Construcción Goldberg-Coxeter

Poliedro de Goldberg (3,1) y poliedro geodésico (3,1). Los poliedros de Goldberg y los poliedros geodésicos fueron precursores de la operación Goldberg-Coxeter.

La construcción de Goldberg-Coxeter u operación de Goldberg-Coxeter ( construcción GC u operación GC ) es una operación gráfica definida sobre grafos poliédricos regulares de grado 3 o 4. ^{[1] [2]} También se aplica al grafo dual de estos grafos, es decir, grafos con "caras" triangulares o cuadriláteras. La construcción GC puede considerarse como una subdivisión de las caras de un poliedro con una red de polígonos triangulares, cuadrados o hexagonales, posiblemente sesgados con respecto a la cara original: es una extensión de los conceptos introducidos por los poliedros de Goldberg y los poliedros geodésicos . La construcción GC se estudia principalmente en química orgánica por su aplicación a los fulerenos , ^{[1] [2]} pero se ha aplicado a las nanopartículas , ^[3] al diseño asistido por ordenador , ^[4] al tejido de cestas , ^{[5] [6]} y al estudio general de la teoría de grafos y los poliedros . ^[7]

La construcción de Goldberg-Coxeter se puede denotar como , donde es el gráfico sobre el que se opera, y son números enteros, , y . ${\displaystyle GC_{k,\ell }(G_{0})}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \ell \geq 0}$

Historia

Michael Goldberg introdujo el poliedro de Goldberg en 1937. ^[8] Buckminster Fuller acuñó el término " domo geodésico " en la década de 1940, aunque mantuvo en gran medida las matemáticas detrás de los domos como un secreto comercial. ^[9] Los domos geodésicos son el dual geométrico de (una sección de) un poliedro de Goldberg: un domo geodésico completo puede considerarse como un poliedro geodésico , dual del poliedro de Goldberg. En 1962, Donald Caspar y Aaron Klug publicaron un artículo sobre la geometría de las cápsides virales que aplicaban y ampliaban los conceptos de Goldberg y Fuller. ^[10] HSM Coxeter publicó un artículo en 1971 que cubría gran parte de la misma información. ^[11] Caspar y Klug fueron los primeros en publicar la construcción correcta más general de un poliedro geodésico, lo que hace que el nombre "construcción de Goldberg-Coxeter" sea un ejemplo de la ley de epónimo de Stigler . ^[12]

El descubrimiento del buckminsterfullereno en 1985 motivó la investigación de otras moléculas con la estructura de un poliedro de Goldberg. Los términos "fulereno de Goldberg-Coxeter" y "construcción de Goldberg-Coxeter" fueron introducidos por Michel Deza en 2000. ^{[13] [14]} Esta es también la primera vez que se considera el caso de grado 4.

Construcción

Esta sección sigue en gran medida los dos artículos de Deza et al. ^{[1] [2]}

Polígonos maestros

Las redes regulares sobre el plano complejo se pueden utilizar para crear "polígonos maestros". En la terminología de la cúpula geodésica, esta es la "estructura de ruptura" o "triángulo poliédrico principal" (PPT). El caso 4-regular utiliza la red cuadrada sobre los números enteros gaussianos , y el caso 3-regular utiliza la red triangular sobre los números enteros de Eisenstein . Por conveniencia, se utiliza una parametrización alternativa de los números enteros de Eisenstein, basada en la sexta raíz de la unidad en lugar de la tercera. ^[a] La definición habitual de los números enteros de Eisenstein utiliza el elemento . Una norma, , se define como el cuadrado del valor absoluto del número complejo . Para los gráficos 3-regulares, esta norma es el número T o número de triangulación utilizado en virología. ${\textstyle \omega ={\frac {1}{2}}\left(-1+i{\sqrt {3}}\right)=e^{{\frac {2}{3}}\pi i}=u-1}$ ${\displaystyle t(k,\ell )}$

El polígono maestro es un triángulo o cuadrado equilátero colocado sobre la red. La tabla de la derecha proporciona fórmulas para los vértices de los polígonos maestros en el plano complejo, y la galería de abajo muestra el triángulo y el cuadrado maestros (3,2). Para que el polígono pueda describirse con un solo número complejo, un vértice se fija en 0. Hay varios números que pueden describir el mismo polígono: estos son asociados entre sí: si y son asociados, entonces en las ecuaciones de Eisenstein o en las ecuaciones de Gauss para algún entero . El conjunto de elementos que son asociados entre sí es una clase de equivalencia , y el elemento de cada clase de equivalencia que tiene y es la forma normal . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=u^{n}y}$ ${\displaystyle x=i^{n}y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b\geq 0}$

• 
  (3,2) Triángulo maestro sobre cuadrícula triangular
• 
  (3,2) Cuadrado maestro sobre cuadrícula

Los polígonos maestros y el operador , se pueden clasificar de la siguiente manera: ${\displaystyle GC_{k,\ell }\left(G_{0}\right)}$

• Clase I: ${\displaystyle \ell =0.}$
• Clase II: ${\displaystyle k=\ell .}$
• Clase III: todos los demás. Los operadores de clase III existen en pares quirales: es el par quiral de . ${\displaystyle GC_{k,\ell }\left(G_{0}\right)}$ ${\displaystyle GC_{\ell ,k}(G_{0})}$

A continuación se muestran las tablas de triángulos y cuadrados maestros. La clase I corresponde a la primera columna y la clase II a la diagonal con un fondo ligeramente más oscuro.

Polígonos maestros para triángulos

Polígonos maestros para cuadrados

La composición de las operaciones de Goldberg-Coxeter corresponde a la multiplicación de números complejos. Si y solo si (es decir, la serie de operaciones de la izquierda produce un grafo isomorfo al de la derecha), entonces para un grafo 3-regular está en la clase de equivalencia de , y para un grafo 4-regular está en la clase de equivalencia de . Esto tiene algunas consecuencias útiles: ${\displaystyle GC_{a,b}\left(GC_{c,d}\left(G_{0}\right)\right)=GC_{e,f}\left(G_{0}\right)}$ ${\displaystyle (a+bu)(c+du)}$ ${\displaystyle (e+fu)}$ ${\displaystyle (a+bi)(c+di)}$ ${\displaystyle (e+fi)}$

• La aplicación de operaciones repetidas de Goldberg-Coxeter es conmutativa y asociativa .
• La conjugación compleja del elemento o corresponde a la reflexión del grafo construido. ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a+bu}$
• Dado que los números enteros gaussianos y euclidianos son ambos dominios euclidianos , los elementos de esos dominios pueden factorizarse de forma única en elementos primos. Por lo tanto, también tiene sentido descomponer un operador de Goldberg-Coxeter en una secuencia de operadores de Goldberg-Coxeter "primos", y esta secuencia es única (salvo reordenamiento).

Realizando la construcción del GC

Los pasos para realizar la construcción del GC son los siguientes: ${\displaystyle GC_{k,\ell }(G_{0})}$

1. Determinar el polígono maestro, basándose en , y ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle G_{0}}$
2. Si se trabaja con un gráfico 3 o 4-regular (en lugar de un gráfico con caras triangulares o cuadriláteras), se toma su gráfico dual . Este gráfico dual tendrá caras triangulares o cuadriláteras.
3. Reemplace las caras del gráfico triangulado/cuadrangulado con el polígono maestro. Tenga en cuenta que los gráficos planos tienen una cara "externa" que también debe reemplazarse. En el siguiente ejemplo, esto se hace uniéndola a un lado del gráfico y conectando otros lados según sea necesario. Esto introduce temporalmente bordes superpuestos en el gráfico, pero el gráfico resultante es plano. Los vértices se pueden reorganizar para que no haya bordes superpuestos.
4. Si el gráfico original era un gráfico regular de 3 o 4 elementos, tome el dual del resultado del paso 3. De lo contrario, el resultado del paso 3 es la construcción GC.

A continuación se muestra un ejemplo, donde se construye sobre el esqueleto de un cubo . En los dos últimos gráficos, las líneas azules son los bordes de , mientras que las líneas negras son los bordes de . (Las líneas punteadas son los bordes normales del gráfico, simplemente se dibujan de manera diferente para hacer que los bordes superpuestos del gráfico sean más visibles). Los vértices rojos están en y permanecen en , mientras que los vértices azules son nuevos creados por la construcción y solo están en . ${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$ ${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$

• 
  Cuadrado maestro (1,1)
• 
  Poliedro inicial (Cubo)
• 
  ${\displaystyle G_{0}}$, el esqueleto del cubo
• 
  Paso intermedio de construcción . ${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$
• 
  El resultado , después de la reorganización ${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$
• 
  Incorporación del resultado ( dodecaedro rómbico )

Extensiones

La construcción de Goldberg-Coxeter se puede extender fácilmente a algunos gráficos no planos, como los gráficos toroidales . ^[15] Los operadores de clase III, debido a su quiralidad, requieren un gráfico que pueda incrustarse en una superficie orientable , pero los operadores de clase I y II se pueden usar en gráficos no orientables.

Véase también

• Cuadrícula geodésica
• Cubo esférico cuadrilátero
• Superficie de subdivisión de bucle
• Superficie de la subdivisión Catmull–Clark
• Notación del poliedro de Conway

Notas al pie

1. Esto simplifica la definición de la clase de equivalencia, hace que la definición de clase sea la misma para gráficos 3- y 4-regulares y se corresponde con la parametrización tradicionalmente utilizada para domos geodésicos y poliedros de Goldberg.

Referencias

1. Deza, M.; Dutour, M (2004). "Construcciones de Goldberg–Coxeter para grafos planos 3-y 4-valentes". The Electronic Journal of Combinatorics . 11 : #R20. doi : 10.37236/1773 .
2. Deza, M.-M.; Sikirić, MD; Shtogrin, MI (2015). "Construcción y parametrización de Goldberg-Coxeter". Estructura geométrica de grafos relevantes para la química: zigzags y circuitos centrales . Springer. págs. 131–148. ISBN 9788132224495.
3. Indelicato, G; Burkhard, P; Twarock, R (2017). "Clasificación de arquitecturas de nanopartículas proteicas autoensamblables para aplicaciones en el diseño de vacunas". Royal Society Open Science . 4 (4): 161092. Bibcode :2017RSOS....461092I. doi :10.1098/rsos.161092. PMC 5414263 . PMID  28484626. 
4. Kotani, M; Naito, H; Omori, T (2017). "Una teoría de superficies discretas". Diseño geométrico asistido por computadora . 58 : 24–54. doi : 10.1016/j.cagd.2017.09.002 .
5. Tarnai, T. (2006). Cestas (PDF) . IASS-APCS 2006 Int. Symp. New Olympics New Shell and Spatial Structures. Universidad Tecnológica de Beijing: Asociación Internacional de Estructuras Espaciales y de Concha. pp. IL09.
6. Tarnai, T.; Kovacs, F.; Fowler, PW; Guest, SD (2012). "Envolviendo el cubo y otros poliedros". Actas de la Royal Society A . 468 (2145): 2652. Bibcode :2012RSPSA.468.2652T. doi : 10.1098/rspa.2012.0116 .
7. Nicodemos, Diego; Stehlík, Matěj (2018). "Empaquetado y recubrimiento de ciclos impares en grafos cúbicos planos con caras pequeñas". Revista Europea de Combinatoria . 67 : 208–221. arXiv : 1701.07748 . doi :10.1016/j.ejc.2017.08.004. S2CID  27137740.
8. Goldberg, M. (1937). "Una clase de poliedros multisimétricos". Tohoku Mathematical Journal .
9. Kenner, H. (1976). Matemáticas geodésicas y cómo utilizarlas . Prensa de la Universidad de California.
10. Caspar, DLD; Klug, A. (1962). "Principios físicos en la construcción de virus regulares". Cold Spring Harb. Symp. Quant. Biol . 27 : 1–24. doi :10.1101/sqb.1962.027.001.005. PMID  14019094.
11. Coxeter, HSM (1971). "Macromoléculas víricas y domos geodésicos". En Butcher, JC (ed.). Un espectro de matemáticas . Oxford University Press. págs. 98-107.
12. Brinkmann, G.; Goetschalckx, P.; Schein, S. (2017). "Goldberg, Fuller, Caspar, Klug y Coxeter y un enfoque general para operaciones locales de preservación de la simetría". Actas de la Royal Society A . 473 (2206): 20170267. arXiv : 1705.02848 . Código Bibliográfico :2017RSPSA.47370267B. doi :10.1098/rspa.2017.0267. S2CID  119171258.
13. Deza, M; Fowler, P. W; Rassat, A; Rogers, K. M (2000). "Fullerenos como mosaicos de superficies". Revista de información química y ciencias de la computación . 40 (3): 550–8. CiteSeerX 10.1.1.105.5973 . doi :10.1021/ci990066h. PMID  10850758. 
14. Hirsch, Andrés; Chen, Zhongfang; Jiao, Haijun (2000). "Aromaticidad esférica en Ih fullerenos simétricos: la regla 2 (N + 1) 2". Angewandte Chemie . 39 (21): 3915–3917. doi :10.1002/1521-3773(20001103)39:21<3915::AID-ANIE3915>3.0.CO;2-O. PMID  29711706.
15. Deza, Michel-Marie; Sikirić, Mathieu Dutour (2016). "Esferas y toros tipo Lego". Revista de química matemática . 55 (3): 752. doi :10.1007/s10910-016-0706-8. S2CID  125087322.