equiláteros. Este proceso de construcción se conoce como expansión . ^[3] Al utilizar todos estos métodos anteriores, el rombicuboctaedro tiene 8 triángulos equiláteros y 16 cuadrados como caras. ^[4] De manera relacionada, el rombicuboctaedro también puede construirse cortando todas las aristas y vértices de un cubo o un octaedro regular, un proceso conocido como rectificación . ^[5]

Las coordenadas cartesianas de un rombicuboctaedro con una longitud de arista 2 son las permutaciones de . ^[6] ${\displaystyle \left(\pm \left(1+{\sqrt {2}}\right),\pm 1,\pm 1\right)}$

Propiedades

Medición y propiedades métricas

El área de la superficie de un rombicuboctaedro se puede determinar sumando el área de todas las caras: 8 triángulos equiláteros y 18 cuadrados. El volumen de un rombicuboctaedro se puede determinar dividiendo el rombicuboctaedro en dos cúpulas cuadradas y un prisma octogonal. Dado que la longitud de la arista es , su área de superficie y volumen es: ^[7] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(18+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}&\approx 21.464a^{2},\\V&={\frac {12+10{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}&\approx 8.714a^{3}.\end{aligned}}}$$

La fracción de empaquetamiento óptima de los rombicuboctaedros está dada por Se observó que este valor óptimo se obtiene en una red de Bravais por de Graaf, van Roij y Dijkstra (2011). ^[8] Dado que el rombicuboctaedro está contenido en un dodecaedro rómbico cuya esfera inscrita es idéntica a su esfera inscrita, el valor de la fracción de empaquetamiento óptima es un corolario de la conjetura de Kepler : se puede lograr colocando un rombicuboctaedro en cada celda del panal dodecaédrico rómbico , y no se puede superar, ya que de lo contrario la densidad de empaquetamiento óptima de esferas podría superarse colocando una esfera en cada rombicuboctaedro del empaquetamiento hipotético que lo supera. ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle \eta ={\frac {4}{3}}\left(4{\sqrt {2}}-5\right).}$$

El ángulo diedro de un rombicuboctaedro se puede determinar sumando el ángulo diedro de una cúpula cuadrada y un prisma octagonal: ^[9]

• El ángulo diedro de un rombicuboctaedro entre dos cuadrados adyacentes tanto en la parte superior como en la inferior es el de una cúpula cuadrada 135°. El ángulo diedro de un prisma octagonal entre dos cuadrados adyacentes es el ángulo interno de un octógono regular 135°. El ángulo diedro entre dos cuadrados adyacentes en el borde donde una cúpula cuadrada está unida a un prisma octagonal es la suma del ángulo diedro de una cúpula cuadrada cuadrado a octógono y el ángulo diedro de un prisma octagonal cuadrado a octógono 45° + 90° = 135°. Por lo tanto, el ángulo diedro de un rombicuboctaedro por cada dos cuadrados adyacentes es 135°.
• El ángulo diedro de un rombicuboctaedro cuadrado-triángulo es el de una cúpula cuadrada entre esos 144,7°. El ángulo diedro entre cuadrado-triángulo, en el borde donde una cúpula cuadrada está unida a un prisma octogonal es la suma del ángulo diedro de una cúpula cuadrada triángulo-octágono y el ángulo diedro de un prisma octogonal cuadrado-octágono 54,7° + 90° = 144,7°. Por lo tanto, el ángulo diedro de un rombicuboctaedro para cada cuadrado-triángulo es 144,7°.

Un rombicuboctaedro tiene la propiedad de Rupert , lo que significa que hay un poliedro con el mismo tamaño o mayor que puede pasar a través de su agujero. ^[10]

Simetría y su familia de clasificación

Modelo 3D de un rombicuboctaedro

El rombicuboctaedro tiene la misma simetría que un cubo y un octaedro regular, la simetría octaédrica . ^[11] Sin embargo, el rombicuboctaedro también tiene un segundo conjunto de distorsiones con seis caras rectangulares y dieciséis trapezoidales, que no tienen simetría octaédrica sino simetría piritoédrica , por lo que son invariantes bajo las mismas rotaciones que el tetraedro pero diferentes reflexiones. ^[12] Es centrosimétrico , lo que significa que su simetría es intercambiable por la apariencia del centro de inversión . También es no quiral ; es decir, es congruente con su propia imagen especular. ^[13] ${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {h} }}$

El rombicuboctaedro es un sólido arquimediano , es decir, un poliedro altamente simétrico y semirregular, y dos o más caras poligonales regulares diferentes se encuentran en un vértice. ^[14] Las caras poligonales que se encuentran en cada vértice son un triángulo equilátero y tres cuadrados, y la figura del vértice se denota como . Su dual es el icositetraedro deltoidal , un sólido catalán , comparte la misma simetría que el rombicuboctaedro. ^[15] ${\displaystyle 3\cdot 4^{3}}$

La girobicúpula cuadrada alargada es el único poliedro que se parece al rombicuboctaedro. La diferencia es que la girobicúpula cuadrada alargada se construye girando una de sus cúpulas. En su momento se la consideró el decimocuarto sólido de Arquímedes, hasta que se descubrió que no es transitivo por vértices , por lo que se la categorizó como el sólido de Johnson . ^[16]

Gráfico

La gráfica de un rombicuboctaedro

El esqueleto de un rombicuboctaedro puede describirse como un grafo . Es un grafo poliédrico , lo que significa que es plano y conexo por 3 vértices . En otras palabras, las aristas de un grafo no se cruzan mientras se dibujan, y al eliminar dos de sus vértices se obtiene un subgrafo conexo. Tiene 24 vértices y 48 aristas. Es un cuártico , lo que significa que cada uno de sus vértices está conectado por cuatro vértices. Este grafo se clasifica como grafo arquimediano , porque se parece al grafo del sólido arquimediano. ^[17]

Apariciones

Numerosos objetos rombicuboctaédricos, como la Biblioteca Nacional de Minsk en la imagen conmemorativa (arriba a la izquierda) y la variante del cubo de Rubik (arriba a la derecha), también pueden aparecer en el arte, como en el Retrato de Luca Pacioli (abajo a la izquierda) y en la ilustración de Leonardo da Vinci de 1509 en la Divina proporción (abajo a la derecha).

El rombicuboctaedro aparece en la arquitectura, siendo un ejemplo de este edificio la Biblioteca Nacional situada en Minsk . ^[18] La Casa Wilson es otro ejemplo del edificio rombicuboctaedro, aunque su módulo se representó como un cubo truncado en el que todas las aristas están cortadas. Fue construido durante la Segunda Guerra Mundial y la Operación Breakthrough en la década de 1960. ^[19]

El rombicuboctaedro también se puede encontrar en juguetes. Por ejemplo, las líneas a lo largo de las cuales se puede girar un cubo de Rubik son, proyectadas sobre una esfera, similares, topológicamente idénticas, a las aristas de un rombicuboctaedro. Se han producido variantes que utilizan el mecanismo del cubo de Rubik, que se parecen mucho al rombicuboctaedro. Durante la locura del cubo de Rubik de la década de 1980, al menos dos rompecabezas giratorios vendidos tenían la forma de un rombicuboctaedro (el mecanismo era similar al del cubo de Rubik) ^{[20] [21]} Otro ejemplo se puede encontrar en los dados del castillo de Corfe , cada uno de cuyas caras cuadradas tienen marcas de pares de letras y puntos . ^[22]

El rombicuboctaedro también puede aparecer en el arte. Un ejemplo es el Retrato de Luca Pacioli de 1495 , tradicionalmente atribuido a Jacopo de' Barbari , que incluye un rombicuboctaedro de vidrio medio lleno de agua, que puede haber sido pintado por Leonardo da Vinci . ^[23] La primera versión impresa del rombicuboctaedro fue de Leonardo y apareció en la Divina proporción de Pacioli (1509).

Referencias

Notas

1. • Kepler (1997), pág. 119
   • Cromwell (1997), pág. 83
2. • Hartshorne (2000), pág. 463
   • Berman (1971), pág. 336, Véase la tabla IV, Propiedades de los poliedros convexos de caras regulares, línea 13. Aquí, representa el prisma octogonal y representa la cúpula cuadrada. ${\displaystyle P_{8}}$ ${\displaystyle M_{5}}$
3. Viana y col. (2019), pág. 1123, consulte la figura 6.
4. • Cockram (2020), pág. 52
   • Berman (1971), pág. 336, Véase la tabla IV, Propiedades de los poliedros convexos de caras regulares, línea 13.
5. Linti (2013), pág. 41.
6. Pastor (1954).
7. Berman (1971), pág. 336, Véase la tabla IV, Propiedades de los poliedros convexos de caras regulares, línea 13.
8. de Graaf, van Roij y Dijkstra (2011).
9. Johnson (1966).
10. • Hoffman (2019)
    • Chai, Yuan y Zamfirescu (2018)
11. • Koca y Koca (2013), pág. 48
    • Cromwell (1997), pág. 377. Véase la figura 10.12.
12. Cromwell (1997), pág. 386. Véase la Tabla 10.21, Clases de poliedros transitivos de vértice.
13. • O'Keeffe y Hyde (2020), pág. 54
    • Koca y Koca (2013), pág. 48
14. Diudea (2018), pág. 39.
15. Williams (1979), pág. 80.
16. • Cromwell (1997), pág. 91
    • Grünbaum (2009)
    • Lando y Zvonkin (2004)
17. Read y Wilson (1998), pág. 269.
18. • Gan (2020), pág. 14
    • Cockram (2020), pág. 52
19. Gabriel (1997), págs. 105-109.
20. "Bola de rompecabezas soviética". TwistyPuzzles.com . Consultado el 23 de diciembre de 2015 .
21. "Rompecabezas estilo diamante". Página de rompecabezas de Jaap . Consultado el 31 de mayo de 2017 .
22. Cromwell (1997), págs. 4-5.
23. MacKinnon, Nick (1993). "El retrato de Fra Luca Pacioli". The Mathematical Gazette . 77 (479): 143. doi :10.2307/3619717. JSTOR  3619717. S2CID  195006163.

Obras citadas

• Berman, Martin (1971), "Poliedros convexos de caras regulares", Journal of the Franklin Institute , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
• Chai, Ying; Yuan, Liping; Zamfirescu, Tudor (2018), "Propiedad de Rupert de los sólidos arquimedianos", The American Mathematical Monthly , 125 (6): 497–504, doi :10.1080/00029890.2018.1449505, S2CID  125508192.
• Cockram, Bernice (2020), En foco Geometría sagrada: tu guía personal, Wellfleet Press, ISBN 978-1-57715-225-5.
• Cromwell, Peter R. (1997), Poliedros, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55432-9.
• de Graaf, J.; van Roij, R.; Dijkstra, M. (2011), "Embalajes regulares densos de partículas irregulares no convexas", Physical Review Letters , 107 (15): 155501, arXiv : 1107.0603 , Bibcode : 2011PhRvL.107o5501D, doi : 10.1103/PhysRevLett.107.155501, 22107298  , S2CID  14041658.
• Diudea, MV (2018), Cúmulos poliédricos de múltiples capas, Springer , doi :10.1007/978-3-319-64123-2, ISBN 978-3-319-64123-2.
• Gabriel, JF (1997), Más allá del cubo: la arquitectura de los marcos espaciales y los poliedros, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-12261-6.
• Gan, Buntara Sthenly (2020), Modelado computacional de estructuras de tensegridad: arte, naturaleza, sistemas mecánicos y biológicos , Springer, doi : 10.1007/978-3-030-17836-9, ISBN 978-3-030-17836-9.
• Grünbaum, Branko (2009), "Un error duradero" (PDF) , Elemente der Mathematik , 64 (3): 89–101, doi : 10.4171/EM/120 , MR  2520469.
• Hartshorne, Robin (2000), Geometría: Euclides y más allá, Textos de pregrado en matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 9780387986500.
• Hoffmann, Balazs (2019), "Propiedades de Rupert de los poliedros y la constante de Nieuwland generalizada", Journal for Geometry and Graphics , 23 (1): 29–35
• Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Revista canadiense de matemáticas , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR  0185507, S2CID  122006114, Zbl  0132.14603
• Kepler, Johannes (1997), Armonía del mundo, American Philosophical Society, ISBN 978-0-87169-209-2Este texto fue traducido al inglés por Aiton EJ, Duncan EM, Field JV.
• Koca, M.; Koca, NO (2013), "Grupos de Coxeter, cuaterniones, simetrías de poliedros y politopos 4D", Física matemática: Actas de la 13.ª Conferencia regional, Antalya, Turquía, 27-31 de octubre de 2010 , World Scientific.
• Lando, Sergei K.; Zvonkin, Alexander K. (2004), Gráficos sobre superficies y sus aplicaciones, Springer, pág. 114, doi :10.1007/978-3-540-38361-1, ISBN 978-3-540-38361-1.
• Linti, G. (2013), "Compuestos encadenados - Grupo 13 [Al, Ga, In, Tl]", en Reedijk, J.; Poeppelmmeier, K. (eds.), Química inorgánica integral II: de los elementos a las aplicaciones , Newnes.
• O'Keeffe, Michael; Hyde, Bruce G. (2020), Estructuras cristalinas: patrones y simetría, Dover Publications , ISBN 978-0-486-83654-6.
• Read, RC; Wilson, RJ (1998), Un atlas de gráficos , Oxford University Press.
• Shepherd, GC (1954), "Una construcción para politopos wythoffianos", Revista canadiense de matemáticas , 6 (128–134), doi :10.4153/CJM-1954-015-5.
• Viana, Vera; Xavier, João Pedro; Aires, Ana Paula; Campos, Helena (2019), "Expansión interactiva de poliedros aquirales", en Cocchiarella, Luigi (ed.), ICGG 2018 - Actas de la 18.ª Conferencia Internacional sobre Geometría y Gráficos 40.º aniversario - Milán, Italia, 3-7 de agosto de 2018 , Springer, doi : 10.1007/978-3-319-95588-9, ISBN 978-3-319-95587-2.
• Williams, Robert (1979), La base geométrica de la estructura natural: un libro de referencia sobre diseño, Dover Publications, Inc.

Véase también

• Rombicuboctaedro truncado
• Estrella de Moravia

Lectura adicional

• Cromwell, P. (1997). Poliedros . Reino Unido: Cambridge. pp. 79–86. Sólidos arquimedianos . ISBN . 0-521-55432-2.
• Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (13 de mayo de 1954). "Poliedros uniformes". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Ciencias matemáticas y físicas . 246 (916): 401–450. Bibcode :1954RSPTA.246..401C. doi :10.1098/rsta.1954.0003. S2CID  202575183.
• Betke, U.; Henk, M. (2000), "Empaquetamientos reticulares más densos de 3-politopos", Computational Geometry , 16 (3): 157–186, arXiv : math/9909172 , doi : 10.1016/S0925-7721(00)00007-9
• Torquato, S.; Jiao, Y. (2009), "Empaquetamientos densos de los sólidos platónicos y arquimedianos", Nature , 460 (7257): 876–879, arXiv : 0908.4107 , Bibcode :2009Natur.460..876T, doi :10.1038/nature08239, PMID  19675649, S2CID  52819935
• Hales, Thomas C. (2005), "Una prueba de la conjetura de Kepler", Anales de Matemáticas , 162 (3): 1065–1185, arXiv : math/9811078v2 , doi : 10.4007/annals.2005.162.1065

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Rhombicuboctahedron" ("Sólido arquimediano") en MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Pequeño gráfico rombicuboctaédrico". MathWorld .
• Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D x3o4x - sirco".
• Los poliedros uniformes
• Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
• Red editable e imprimible de un rombicuboctaedro con vista 3D interactiva
• Estrella rombicuboctaedro de Sándor Kabai, Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Rombicuboctaedro: tiras de papel para trenzar