Notación de corchetes

Notación para estados cuánticos

La notación Bra-ket , también llamada notación de Dirac , es una notación para álgebra lineal y operadores lineales en espacios vectoriales complejos junto con su espacio dual tanto en el caso de dimensión finita como en el de dimensión infinita. Está diseñada específicamente para facilitar los tipos de cálculos que surgen con frecuencia en la mecánica cuántica . Su uso en mecánica cuántica está bastante extendido.

La notación bra-ket fue creada por Paul Dirac en su publicación de 1939 Una nueva notación para la mecánica cuántica . La notación se introdujo como una forma más sencilla de escribir expresiones mecánicas cuánticas. ^[1] El nombre proviene de la palabra inglesa "bracket".

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , la notación bra-ket se utiliza de forma generalizada para indicar estados cuánticos . La notación utiliza corchetes angulares , y , y una barra vertical , para construir "bras" y "kets". ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$ ${\displaystyle |}$

Un ket tiene la forma . Matemáticamente denota un vector , , en un espacio vectorial abstracto (complejo) , y físicamente representa un estado de algún sistema cuántico. ${\displaystyle |v\rangle }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle V}$

Un sujetador tiene la forma . Matemáticamente denota una forma lineal , es decir, una función lineal que asigna cada vector a un número en el plano complejo . Si la función lineal actúa sobre un vector se escribe . ${\displaystyle \langle f|}$ ${\displaystyle f:V\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle f|}$ ${\displaystyle |v\rangle }$ ${\displaystyle \langle f|v\rangle \in \mathbb {C} }$

Supongamos que en existe un producto interno con primer argumento antilineal , lo que forma un espacio de producto interno . Entonces, con este producto interno , cada vector puede identificarse con una forma lineal correspondiente, colocando el vector en la primera ranura antilineal del producto interno: . La correspondencia entre estas notaciones es entonces . La forma lineal es un covector de , y el conjunto de todos los covectores forma un subespacio del espacio vectorial dual , al espacio vectorial inicial . El propósito de esta forma lineal ahora puede entenderse en términos de hacer proyecciones sobre el estado para encontrar cuán linealmente dependientes son dos estados, etc. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\equiv |\phi \rangle }$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {\phi }},\cdot )\equiv \langle \phi |}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {\phi }},{\boldsymbol {\psi }})\equiv \langle \phi |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi |}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle V^{\vee }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \phi |}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }},}$

Para el espacio vectorial , kets se puede identificar con vectores columna y bras con vectores fila. Las combinaciones de bras, kets y operadores lineales se interpretan utilizando la multiplicación de matrices . Si tiene el producto interno hermítico estándar , bajo esta identificación, la identificación de kets y bras y viceversa proporcionada por el producto interno está tomando el conjugado hermítico (denotado ). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=v^{\dagger }w}$ ${\displaystyle \dagger }$

Es común suprimir la forma vectorial o lineal de la notación bra–ket y solo usar una etiqueta dentro de la tipografía para el bra o ket. Por ejemplo, el operador de espín en un espacio bidimensional de espinores tiene valores propios con espinores propios . En la notación bra–ket, esto se denota típicamente como , y . Como se mencionó anteriormente, los kets y bras con la misma etiqueta se interpretan como kets y bras que se corresponden entre sí utilizando el producto interno. En particular, cuando también se identifican con vectores fila y columna, los kets y bras con la misma etiqueta se identifican con vectores fila y columna conjugados hermíticos . ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{+},{\boldsymbol {\psi }}_{-}\in \Delta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{+}=|+\rangle }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{-}=|-\rangle }$

La notación Bra-ket fue establecida efectivamente en 1939 por Paul Dirac ; ^{[1] [2]} por lo que también se la conoce como notación de Dirac, a pesar de que la notación tuvo un precursor en el uso de Hermann Grassmann para productos internos casi 100 años antes. ^{[3] [4]} ${\displaystyle [\phi {\mid }\psi ]}$

Espacios vectoriales

Vectores vs kets

En matemáticas, el término "vector" se utiliza para designar un elemento de cualquier espacio vectorial. Sin embargo, en física, el término "vector" tiende a referirse casi exclusivamente a magnitudes como el desplazamiento o la velocidad , que tienen componentes que se relacionan directamente con las tres dimensiones del espacio o, relativistamente, con las cuatro del espacio-tiempo . Dichos vectores se suelen indicar con flechas hacia arriba ( ), negrita ( ) o índices ( ). ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle v^{\mu }}$

En mecánica cuántica, un estado cuántico se representa típicamente como un elemento de un espacio de Hilbert complejo , por ejemplo, el espacio vectorial de dimensión infinita de todas las funciones de onda posibles (funciones integrables cuadradas que asignan cada punto del espacio 3D a un número complejo) o algún espacio de Hilbert más abstracto construido de manera más algebraica. Para distinguir este tipo de vector de los descritos anteriormente, es común y útil en física denotar un elemento de un espacio vectorial complejo abstracto como un ket , referirse a él como un "ket" en lugar de como un vector, y pronunciarlo "ket- " o "ket-A" para | A ⟩ . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle \phi }$

Símbolos, letras, números o incluso palabras (lo que sea que sirva como etiqueta conveniente) pueden usarse como etiqueta dentro de un ket, dejando en claro que la etiqueta indica un vector en el espacio vectorial. En otras palabras, el símbolo " | A ⟩ " tiene un significado matemático reconocible en cuanto al tipo de variable que se representa, mientras que la " A " por sí sola no lo tiene. Por ejemplo, |1⟩ + |2⟩ no es necesariamente igual a |3⟩ . Sin embargo, por conveniencia, suele haber algún esquema lógico detrás de las etiquetas dentro de los kets, como la práctica común de etiquetar los eigenkets de energía en la mecánica cuántica a través de una lista de sus números cuánticos . En su forma más simple, la etiqueta dentro del ket es el valor propio de un operador físico, como , , , etc. ${\displaystyle |\ \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$

Notación

Dado que los kets son simplemente vectores en un espacio vectorial hermítico, se los puede manipular utilizando las reglas habituales del álgebra lineal. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}|A\rangle &=|B\rangle +|C\rangle \\|C\rangle &=(-1+2i)|D\rangle \\|D\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}|x\rangle \,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}}$

Nótese cómo la última línea anterior involucra infinitos kets diferentes, uno para cada número real x .

Dado que ket es un elemento de un espacio vectorial, un bra es un elemento de su espacio dual , es decir, un bra es un funcional lineal que es una función lineal del espacio vectorial a los números complejos. Por lo tanto, es útil pensar en kets y bras como elementos de diferentes espacios vectoriales (ver más abajo) y que ambos son conceptos útiles diferentes. ${\displaystyle \langle A|}$

Un sujetador y un ket (es decir, un funcional y un vector), se pueden combinar para formar un operador de rango uno con producto externo. ${\displaystyle \langle \phi |}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |\colon |\xi \rangle \mapsto |\psi \rangle \langle \phi |\xi \rangle ~.}$

Identificación del producto interno y del corchete en el espacio de Hilbert

La notación bra–ket es particularmente útil en espacios de Hilbert que tienen un producto interno ^[5] que permite la conjugación hermítica e identificar un vector con un funcional lineal continuo, es decir, un ket con un bra, y viceversa (véase el teorema de representación de Riesz ). El producto interno en el espacio de Hilbert (con el primer argumento antilineal como lo prefieren los físicos) es completamente equivalente a una identificación (antilineal) entre el espacio de kets y el de bras en la notación bra ket: para un vector ket defina un funcional (es decir, bra) por ${\displaystyle (\ ,\ )}$ ${\displaystyle \phi =|\phi \rangle }$ ${\displaystyle f_{\phi }=\langle \phi |}$

${\displaystyle (\phi ,\psi )=(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )=:f_{\phi }(\psi )=\langle \phi |\,{\bigl (}|\psi \rangle {\bigr )}=:\langle \phi {\mid }\psi \rangle }$

Bras y kets como vectores fila y columna

En el caso simple donde consideramos el espacio vectorial , un ket puede identificarse con un vector columna , y un bra como un vector fila . Si, además, usamos el producto interno hermítico estándar en , el bra correspondiente a un ket, en particular un bra ⟨ m | y un ket | m ⟩ con la misma etiqueta son transpuestas conjugadas . Además, las convenciones se establecen de tal manera que escribir bras, kets y operadores lineales uno al lado del otro simplemente implica la multiplicación de matrices . ^[6] En particular, el producto externo de un vector columna y fila ket y bra puede identificarse con la multiplicación de matrices (vector columna por vector fila es igual a matriz). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$

Para un espacio vectorial de dimensión finita, utilizando una base ortonormal fija , el producto interno se puede escribir como una multiplicación matricial de un vector fila con un vector columna: Con base en esto, los sujetadores y los kets se pueden definir como: y luego se entiende que un sujetador al lado de un ket implica una multiplicación matricial. $${\displaystyle \langle A|B\rangle \doteq A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\cdots +A_{N}^{*}B_{N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A|&\doteq {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\\|B\rangle &\doteq {\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

La transpuesta conjugada (también llamada conjugada hermítica ) de un sujetador es el ket correspondiente y viceversa: porque si uno comienza con el sujetador y luego realiza una conjugación compleja , y luego una transposición matricial , termina con el ket. $${\displaystyle \langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}}$$

Para escribir elementos de un espacio vectorial de dimensión finita (o mutatis mutandis , infinito contable) como un vector columna de números es necesario elegir una base . Elegir una base no siempre es útil porque los cálculos de mecánica cuántica implican cambiar frecuentemente entre diferentes bases (por ejemplo, base de posición, base de momento, base propia de energía), y se puede escribir algo como " | m ⟩ " sin comprometerse con ninguna base en particular. En situaciones que involucran dos vectores base importantes diferentes, los vectores base se pueden tomar en la notación explícitamente y aquí se hará referencia a ellos simplemente como " | − ⟩ " y " | + ⟩ ".

Estados no normalizables y espacios no hilbertianos

La notación Bra–ket se puede utilizar incluso si el espacio vectorial no es un espacio de Hilbert .

En mecánica cuántica, es una práctica común escribir kets que tienen norma infinita , es decir, funciones de onda no normalizables . Los ejemplos incluyen estados cuyas funciones de onda son funciones delta de Dirac u ondas planas infinitas . Estas, técnicamente, no pertenecen al espacio de Hilbert en sí. Sin embargo, la definición de "espacio de Hilbert" se puede ampliar para dar cabida a estos estados (véase la construcción de Gelfand–Naimark–Segal o los espacios de Hilbert manipulados ). La notación bra–ket continúa funcionando de forma análoga en este contexto más amplio.

Los espacios de Banach son una generalización diferente de los espacios de Hilbert. En un espacio de Banach B , los vectores pueden describirse como kets y los funcionales lineales continuos como bras. Sobre cualquier espacio vectorial sin topología , también podemos denotar los vectores como kets y los funcionales lineales como bras. En estos contextos más generales, el corchete no tiene el significado de un producto interno, porque el teorema de representación de Riesz no se aplica.

Uso en mecánica cuántica

La estructura matemática de la mecánica cuántica se basa en gran parte en el álgebra lineal :

• Las funciones de onda y otros estados cuánticos pueden representarse como vectores en un espacio de Hilbert complejo. (La estructura exacta de este espacio de Hilbert depende de la situación). En la notación de paréntesis, por ejemplo, un electrón podría estar en el "estado" | ψ ⟩ . (Técnicamente, los estados cuánticos son rayos de vectores en el espacio de Hilbert, ya que c | ψ ⟩ corresponde al mismo estado para cualquier número complejo distinto de cero c .)
• Las superposiciones cuánticas pueden describirse como sumas vectoriales de los estados constituyentes. Por ejemplo, un electrón en el estado ⁠1/√2⁠ |1⟩ + ⁠i/√2|2⟩ está en una superposición cuántica de los estados | 1⟩ y |2⟩ .
• Las mediciones están asociadas con operadores lineales (llamados observables ) en el espacio de Hilbert de estados cuánticos.
• La dinámica también se describe mediante operadores lineales en el espacio de Hilbert. Por ejemplo, en la imagen de Schrödinger , hay un operador de evolución temporal lineal U con la propiedad de que si un electrón está en el estado | ψ ⟩ ahora mismo, en un momento posterior estará en el estado U | ψ ⟩ , el mismo U para cada posible | ψ ⟩ .
• La normalización de la función de onda consiste en escalar una función de onda para que su norma sea 1.

Dado que prácticamente todos los cálculos en mecánica cuántica implican vectores y operadores lineales, pueden implicar, y a menudo implican, la notación de corchetes. A continuación se ofrecen algunos ejemplos:

Función de onda de posición-espacio sin espín

Componentes de vectores complejos representados gráficamente en función del número índice; k discreto y x continuo . Se destacan dos componentes particulares de entre un número infinito.

El espacio de Hilbert de una partícula puntual de espín -0 está abarcado por una " base de posición " { | r ⟩ } , donde la etiqueta r se extiende sobre el conjunto de todos los puntos en el espacio de posición . Esta etiqueta es el valor propio del operador de posición que actúa sobre dicho estado de base, . ^{[ cita requerida ]} Dado que hay un número incontablemente infinito de componentes vectoriales en la base, este es un espacio de Hilbert de dimensión infinita incontable. ^[7] Las dimensiones del espacio de Hilbert (generalmente infinito) y el espacio de posición (generalmente 1, 2 o 3) no deben fusionarse. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle }$

A partir de cualquier ket |Ψ⟩ en este espacio de Hilbert, se puede definir una función escalar compleja de r , conocida como función de onda , ^{[ aclaración necesaria ]} $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,.}$$

En el lado izquierdo, Ψ( r ) es una función que asigna cualquier punto en el espacio a un número complejo; en el lado derecho, es un ket que consiste en una superposición de kets con coeficientes relativos especificados por esa función. $${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} )\left|\mathbf {r} \right\rangle }$$

Se acostumbra entonces a definir los operadores lineales que actúan sobre funciones de onda en términos de operadores lineales que actúan sobre kets, por $${\displaystyle {\hat {A}}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {A}}|\Psi \rangle \,.}$$

Por ejemplo, el operador de momento tiene la siguiente representación de coordenadas, ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}|\Psi \rangle =-i\hbar \nabla \Psi (\mathbf {r} )\,.}$$

Ocasionalmente, incluso se encuentra una expresión como , aunque esto es algo así como un abuso de la notación . El operador diferencial debe entenderse como un operador abstracto, que actúa sobre kets, que tiene el efecto de diferenciar funciones de onda una vez que la expresión se proyecta sobre la base de posición, aunque, en la base de momento, este operador equivale a un mero operador de multiplicación (por iħ p ). Es decir, o ${\displaystyle \nabla |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \nabla \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,,}$ $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \langle \mathbf {r} |~,}$$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\int d^{3}\mathbf {r} ~|\mathbf {r} \rangle (-i\hbar \nabla )\langle \mathbf {r} |~.}$$

Superposición de estados

En mecánica cuántica, la expresión ⟨ φ | ψ ⟩ se interpreta normalmente como la amplitud de probabilidad de que el estado ψ colapse en el estado φ . Matemáticamente, esto significa el coeficiente de proyección de ψ sobre φ . También se describe como la proyección del estado ψ sobre el estado φ .

Cambio de base para una partícula de espín 1/2

Una partícula estacionaria de espín 1 ⁄ 2 tiene un espacio de Hilbert bidimensional. Una base ortonormal es: donde |↑ _z ⟩ es el estado con un valor definido del operador de espín S z igual a + 1 ⁄ 2 y |↓ _z ⟩ es el estado con un valor definido del operador de espín S z igual a − 1 ⁄ 2 . $${\displaystyle |{\uparrow }_{z}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{z}\rangle }$$

Dado que estos son una base, cualquier estado cuántico de la partícula puede expresarse como una combinación lineal (es decir, superposición cuántica ) de estos dos estados: donde a _ψ y b _ψ son números complejos. $${\displaystyle |\psi \rangle =a_{\psi }|{\uparrow }_{z}\rangle +b_{\psi }|{\downarrow }_{z}\rangle }$$

Una base diferente para el mismo espacio de Hilbert se define en términos de S _x en lugar de S _z . $${\displaystyle |{\uparrow }_{x}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

Nuevamente, cualquier estado de la partícula puede expresarse como una combinación lineal de estos dos: $${\displaystyle |\psi \rangle =c_{\psi }|{\uparrow }_{x}\rangle +d_{\psi }|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

En forma vectorial, se puede escribir según la base que se utilice. En otras palabras, las "coordenadas" de un vector dependen de la base utilizada. $${\displaystyle |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}a_{\psi }\\b_{\psi }\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\psi }\\d_{\psi }\end{pmatrix}}}$$

Existe una relación matemática entre , , y ; ver cambio de base . ${\displaystyle a_{\psi }}$ ${\displaystyle b_{\psi }}$ ${\displaystyle c_{\psi }}$ ${\displaystyle d_{\psi }}$

Dificultades y usos ambiguos

Existen algunas convenciones y usos de la notación que pueden resultar confusos o ambiguos para el estudiante no iniciado o principiante.

Separación de producto interno y vectores

Una causa de confusión es que la notación no separa la operación de producto interno de la notación para un vector (bra). Si un vector bra (de espacio dual) se construye como una combinación lineal de otros vectores bra (por ejemplo, al expresarlo en alguna base), la notación crea cierta ambigüedad y oculta detalles matemáticos. Podemos comparar la notación bra–ket con el uso de negrita para vectores, como , y para el producto interno. Considere el siguiente vector bra de espacio dual en la base : ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \{|e_{n}\rangle \}}$ $${\displaystyle \langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}}$$

Se debe determinar por convención si los números complejos están dentro o fuera del producto interno, y cada convención da resultados diferentes. ${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$

$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}}$$ $${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}^{*}}$$

Reutilización de símbolos

Es común utilizar el mismo símbolo para las etiquetas y las constantes . Por ejemplo, , donde el símbolo se utiliza simultáneamente como el nombre del operador , su vector propio y el valor propio asociado . A veces, también se deja de lado el uso de operadores, y se pueden ver notaciones como . ^[8] ${\displaystyle {\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A|a\rangle =a|a\rangle }$

Conjugado hermítico de kets

Es común ver el uso , donde la daga ( ) corresponde al conjugado hermítico. Sin embargo, esto no es correcto en un sentido técnico, ya que el ket, , representa un vector en un espacio de Hilbert complejo , y el bra, , es un funcional lineal sobre vectores en . En otras palabras, es solo un vector, mientras que es la combinación de un vector y un producto interno. ${\displaystyle |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}$ ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \langle \psi |}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |}$

Operaciones dentro de sujetadores y kets

Esto se hace para una notación rápida de vectores de escala. Por ejemplo, si el vector se escala por , puede denotarse como . Esto puede ser ambiguo ya que es simplemente una etiqueta para un estado y no un objeto matemático en el que se pueden realizar operaciones. Este uso es más común cuando se denotan vectores como productos tensoriales, donde parte de las etiquetas se mueven fuera de la ranura diseñada, por ejemplo . ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle =|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{1}\otimes |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{2}}$

Operadores lineales

Operadores lineales que actúan sobre kets

Un operador lineal es un mapa que tiene como entrada un ket y como salida un ket. (Para que se lo pueda llamar "lineal", se requiere que tenga ciertas propiedades ). En otras palabras, si es un operador lineal y es un ket-vector, entonces es otro ket-vector. ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$

En un espacio de Hilbert de dimensión 1, podemos imponer una base al espacio y representarlo en términos de sus coordenadas como un vector columna . Utilizando la misma base para , se representa mediante una matriz compleja. El vector ket ahora se puede calcular mediante la multiplicación de matrices. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle N\times 1}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$

Los operadores lineales son omnipresentes en la teoría de la mecánica cuántica. Por ejemplo, las magnitudes físicas observables se representan mediante operadores autoadjuntos , como la energía o el momento , mientras que los procesos transformativos se representan mediante operadores lineales unitarios , como la rotación o la progresión del tiempo.

Operadores lineales que actúan sobre sujetadores

Los operadores también pueden verse como actuando sobre los sujetadores desde el lado derecho . Específicamente, si A es un operador lineal y ⟨ φ | es un sujetador, entonces ⟨ φ | A es otro sujetador definido por la regla (en otras palabras, una composición de funciones ). Esta expresión se escribe comúnmente como (cf. producto interno de energía ) $${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |{\boldsymbol {A}}{\bigr )}|\psi \rangle =\langle \phi |{\bigl (}{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle {\bigr )}\,,}$$ $${\displaystyle \langle \phi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,.}$$

En un espacio de Hilbert N -dimensional, ⟨ φ | se puede escribir como un vector fila de 1 × N , y A (como en la sección anterior) es una matriz N × N. Entonces, el bra ⟨ φ | A se puede calcular mediante la multiplicación de matrices normal.

Si el mismo vector de estado aparece tanto en el lado bra como en el lado ket, entonces esta expresión da el valor esperado , o el valor medio o promedio, del observable representado por el operador A para el sistema físico en el estado | ψ ⟩ . $${\displaystyle \langle \psi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,,}$$

Productos exteriores

Una forma conveniente de definir operadores lineales en un espacio de Hilbert H está dada por el producto externo : si ⟨ ϕ | es un bra y | ψ ⟩ es un ket, el producto externo denota el operador de rango uno con la regla $${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |}$$ $${\displaystyle {\bigl (}|\phi \rangle \langle \psi |{\bigr )}(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle .}$$

Para un espacio vectorial de dimensión finita, el producto externo puede entenderse como una simple multiplicación de matrices: el producto externo es una matriz N × N , como se espera para un operador lineal. $${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |\doteq {\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}$$

Uno de los usos del producto externo es construir operadores de proyección . Dado un ket | ψ ⟩ de norma 1, la proyección ortogonal sobre el subespacio generado por | ψ ⟩ es Este es un idempotente en el álgebra de observables que actúa sobre el espacio de Hilbert. $${\displaystyle |\psi \rangle \,\langle \psi |\,.}$$

Operador conjugado hermítico

Así como kets y bras pueden transformarse entre sí (haciendo que | ψ ⟩ se convierta en ⟨ ψ | ), el elemento del espacio dual correspondiente a A | ψ ⟩ es ⟨ ψ | A ^† , donde A ^† denota el conjugado hermítico (o adjunto) del operador A . En otras palabras, $${\displaystyle |\phi \rangle =A|\psi \rangle \quad {\text{if and only if}}\quad \langle \phi |=\langle \psi |A^{\dagger }\,.}$$

Si A se expresa como una matriz N × N , entonces A ^† es su transpuesta conjugada.

Propiedades

La notación bra-ket fue diseñada para facilitar la manipulación formal de expresiones algebraicas lineales. A continuación se enumeran algunas de las propiedades que permiten esta manipulación. A continuación, c ₁ y c ₂ denotan números complejos arbitrarios , c * denota el conjugado complejo de c , A y B denotan operadores lineales arbitrarios y estas propiedades son válidas para cualquier elección de bras y kets.

Linealidad

• Dado que los sujetadores son funcionales lineales, $${\displaystyle \langle \phi |{\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle \,.}$$
• Por la definición de adición y multiplicación escalar de funcionales lineales en el espacio dual, ^[9] $${\displaystyle {\bigl (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigr )}|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle \,.}$$

Asociatividad

Dada cualquier expresión que involucre números complejos, bras, kets, productos internos, productos externos y/o operadores lineales (pero no suma), escrita en notación bra-ket, las agrupaciones entre paréntesis no importan (es decir, se cumple la propiedad asociativa ). Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\bigl (}A|\phi \rangle {\bigr )}={\bigl (}\langle \psi |A{\bigr )}|\phi \rangle \,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle \\{\bigl (}A|\psi \rangle {\bigr )}\langle \phi |=A{\bigl (}|\psi \rangle \langle \phi |{\bigr )}\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. Las expresiones de la derecha (sin ningún tipo de paréntesis) pueden escribirse sin ambigüedades debido a las igualdades de la izquierda. Nótese que la propiedad asociativa no se cumple para expresiones que incluyen operadores no lineales, como el operador de inversión temporal antilineal en física.

Conjugación hermítica

La notación Bra-ket facilita especialmente el cálculo del conjugado hermítico (también llamado dagger y denotado † ) de expresiones. Las reglas formales son:

• El conjugado hermítico de un sujetador es el ket correspondiente, y viceversa.
• El conjugado hermítico de un número complejo es su conjugado complejo.
• El conjugado hermítico del conjugado hermítico de cualquier cosa (operadores lineales, bras, kets, números) es él mismo, es decir, $${\displaystyle \left(x^{\dagger }\right)^{\dagger }=x\,.}$$
• Dada cualquier combinación de números complejos, bras, kets, productos internos, productos externos y/o operadores lineales, escritos en notación bra-ket, su conjugado hermítico se puede calcular invirtiendo el orden de los componentes y tomando el conjugado hermítico de cada uno.

Estas reglas son suficientes para escribir formalmente el conjugado hermítico de cualquier expresión de este tipo; algunos ejemplos son los siguientes:

• Cereales: $${\displaystyle {\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|\,.}$$
• Productos internos: Nótese que ⟨ φ | ψ ⟩ es un escalar, por lo que el conjugado hermítico es simplemente el conjugado complejo, es decir, $${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle \,.}$$ $${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |\psi \rangle {\bigr )}^{\dagger }=\langle \phi |\psi \rangle ^{*}}$$
• Elementos de la matriz: $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \phi |A|\psi \rangle ^{\dagger }&=\left\langle \psi \left|A^{\dagger }\right|\phi \right\rangle \\\left\langle \phi \left|A^{\dagger }B^{\dagger }\right|\psi \right\rangle ^{\dagger }&=\langle \psi |BA|\phi \rangle \,.\end{aligned}}}$$
• Productos externos: $${\displaystyle {\Big (}{\bigl (}c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|{\bigr )}{\Big )}^{\dagger }={\bigl (}c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|{\bigr )}\,.}$$

Sujetadores y sujetadores compuestos

Dos espacios de Hilbert V y W pueden formar un tercer espacio V ⊗ W mediante un producto tensorial . En mecánica cuántica, esto se utiliza para describir sistemas compuestos. Si un sistema está compuesto por dos subsistemas descritos en V y W respectivamente, entonces el espacio de Hilbert de todo el sistema es el producto tensorial de los dos espacios. (La excepción a esto es si los subsistemas son en realidad partículas idénticas . En ese caso, la situación es un poco más complicada).

Si | ψ ⟩ es un ket en V y | φ ⟩ es un ket en W , el producto tensorial de los dos kets es un ket en V ⊗ W . Esto se escribe en varias notaciones:

${\displaystyle |\psi \rangle |\phi \rangle \,,\quad |\psi \rangle \otimes |\phi \rangle \,,\quad |\psi \phi \rangle \,,\quad |\psi ,\phi \rangle \,.}$

Consulte el entrelazamiento cuántico y la paradoja EPR para aplicaciones de este producto.

El operador de la unidad

Considérese un sistema ortonormal completo ( base ), para un espacio de Hilbert H , con respecto a la norma de un producto interno ⟨·,·⟩ . $${\displaystyle \{e_{i}\ |\ i\in \mathbb {N} \}\,,}$$

A partir del análisis funcional básico , se sabe que cualquier ket también puede escribirse como con ⟨·|·⟩ el producto interno en el espacio de Hilbert. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i\in \mathbb {N} }\langle e_{i}|\psi \rangle |e_{i}\rangle ,}$$

De la conmutatividad de kets con escalares (complejos), se deduce que debe ser el operador identidad , que envía cada vector a sí mismo. $${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|=\mathbb {I} }$$

Esto, entonces, se puede insertar en cualquier expresión sin afectar su valor; por ejemplo , donde, en la última línea, se ha utilizado la convención de suma de Einstein para evitar el desorden. $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v|w\rangle &=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)\left(\sum _{j\in \mathbb {N} }|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|e_{i}\rangle \langle e_{i}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|w\rangle \,,\end{aligned}}}$$

En mecánica cuántica, a menudo ocurre que hay poca o ninguna información sobre el producto interno ⟨ ψ | φ ⟩ de dos kets (de estado) arbitrarios, mientras que todavía es posible decir algo sobre los coeficientes de expansión ⟨ ψ | e _i ⟩ = ⟨ e _i | ψ ⟩ * y ⟨ e _i | φ ⟩ de esos vectores con respecto a una base específica (ortonormalizada). En este caso, es particularmente útil insertar el operador unitario en el corchete una o más veces.

Para obtener más información, consulte Resolución de la identidad , ^[10] donde $${\displaystyle {\mathbb {I} }=\int \!dx~|x\rangle \langle x|=\int \!dp~|p\rangle \langle p|,}$$ $${\displaystyle |p\rangle =\int dx{\frac {e^{ixp/\hbar }|x\rangle }{\sqrt {2\pi \hbar }}}.}$$

Como ⟨ x ′ | x ⟩ = δ ( x − x ′ ) , se siguen ondas planas, $${\displaystyle \langle x|p\rangle ={\frac {e^{ixp/\hbar }}{\sqrt {2\pi \hbar }}}.}$$

En su libro (1958), Cap. III.20, Dirac define el ket estándar que, hasta una normalización, es el estado propio del momento invariante en la traslación en la representación del momento, es decir, . En consecuencia, la función de onda correspondiente es una constante, , y así como ${\textstyle |\varpi \rangle =\lim _{p\to 0}|p\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {p}}|\varpi \rangle =0}$ ${\displaystyle \langle x|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }}=1}$ $${\displaystyle |x\rangle =\delta ({\hat {x}}-x)|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }},}$$ $${\displaystyle |p\rangle =\exp(ip{\hat {x}}/\hbar )|\varpi \rangle .}$$

Normalmente, cuando todos los elementos de la matriz de un operador como están disponibles, esta resolución sirve para reconstruir el operador completo. $${\displaystyle \langle x|A|y\rangle }$$ $${\displaystyle \int dx\,dy\,|x\rangle \langle x|A|y\rangle \langle y|=A\,.}$$

Notación utilizada por los matemáticos

El objeto que los físicos consideran cuando utilizan la notación bra-ket es un espacio de Hilbert (un espacio de producto interno completo ).

Sea un espacio de Hilbert y h ∈ H un vector en H . Lo que los físicos denotarían por | h ⟩ es el vector mismo. Es decir, ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ $${\displaystyle |h\rangle \in {\mathcal {H}}.}$$

Sea H * el espacio dual de H . Este es el espacio de funcionales lineales en H . La incrustación se define por , donde para cada h ∈ H el funcional lineal satisface para cada g ∈ H la ecuación funcional . Surge confusión notacional al identificar φ _h y g con ⟨ h | y | g ⟩ respectivamente. Esto se debe a sustituciones simbólicas literales. Sea y sea g = G = | g ⟩ . Esto da ${\displaystyle \Phi :{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {H}}^{*}}$ ${\displaystyle \Phi (h)=\varphi _{h}}$ ${\displaystyle \varphi _{h}:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varphi _{h}(g)=\langle h,g\rangle =\langle h\mid g\rangle }$ ${\displaystyle \varphi _{h}=H=\langle h\mid }$ $${\displaystyle \varphi _{h}(g)=H(g)=H(G)=\langle h|(G)=\langle h|{\bigl (}|g\rangle {\bigr )}\,.}$$

Se ignoran los paréntesis y se eliminan las barras dobles.

Además, los matemáticos normalmente escriben la entidad dual no en primer lugar, como hacen los físicos, sino en segundo, y normalmente no utilizan un asterisco sino una raya superior (que los físicos reservan para los promedios y el espinor de Dirac adjunto ) para denotar números complejos conjugados ; es decir, para productos escalares los matemáticos normalmente escriben mientras que los físicos escribirían para la misma cantidad. $${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle =\int \phi (x)\cdot {\overline {\psi (x)}}\,\mathrm {d} x\,,}$$ $${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x)\phi (x)~.}$$

Véase también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Diagramas de momento angular (mecánica cuántica)
• ecuación interferométrica de n -rendijas
• Estado cuántico
• Espacio interior del producto

Notas

1. Dirac 1939
2. Shankar 1994, Capítulo 1
3. Grassman 1862
4. Conferencia 2 | Enredos cuánticos, parte 1 (Stanford), Leonard Susskind sobre números complejos, conjugado complejo, bra, ket. 2006-10-02.
5. Conferencia 2 | Enredos cuánticos, parte 1 (Stanford), Leonard Susskind sobre el producto interno, 2 de octubre de 2006.
6. "Gidney, Craig (2017). La notación Bra-Ket trivializa la multiplicación de matrices".
7. Sakurai y Napolitano 2021 Sección 1.2
8. Sakurai y Napolitano 2021 Sec 1.2, 1.3
9. Notas de clase de Robert Littlejohn Archivado el 17 de junio de 2012 en Wayback Machine , ecuaciones 12 y 13
10. Sakurai y Napolitano 2021 Sec 1.2, 1.3

Referencias

• Dirac, PAM (1939). "Una nueva notación para la mecánica cuántica". Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge . 35 (3): 416–418. Bibcode :1939PCPS...35..416D. doi :10.1017/S0305004100021162. S2CID  121466183.Véase también su texto estándar, The Principles of Quantum Mechanics , IV edición, Clarendon Press (1958), ISBN 978-0198520115 
• Grassmann, H. (1862). Teoría de la extensión . Historia de las fuentes matemáticas. Traducción de 2000 de Lloyd C. Kannenberg. American Mathematical Society, London Mathematical Society.
• Cajori, Florian (1929). Una historia de las notaciones matemáticas, volumen II. Open Court Publishing , pág. 134. ISBN 978-0-486-67766-8.
• Shankar, R. (1994). Principios de mecánica cuántica (2.ª ed.). ISBN 0-306-44790-8.
• Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (1965). Las conferencias Feynman sobre física. Vol. III. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02118-8.
• Sakurai, JJ; Napolitano, J (2021). Mecánica cuántica moderna (3.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-42241-3.

Enlaces externos

• Richard Fitzpatrick, "Mecánica cuántica: un curso de posgrado", Universidad de Texas en Austin. Incluye:
  • 1. Espacio Ket
  • 2. Espacio para el sujetador
  • 3. Operadores
  • 4. El producto exterior
  • 5. Valores propios y vectores propios
• Robert Littlejohn, Notas de clase sobre "El formalismo matemático de la mecánica cuántica", incluida la notación bra-ket. Universidad de California, Berkeley.
• Gieres, F. (2000). "Sorpresas matemáticas y el formalismo de Dirac en mecánica cuántica". Rep. Prog. Phys . 63 (12): 1893–1931. arXiv : quant-ph/9907069 . Código Bibliográfico :2000RPPh...63.1893G. doi :10.1088/0034-4885/63/12/201. S2CID  10854218.