Producto exterior

Operación vectorial

En álgebra lineal , el producto externo de dos vectores de coordenadas es la matriz cuyas entradas son todos productos de un elemento del primer vector con un elemento del segundo vector. Si los dos vectores de coordenadas tienen dimensiones n y m , entonces su producto externo es una matriz n × m . De manera más general, dados dos tensores (matrices multidimensionales de números), su producto externo es un tensor. El producto externo de los tensores también se conoce como su producto tensorial y se puede utilizar para definir el álgebra tensorial .

El producto exterior contrasta con:

• El producto escalar (un caso especial de " producto interno "), que toma un par de vectores de coordenadas como entrada y produce un escalar
• El producto Kronecker , que toma un par de matrices como entrada y produce una matriz de bloques
• Multiplicación de matrices estándar

Definición

Dados dos vectores de tamaño y respectivamente ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle n\times 1}$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{m}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}$$

Su producto exterior, denotado se define como la matriz obtenida al multiplicar cada elemento de por cada elemento de : ^[1] ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}}$$

O, en notación de índice:

$${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{ij}=u_{i}v_{j}}$$

Denotando el producto escalar por si se da un vector entonces Si se da un vector entonces ${\displaystyle \,\cdot ,\,}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {w} ,}$ ${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\mathbf {w} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {u} .}$ ${\displaystyle 1\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\operatorname {T} }.}$

Si y son vectores de la misma dimensión mayores que 1, entonces . ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \det(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=0}$

El producto externo es equivalente a una multiplicación de matrices siempre que se represente como un vector columna y como un vector columna (lo que forma un vector fila). ^{[2] [3]} Por ejemplo, si y entonces ^[4] ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} ^{\operatorname {T} },}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle m=4}$ ${\displaystyle n=3,}$

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}.}$$

Para vectores complejos , a menudo es útil tomar la transpuesta conjugada de denotado o : ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\dagger }}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}}$

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }=\mathbf {u} \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}.}$$

Contraste con el producto interno euclidiano

Si entonces se puede tomar el producto matricial en el sentido inverso, obteniéndose un escalar (o matriz): ${\displaystyle m=n,}$ ${\displaystyle 1\times 1}$

$${\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {u} ^{\textsf {T}}\mathbf {v} }$$

que es el producto interno estándar para espacios vectoriales euclidianos , ^[3] mejor conocido como producto escalar . El producto escalar es la traza del producto externo. ^[5] A diferencia del producto escalar, el producto externo no es conmutativo.

La multiplicación de un vector por la matriz se puede escribir en términos del producto interno, utilizando la relación . ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \left(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \right)\mathbf {w} =\mathbf {u} \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \right\rangle }$

El producto externo de los tensores

Dados dos tensores con dimensiones y , su producto exterior es un tensor con dimensiones y entradas ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$ ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})}$ ${\displaystyle (l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m},l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$

$${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{i_{1},i_{2},\dots i_{m},j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}=u_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}v_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}}$$

Por ejemplo, si es de orden 3 con dimensiones y es de orden 2 con dimensiones entonces su producto externo es de orden 5 con dimensiones Si tiene un componente A _{[2, 2, 4]} = 11 y tiene un componente B _{[8, 88]} = 13 , entonces el componente de formado por el producto externo es C _{[2, 2, 4, 8, 88]} = 143 . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle (3,5,7)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle (10,100),}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle (3,5,7,10,100).}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Conexión con el producto Kronecker

El producto externo y el producto Kronecker están estrechamente relacionados; de hecho, comúnmente se utiliza el mismo símbolo para denotar ambas operaciones.

Si y , tenemos: ${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}4&5\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4\\5\\8\\10\\12\\15\end{bmatrix}},&\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4&5\\8&10\\12&15\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

En el caso de los vectores columna, el producto de Kronecker puede considerarse como una forma de vectorización (o aplanamiento) del producto externo. En particular, para dos vectores columna y , podemos escribir: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} =\operatorname {vec} (\mathbf {v} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {u} )}$$

(El orden de los vectores se invierte en el lado derecho de la ecuación).

Otra identidad similar que resalta aún más la similitud entre las operaciones es

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} }$$

donde no es necesario invertir el orden de los vectores. La expresión del medio utiliza la multiplicación de matrices, donde los vectores se consideran matrices de columnas y filas.

Conexión con el producto matricial

Dado un par de matrices de tamaño y de tamaño , considere el producto matricial definido como usual como una matriz de tamaño . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times p}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle p\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \,\mathbf {B} }$ ${\displaystyle m\times n}$

Ahora, sea el -ésimo vector columna de y sea el -ésimo vector fila de . Entonces se puede expresar como una suma de productos externos columna por fila: ${\displaystyle \mathbf {a} _{k}^{\text{col}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{k}^{\text{row}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \,\mathbf {B} =\left(\sum _{k=1}^{p}{A}_{ik}\,{B}_{kj}\right)_{\begin{matrix}1\leq i\leq m\\[-20pt]1\leq j\leq n\end{matrix}}={\begin{bmatrix}&&\\\mathbf {a} _{1}^{\text{col}}&\cdots &\mathbf {a} _{p}^{\text{col}}\\&&\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}&\mathbf {b} _{1}^{\text{row}}&\\&\vdots &\\&\mathbf {b} _{p}^{\text{row}}&\end{bmatrix}}=\sum _{k=1}^{p}\mathbf {a} _{k}^{\text{col}}\mathbf {b} _{k}^{\text{row}}}$$

Esta expresión tiene dualidad con la más común como una matriz construida con entradas de producto interno fila por columna (o producto punto ): ${\displaystyle C_{ij}=\langle {\mathbf {a} _{i}^{\text{row}},\,\mathbf {b} _{j}^{\text{col}}}\rangle }$

Esta relación es relevante ^[6] en la aplicación de la descomposición en valores singulares (SVD) (y la descomposición espectral como caso especial). En particular, la descomposición se puede interpretar como la suma de los productos externos de cada vector singular izquierdo ( ) y derecho ( ), escalados por el valor singular distinto de cero correspondiente : ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$

$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U\Sigma V^{T}} =\sum _{k=1}^{\operatorname {rank} (A)}(\mathbf {u} _{k}\otimes \mathbf {v} _{k})\,\sigma _{k}}$$

Este resultado implica que puede expresarse como una suma de matrices de rango 1 con norma espectral en orden decreciente. Esto explica el hecho de que, en general, los últimos términos contribuyen menos, lo que motiva el uso de la SVD truncada como aproximación. El primer término es el ajuste de mínimos cuadrados de una matriz a un producto externo de vectores. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$

Propiedades

El producto externo de vectores satisface las siguientes propiedades:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\textsf {T}}&=(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )\\(\mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} &=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \\c(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )&=(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} )\end{aligned}}}$$

El producto externo de los tensores satisface la propiedad de asociatividad adicional :

$${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} =\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )}$$

Rango de un producto externo

Si u y v son ambas distintas de cero, entonces la matriz del producto externo uv ^T siempre tiene rango matricial 1. De hecho, las columnas del producto externo son todas proporcionales a u . Por lo tanto, todas dependen linealmente de esa columna, por lo que la matriz es de rango uno.

("Rango de matriz" no debe confundirse con " orden tensorial " o "grado tensorial", que a veces se denomina "rango").

Definición (resumen)

Sean V y W dos espacios vectoriales . El producto exterior de y es el elemento . ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle \mathbf {w} \in W}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} \in V\otimes W}$

Si V es un espacio de producto interno , entonces es posible definir el producto externo como una función lineal V → W. En este caso, la función lineal es un elemento del espacio dual de V , ya que esta función mapea linealmente un vector en su cuerpo subyacente, del cual es un elemento. El producto externo V → W está dado entonces por ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \rangle }$ ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \rangle }$

$${\displaystyle (\mathbf {w} \otimes \mathbf {v} )(\mathbf {x} )=\left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \right\rangle \mathbf {w} .}$$

Esto demuestra por qué en el caso complejo se suele tomar una transpuesta conjugada de v .

En lenguajes de programación

En algunos lenguajes de programación, dada una función de dos argumentos f(o un operador binario), el producto externo, f, de dos matrices unidimensionales, Ay B, es una matriz bidimensional Ctal que C[i, j] = f(A[i], B[j]). Esto se representa sintácticamente de varias maneras: en APL , como el operador binario infijo ; en J , como el adverbio posfijo ; en R , como la función o el especial ; ^[7] en Mathematica , como . En MATLAB, la función se utiliza para este producto. Estos a menudo se generalizan a argumentos multidimensionales y más de dos argumentos.∘.ff/outer(A, B, f)%o%Outer[f, A, B]kron(A, B)

En la biblioteca de Python NumPy , el producto externo se puede calcular con la función np.outer(). ^[8] Por el contrario, np.kronda como resultado una matriz plana. El producto externo de matrices multidimensionales se puede calcular utilizando np.multiply.outer.

Aplicaciones

Como el producto externo está estrechamente relacionado con el producto de Kronecker , algunas de las aplicaciones del producto de Kronecker utilizan productos externos. Estas aplicaciones se encuentran en la teoría cuántica, el procesamiento de señales y la compresión de imágenes . ^[9]

Espinores

Supóngase que s , t , w , z ∈ C de modo que ( s , t ) y ( w , z ) están en C ² . Entonces el producto externo de estos 2-vectores complejos es un elemento de M(2, C ) , las matrices complejas 2 × 2:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}sw&tw\\sz&tz\end{pmatrix}}.}$$

El determinante de esta matriz es swtz − sztw = 0 debido a la propiedad conmutativa de C.

En la teoría de espinores en tres dimensiones , estas matrices se asocian a vectores isotrópicos debido a esta propiedad nula. Élie Cartan describió esta construcción en 1937, ^[10] pero fue introducida por Wolfgang Pauli en 1927 ^[11] de modo que M(2, C ) ha pasado a denominarse álgebra de Pauli .

Conceptos

La forma de bloque de los productos externos es útil en la clasificación. El análisis de conceptos es un estudio que depende de ciertos productos externos:

Cuando un vector tiene solo ceros y unos como entradas, se denomina vector lógico , un caso especial de matriz lógica . La operación lógica y sustituye a la multiplicación. El producto externo de dos vectores lógicos ( u _i ) y ( v _j ) viene dado por la matriz lógica . Este tipo de matriz se utiliza en el estudio de las relaciones binarias y se denomina relación rectangular o vector cruzado . ^[12] ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\left(u_{i}\land v_{j}\right)}$

Véase también

• Diádicas
• Transformación del jefe de familia
• Norma (matemáticas)
• Cálculo de Ricci
• Matriz de dispersión

Productos

• Producto cartesiano
• Producto vectorial
• Producto exterior
• Producto Hadamard (matrices)

Dualidad

• Notación Bra-ket para el producto externo
• Conjugado complejo
• Transposición conjugada
• Transponer

Referencias

1. Lerner, RG ; Trigg, GL (1991). Enciclopedia de Física (2.ª ed.). VHC. ISBN 0-89573-752-3.
2. Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Álgebra lineal . Esquemas de Schaum (4ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
3. Keller, Frank (23 de febrero de 2020). "Propiedades algebraicas de matrices; transposición; producto interno y externo" (PDF) . inf.ed.ac.uk . Archivado (PDF) desde el original el 15 de diciembre de 2017 . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
4. James M. Ortega (1987) Teoría de matrices: un segundo curso , página 7, Plenum Press ISBN 0-306-42433-9 
5. Stengel, Robert F. (1994). Control óptimo y estimación. Nueva York: Dover Publications. pág. 26. ISBN 0-486-68200-5.
6. Trefethen, Lloyd N. ; Bau III, David (1997). Álgebra lineal numérica . Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. ISBN 978-0-89871-361-9.
7. "función externa | Documentación de R". rdocumentation.org . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .
8. "numpy.outer — Manual de NumPy v1.19". numpy.org . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .
9. Steeb, Willi-Hans; Hardy, Yorick (2011). "Aplicaciones (Capítulo 3)". Cálculo matricial y producto de Kronecker: un enfoque práctico para el álgebra lineal y multilineal (2.ª ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4335-31-7.
10. Élie Cartan (1937) Lecons sur la theorie des spineurs , traducido 1966: La teoría de Spinors , Hermann, París
11. Pertti Lounesto (1997) Álgebras y espinores de Clifford , página 51, Cambridge University Press ISBN 0-521-59916-4 
12. Ki-Hang Kim (1982) Teoría de matrices booleanas y aplicaciones , página 37, Marcel Dekker ISBN 0-8247-1788-0 

Lectura adicional

• Carlén, Eric; Canceicao Carvalho, María (2006). "Productos exteriores y proyecciones ortogonales". Álgebra lineal: desde el principio . Macmillan. págs. 217-218. ISBN 9780716748946.