Icositetraedro deltoidal

Catalán sólido con 24 caras de cometa

Di como obra de arte y morir

Di proyectado sobre cubo y octaedro en Perspectiva Corporum Regularium

Modelo de cristal dodecaedro de Dyakis y proyección sobre octaedro

En geometría , el icositetraedro deltoidal (o icositetraedro trapezoidal , icosikaitetraedro tetragonal , ^[1] trisoctaedro tetragonal , ^[2] icositetraedro estrómbico ) es un sólido catalán . Sus 24 caras son cometas congruentes . ^[3] El icositetraedro deltoidal, cuyo dual es el rombicuboctaedro (uniforme) , está estrechamente relacionado con el icositetraedro pseudodeltoidal, cuyo dual es el pseudorhombicuboctaedro ; pero el di real y el pseudo-di no deben confundirse entre sí.

Coordenadas cartesianas

En la imagen de arriba, las diagonales del cuerpo largo son las que se encuentran entre los vértices opuestos de color rojo y entre los vértices opuestos de color azul, y las diagonales del cuerpo corto son las que se encuentran entre los vértices opuestos de color amarillo.
Las coordenadas cartesianas de los vértices del icositetraedro deltoidal centrado en el origen y con una longitud de diagonal del cuerpo largo de 2 son:

• vértices rojos (que se encuentran en los ejes de simetría del pliegue): ${\displaystyle 4}$

${\displaystyle \left(\pm 1,0,0\right),\left(0,\pm 1,0\right),\left(0,0,\pm 1\right);}$

• vértices azules (que se encuentran en los ejes de simetría del pliegue): ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \left(0,\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right),\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},0,\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right),\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},0\right);}$

• vértices amarillos (que se encuentran en los ejes de simetría del pliegue): ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}},\pm {\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}},\pm {\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}}\right).}$

Por ejemplo, el punto con coordenadas es la intersección del plano con ecuación y de la recta con sistema de ecuaciones. ${\displaystyle \left({\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}},{\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}},{\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\sqrt {2}}-1\right)x+\left({\sqrt {2}}-1\right)y+1\left(z-1\right)=0}$ ${\displaystyle x=y=z\,.}$

Un icositetraedro deltoidal tiene tres ecuadores octogonales regulares, ubicados en tres planos ortogonales.

Dimensiones y ángulos

Dimensiones

El icositetraedro deltoidal con longitud diagonal del cuerpo largo D = 2 tiene:

• Longitud diagonal del cuerpo corto:

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {3}}\left(2{\sqrt {2}}+1\right)}{7}}\approx 1.894\,580;}$

• longitud del borde largo: ^[4]

${\displaystyle S={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\approx 0.765\,367;}$

• longitud del borde corto: ^[4]

${\displaystyle s={\frac {\sqrt {20-2{\sqrt {2}}}}{7}}\approx 0.591\,980;}$

• radio interior: ^[4]

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {7+4{\sqrt {2}}}{17}}}\approx 0.862\,856.}$

${\displaystyle r}$es la distancia desde el centro a cualquier plano de la cara; se puede calcular normalizando la ecuación del plano anterior, reemplazando ( x , y , z ) con (0, 0, 0) y tomando el valor absoluto del resultado.

Un icositetraedro deltoidal tiene sus aristas larga y corta en la proporción:

${\displaystyle {\frac {S}{s}}=2-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 1.292\,893.}$

El icositetraedro deltoidal con arista corta tiene: ${\displaystyle s}$

• Área: ^[4]

${\displaystyle A=6{\sqrt {29-2{\sqrt {2}}}}\,s^{2};}$

• volumen: ^[4]

${\displaystyle V={\sqrt {122+71{\sqrt {2}}}}\,s^{3}.}$

Anglos

Para un icositetraedro deltoidal, cada cara de la cometa tiene:

• tres ángulos agudos iguales, con valor:

${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{4}}\right)\approx 81.578\,942^{\circ };}$

• un ángulo obtuso (entre los bordes cortos), con valor:

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {2}}{8}}\right)\approx 115.263\,174^{\circ }.}$

Longitudes de los lados

En un icositetraedro deltoidal, cada cara es un cuadrilátero con forma de cometa. Las longitudes de los lados de estas cometas se pueden expresar en la relación 0,7731900694928638:1. En concreto, el lado adyacente al ángulo obtuso tiene una longitud de aproximadamente 0,707106785, mientras que el lado adyacente al ángulo agudo tiene una longitud de aproximadamente 0,914213565.

Apariciones en la naturaleza y la cultura

El icositetraedro deltoidal es un hábito cristalino formado a menudo por el mineral analcima y, ocasionalmente, por granate . La forma suele denominarse trapezoedro en contextos minerales, aunque en geometría sólida el nombre trapezoedro tiene otro significado.

En Guardianes de la Galaxia Vol. 3, el dispositivo que contiene los archivos sobre los experimentos realizados en Rocket Raccoon tiene la forma de un icositetraedro deltoidal.

Proyecciones ortogonales

El icositetraedro deltoidal tiene tres posiciones de simetría, todas centradas en los vértices:

Poliedros relacionados

La proyección del icositetraedro deltoidal sobre un cubo divide sus cuadrados en cuadrantes. La proyección sobre un octaedro regular divide sus triángulos equiláteros en caras de cometa. En la notación de poliedros de Conway, esto representa una operación ortogonal a un cubo u octaedro.

El icositetraedro deltoidal (dual del rombicuboctaedro pequeño ) está estrechamente relacionado con el disdyakisdodecaedro (dual del rombicuboctaedro grande ) . La principal diferencia es que este último también tiene aristas entre los vértices en ejes de simetría 3 y 4 veces mayores (entre los vértices amarillo y rojo en las imágenes siguientes) .

Dodecaedro de Dyakis

Una variante con simetría piritoédrica se llama diakis dodecaedro ^{[5] [6]} o diploide . ^[7] Es común en cristalografía .
Un diakis dodecaedro se puede crear ampliando 24 de las 48 caras de un disdyakis dodecaedro. Un tetartoide se puede crear ampliando 12 de las 24 caras de un diakis dodecaedro.

Modelo 3D de un dodecaedro diakis

^[8]

Estelación

El gran triakis octaedro es una estelación del icositetraedro deltoidal.

Poliedros y teselaciones relacionados

El icositetraedro deltoidal es miembro de una familia de duales de los poliedros uniformes relacionados con el cubo y el octaedro regular.

Al proyectarlo sobre una esfera (ver a la derecha), se puede ver que las aristas forman las aristas de un cubo y un octaedro regular dispuestos en sus posiciones duales . También se puede ver que las esquinas 3 y 4 veces se pueden hacer para que tengan la misma distancia al centro. En ese caso, el icositetraedro resultante ya no tendrá un rombicuboctaedro para un dual, ya que los centros de las caras cuadrada y triangular de un rombicuboctaedro están a diferentes distancias de su centro.

Este poliedro es un término de una secuencia de poliedros deltoidales topológicamente relacionados con la configuración de caras V3.4. n .4; esta secuencia continúa con teselación de los planos euclidiano e hiperbólico . Estas figuras transitivas de caras tienen (* n 32) simetría reflexiva .

Véase también

• Hexecontaedro deltoidal
• Hexaedro tetrakis , otro sólido catalán de 24 caras que parece un cubo demasiado inflado.
• “ El Morador de las Tinieblas ”, relato de H.P. Lovecraft, cuya trama involucra a este personaje.

Referencias

1. Conway, Simetrías de las cosas , pág. 284–286.
2. "Palabra clave: "formularios" | ClipArt ETC".
3. "Cometa" . Consultado el 6 de octubre de 2019 .
4. Weisstein, Eric W. "Icositetraedro deltoidal". mathworld.wolfram.com . Consultado el 6 de octubre de 2022 .
   En esta entrada de MathWorld, el pequeño rombicuboctaedro tiene longitud de arista , por lo que este srcoh tiene circunradio y radio medio , por lo que el dual de este srcoh con respecto a su esfera media común es el icositetraedro deltoidal con radio interno × × ${\displaystyle a=1;}$ ${\displaystyle R={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {2}}}}{2}}}$ ${\displaystyle \rho ={\sqrt {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}};}$ ${\displaystyle r_{_{a=1}}={\frac {\rho ^{2}}{R}}={\sqrt {\frac {2\left(7+4{\sqrt {2}}\right)}{17}}}={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {7+4{\sqrt {2}}}{17}}}={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle r_{_{D=2}}.}$
5. Isoedro 24k
6. El sistema cristalino isométrico
7. Las 48 formas especiales de cristal
8. Ambos se indican en los dos modelos de cristal que aparecen en la esquina superior derecha de esta foto . Se puede ver una demostración visual aquí y aquí.

• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3-9)
• Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, Sr.  0730208(Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales, página 23, Icositetraedro deltoidal)
• Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Capítulo 21, Denominación de los poliedros y teselaciones de Arquímedes y de Catalan, página 286, icosicaitetraedro tetragonal) 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Icositetraedro deltoidal" ("Sólido catalán") en MathWorld .
• Icositetraedro deltoidal (trapezoidal): modelo poliedro interactivo