f(R) gravedad

Teoría de la gravedad

f ( R ) es un tipo de teoría de la gravedad modificada que generaliza la relatividad general de Einstein .La gravedad f ( R ) es en realidad una familia de teorías, cada una definida por una función diferente, f , del escalar de Ricci , R . El caso más simple es simplemente que la función sea igual al escalar; esto es la relatividad general. Como consecuencia de la introducción de una función arbitraria, puede haber libertad para explicar la expansión acelerada y la formación de la estructura del Universo sin agregar formas desconocidas de energía oscura o materia oscura . Algunas formas funcionales pueden estar inspiradas por correcciones que surgen de una teoría cuántica de la gravedad . La gravedad f ( R ) fue propuesta por primera vez en 1970 por Hans Adolph Buchdahl ^[1] (aunque se utilizó ϕ en lugar de f para el nombre de la función arbitraria). Se ha convertido en un campo activo de investigación después del trabajo de Starobinsky sobre la inflación cósmica . ^[2] Se puede producir una amplia gama de fenómenos a partir de esta teoría adoptando diferentes funciones; Sin embargo, hoy en día se pueden descartar muchas formas funcionales por razones observacionales o debido a problemas teóricos patológicos.

Introducción

En la gravedad f ( R ), se busca generalizar el Lagrangiano de la acción de Einstein-Hilbert : a donde es el determinante del tensor métrico , y es alguna función del escalar de Ricci . ^[3] $${\displaystyle S[g]=\int {1 \over 2\kappa }R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$$ $${\displaystyle S[g]=\int {1 \over 2\kappa }f(R){\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$$ ${\displaystyle \kappa ={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}},g=\det g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle f(R)}$

Hay dos maneras de rastrear el efecto de cambiar a , es decir, obtener las ecuaciones de campo de la teoría . La primera es usar el formalismo métrico y la segunda es usar el formalismo de Palatini. ^[3] Si bien los dos formalismos conducen a las mismas ecuaciones de campo para la Relatividad General, es decir, cuando , las ecuaciones de campo pueden diferir cuando . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(R)}$ ${\displaystyle f(R)=R}$ ${\displaystyle f(R)\neq R}$

MétricoF(R) gravedad

Derivación de ecuaciones de campo

En la gravedad métrica f ( R ), se llega a las ecuaciones de campo variando la acción con respecto a la métrica y no tratando la conexión de forma independiente. Para completar, mencionaremos brevemente los pasos básicos de la variación de la acción. Los pasos principales son los mismos que en el caso de la variación de la acción de Einstein-Hilbert (consulte el artículo para obtener más detalles), pero también hay algunas diferencias importantes. ${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }}$

La variación del determinante es como siempre: $${\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }}$$

El escalar de Ricci se define como $${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.}$$

Por lo tanto, su variación con respecto a la métrica inversa viene dada por ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\left(\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right)\end{aligned}}}$$

Para el segundo paso, consulte el artículo sobre la acción de Einstein-Hilbert . Como es la diferencia de dos conexiones, debería transformarse en un tensor. Por lo tanto, se puede escribir como ${\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ $${\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda a}\left(\nabla _{\mu }\delta g_{a\nu }+\nabla _{\nu }\delta g_{a\mu }-\nabla _{a}\delta g_{\mu \nu }\right).}$$

Sustituyendo en la ecuación anterior: $${\displaystyle \delta R=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu }}$$

donde es la derivada covariante y es el operador d'Alembert . ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$ ${\displaystyle \square =g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }}$

Denotando , la variación en la acción se lee: ${\displaystyle F(R)={\frac {df}{dR}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S[g]&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(\delta f(R){\sqrt {-g}}+f(R)\delta {\sqrt {-g}}\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(F(R)\delta R{\sqrt {-g}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\left(F(R)(R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu })-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$$

Haciendo la integración por partes en el segundo y tercer término (y despreciando las contribuciones en el borde), obtenemos: $${\displaystyle \delta S[g]=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\delta g^{\mu \nu }\left(F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }]F(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x.}$$

Al exigir que la acción permanezca invariante ante variaciones de la métrica, , se obtienen las ecuaciones de campo: donde es el tensor de energía-momento definido como donde es el lagrangiano de la materia. ${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}=0}$ $${\displaystyle F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+\left[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right]F(R)=\kappa T_{\mu \nu },}$$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} })}{\delta g^{\mu \nu }}},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{m}}$

Las ecuaciones generalizadas de Friedmann

Suponiendo una métrica de Robertson-Walker con factor de escala, podemos encontrar que las ecuaciones generalizadas de Friedmann son (en unidades donde ): donde es el parámetro de Hubble , el punto es la derivada con respecto al tiempo cósmico t , y los términos ρ _m y ρ _rad representan las densidades de materia y radiación respectivamente; estos satisfacen las ecuaciones de continuidad : ${\displaystyle a(t)}$ ${\displaystyle \kappa =1}$ $${\displaystyle 3FH^{2}=\rho _{\rm {m}}+\rho _{\rm {rad}}+{\frac {1}{2}}(FR-f)-3H{\dot {F}}}$$ $${\displaystyle -2F{\dot {H}}=\rho _{\rm {m}}+{\frac {4}{3}}\rho _{\rm {rad}}+{\ddot {F}}-H{\dot {F}},}$$ $${\displaystyle H={\frac {\dot {a}}{a}}}$$ $${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {m}}+3H\rho _{\rm {m}}=0;}$$ $${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {rad}}+4H\rho _{\rm {rad}}=0.}$$

Constante de Newton modificada

Una característica interesante de estas teorías es el hecho de que la constante gravitacional depende del tiempo y la escala. ^[4] Para ver esto, agregue una pequeña perturbación escalar a la métrica (en el calibre newtoniano ): donde Φ y Ψ son los potenciales newtonianos y use las ecuaciones de campo hasta el primer orden. Después de algunos cálculos largos, se puede definir una ecuación de Poisson en el espacio de Fourier y atribuir los términos adicionales que aparecen en el lado derecho a una constante gravitacional efectiva G _eff . Al hacerlo, obtenemos el potencial gravitacional (válido en escalas de subhorizonte k ² ≫ a ² H ² ): donde δ ρ _m es una perturbación en la densidad de materia, k es la escala de Fourier y G _eff es: con $${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-(1+2\Phi )\mathrm {d} t^{2}+\alpha ^{2}(1-2\Psi )\delta _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}$$ $${\displaystyle \Phi =-4\pi G_{\mathrm {eff} }{\frac {a^{2}}{k^{2}}}\delta \rho _{\mathrm {m} }}$$ $${\displaystyle G_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{8\pi F}}{\frac {1+4{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}{1+3{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}},}$$ $${\displaystyle m\equiv {\frac {RF_{,R}}{F}}.}$$

Ondas gravitacionales masivas

Esta clase de teorías cuando se linealizan exhiben tres modos de polarización para las ondas gravitacionales , de los cuales dos corresponden al gravitón sin masa (helicidades ±2) y el tercero (escalar) proviene del hecho de que si tomamos en cuenta una transformación conforme, la teoría de cuarto orden f ( R ) se convierte en relatividad general más un campo escalar . Para ver esto, identifique y use las ecuaciones de campo anteriores para obtener $${\displaystyle \Phi \to f'(R)\quad {\textrm {and}}\quad {\frac {dV}{d\Phi }}\to {\frac {2f(R)-Rf'(R)}{3}},}$$ $${\displaystyle \Box \Phi ={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} \Phi }}}$$

Trabajando con la teoría de perturbaciones de primer orden y después de un poco de álgebra tediosa, se puede resolver la perturbación métrica, que corresponde a las ondas gravitacionales. Un componente de frecuencia particular, para una onda que se propaga en la dirección z , se puede escribir como donde $${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}$$ $${\displaystyle \Phi =\Phi _{0}+\delta \Phi }$$ $${\displaystyle h_{\mu \nu }(t,z;\omega )=A^{+}(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{+}+A^{\times }(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{\times }+h_{f}(v_{\mathrm {g} }t-z;\omega )\eta _{\mu \nu }}$$ $${\displaystyle h_{f}\equiv {\frac {\delta \Phi }{\Phi _{0}}},}$$

y v _g ( ω ) = d ω /d k es la velocidad de grupo de un paquete de ondas h _f centrado en el vector de onda k . Los dos primeros términos corresponden a las polarizaciones transversales habituales de la relatividad general, mientras que el tercero corresponde al nuevo modo de polarización masiva de las teorías f ( R ). Este modo es una mezcla del modo de respiración transversal sin masa (pero no sin traza) y el modo escalar longitudinal masivo. ^{[5] [6]} Los modos transversal y sin traza (también conocidos como modos tensoriales) se propagan a la velocidad de la luz , pero el modo escalar masivo se mueve a una velocidad v _G  < 1 (en unidades donde c  = 1), este modo es dispersivo. Sin embargo, en el formalismo de la métrica de gravedad f ( R ), para el modelo (también conocido como modelo puro ), el tercer modo de polarización es un modo de respiración pura y se propaga con la velocidad de la luz a través del espacio-tiempo. ^[7] ${\displaystyle f(R)=\alpha R^{2}}$ ${\displaystyle R^{2}}$

Formalismo equivalente

Bajo ciertas condiciones adicionales ^[8] podemos simplificar el análisis de las teorías f ( R ) introduciendo un campo auxiliar Φ . Suponiendo que para todo R , sea V ( Φ ) la transformación de Legendre de f ( R ) de manera que y . Entonces, se obtiene la acción de O'Hanlon (1972): ${\displaystyle f''(R)\neq 0}$ ${\displaystyle \Phi =f'(R)}$ ${\displaystyle R=V'(\Phi )}$ $${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[{\frac {1}{2\kappa }}\left(\Phi R-V(\Phi )\right)+{\mathcal {L}}_{\text{m}}\right].}$$

Tenemos las ecuaciones de Euler-Lagrange : $${\displaystyle V'(\Phi )=R}$$ $${\displaystyle \Phi \left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\right)+\left(g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right)\Phi +{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }V(\Phi )=\kappa T_{\mu \nu }}$$

Eliminando Φ obtenemos exactamente las mismas ecuaciones que antes, pero las ecuaciones son sólo de segundo orden en las derivadas, en lugar de cuarto orden.

Actualmente estamos trabajando con el marco de Jordan . Realizando un reescalado conforme: transformamos al marco de Einstein : después de integrar por partes. $${\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Phi g_{\mu \nu },}$$ $${\displaystyle R=\Phi \left[{\tilde {R}}+{\frac {3{\tilde {\Box }}\Phi }{\Phi }}-{\frac {9}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}\right]}$$ $${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}-{\frac {V(\Phi )}{\Phi ^{2}}}\right]}$$

Definiendo y sustituyendo ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}={\sqrt {3}}\ln {\Phi }}$ $${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\nabla }}{\tilde {\Phi }}\right)^{2}-{\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})\right]}$$ $${\displaystyle {\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})=e^{-{\frac {2}{\sqrt {3}}}{\tilde {\Phi }}}V\left(e^{{\tilde {\Phi }}/{\sqrt {3}}}\right).}$$

Esta es la relatividad general acoplada a un campo escalar real: usar teorías f ( R ) para describir el universo en aceleración es prácticamente equivalente a usar la quintaesencia . (Al menos, equivalente hasta la salvedad de que aún no hemos especificado los acoplamientos de materia, por lo que (por ejemplo) la gravedad f ( R ) en la que la materia está mínimamente acoplada a la métrica (es decir, en el marco de Jordan) es equivalente a una teoría de quintaesencia en la que el campo escalar media una quinta fuerza con fuerza gravitacional).

PalatiniF(R) gravedad

En la gravedad f ( R ) de Palatini , se trata la métrica y la conexión de forma independiente y se varía la acción con respecto a cada una de ellas por separado. Se supone que el lagrangiano de la materia es independiente de la conexión. Se ha demostrado que estas teorías son equivalentes a la teoría de Brans-Dicke con ω = − 3 ⁄ 2 . ^{[9] [10]} Sin embargo, debido a la estructura de la teoría, las teorías f ( R ) de Palatini parecen estar en conflicto con el Modelo Estándar, ^{[9] [11]} pueden violar los experimentos del sistema solar, ^[10] y parecen crear singularidades no deseadas. ^[12]

Métrico-afínF(R) gravedad

En la gravedad métrica-afín f ( R ), uno generaliza las cosas aún más, tratando tanto la métrica como la conexión independientemente, y asumiendo que el lagrangiano de la materia depende también de la conexión.

Pruebas de observación

Como hay muchas formas potenciales de la gravedad f ( R ), es difícil encontrar pruebas genéricas. Además, dado que las desviaciones de la Relatividad General pueden hacerse arbitrariamente pequeñas en algunos casos, es imposible excluir de manera concluyente algunas modificaciones. Se pueden lograr algunos avances, sin asumir una forma concreta para la función f ( R ), mediante la expansión de Taylor . $${\displaystyle f(R)=a_{0}+a_{1}R+a_{2}R^{2}+\cdots }$$

El primer término es como la constante cosmológica y debe ser pequeño. El siguiente coeficiente a ₁ puede establecerse en uno como en la relatividad general. Para la gravedad métrica f ( R ) (a diferencia de la gravedad de Palatini o métrica-afín f ( R )), el término cuadrático se limita mejor mediante mediciones de quinta fuerza , ya que conduce a una corrección de Yukawa al potencial gravitatorio. Los mejores límites actuales son | a ₂ | <4 × 10 ⁻⁹  m ² o equivalentemente | a ₂ | <2,3 × 10 ²²  GeV ⁻² . ^{[13] [14]}

El formalismo post-newtoniano parametrizado está diseñado para poder restringir las teorías genéricas modificadas de la gravedad. Sin embargo, la gravedad f ( R ) comparte muchos de los mismos valores que la Relatividad General y, por lo tanto, es indistinguible utilizando estas pruebas. ^[15] En particular, la desviación de la luz no cambia, por lo que la gravedad f ( R ), al igual que la Relatividad General, es completamente consistente con los límites del seguimiento de Cassini . ^[13]

Gravedad de Starobinsky

La gravedad de Starobinsky tiene la siguiente forma donde tiene las dimensiones de la masa. ^[16] $${\displaystyle f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}}$$ ${\displaystyle M}$

La gravedad de Starobinsky proporciona un mecanismo para la inflación cósmica , justo después del Big Bang, cuando todavía era grande. Sin embargo, no es adecuada para describir la aceleración del universo actual, ya que en la actualidad es muy pequeña. ^{[17] [18] [19]} Esto implica que el término cuadrático en es despreciable, es decir, se tiende a que es la Relatividad General con una constante cosmológica nula . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}}$ ${\displaystyle f(R)=R}$

Gravedad de Gogoi-Goswami

La gravedad de Gogoi-Goswami tiene la siguiente forma donde y son dos constantes positivas adimensionales y es una constante de curvatura característica. ^[20] $${\displaystyle f(R)=R-{\frac {\alpha }{\pi }}R_{c}\cot ^{-1}\left({\frac {R_{c}^{2}}{R^{2}}}\right)-\beta R_{c}\left[1-\exp \left(-{\frac {R}{R_{c}}}\right)\right]}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle R_{c}}$

Generalización tensorial

La gravedad f ( R ) como se presentó en las secciones anteriores es una modificación escalar de la relatividad general. De manera más general, podemos tener un acoplamiento que involucra invariantes del tensor de Ricci y el tensor de Weyl . Los casos especiales son la gravedad f ( R ), la gravedad conforme , la gravedad de Gauss-Bonnet y la gravedad de Lovelock . Observe que con cualquier dependencia tensorial no trivial, normalmente tenemos grados de libertad de espín 2 masivos adicionales, además del gravitón sin masa y un escalar masivo. Una excepción es la gravedad de Gauss-Bonnet donde los términos de cuarto orden para los componentes de espín 2 se cancelan. $${\displaystyle \int \mathrm {d} ^{D}x{\sqrt {-g}}\,f(R,R^{\mu \nu }R_{\mu \nu },R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma })}$$

Véase también

• Teorías extendidas de la gravedad
• Gravedad de Gauss-Bonnet
• Gravedad de Lovelock

Referencias

1. Buchdahl, HA (1970). "Lagrangianos no lineales y teoría cosmológica". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 150 : 1–8. Bibcode :1970MNRAS.150....1B. doi : 10.1093/mnras/150.1.1 .
2. Starobinsky, AA (1980). "Un nuevo tipo de modelos cosmológicos isotrópicos sin singularidad". Physics Letters B . 91 (1): 99–102. Código Bibliográfico :1980PhLB...91...99S. doi :10.1016/0370-2693(80)90670-X.
3. L. Amendola y S. Tsujikawa (2013) “Energía oscura, teoría y observaciones” Cambridge University Press
4. Tsujikawa, Shinji (2007). "Perturbaciones de la densidad de materia y constante gravitacional efectiva en modelos de gravedad modificados de energía oscura". Physical Review D . 76 (2): 023514. arXiv : 0705.1032 . Código Bibliográfico :2007PhRvD..76b3514T. doi :10.1103/PhysRevD.76.023514. S2CID  119324187.
5. Liang, Dicong; Gong, Yungui; Hou, Shaoqi; Liu, Yunqi (2017). "Polarizaciones de ondas gravitacionales en gravedad f(R)". Phys. Rev. D . 95 (10): 104034. arXiv : 1701.05998 . Código Bibliográfico :2017PhRvD..95j4034L. doi :10.1103/PhysRevD.95.104034. S2CID  119005163.
6. Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev Goswami, Umananda (2020). "Un nuevo modelo de gravedad f(R) y propiedades de las ondas gravitacionales en él". The European Physical Journal C . 80 (12): 1101. arXiv : 2006.04011 . Código Bibliográfico :2020EPJC...80.1101G. doi :10.1140/epjc/s10052-020-08684-3. S2CID  219530929.
7. Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev Goswami, Umananda (2022). "Ondas gravitacionales en el modelo de ley de potencia de gravedad f(R)". Revista india de física . 96 (2): 637. arXiv : 1901.11277 . Código Bibliográfico :2022InJPh..96..637G. doi :10.1007/s12648-020-01998-8. S2CID  231655238.
8. De Felice, Antonio; Tsujikawa, Shinji (2010). "Teorías f(R)". Living Reviews in Relativity . 13 (1): 3. arXiv : 1002.4928 . Código Bibliográfico :2010LRR....13....3D. doi : 10.12942/lrr-2010-3 . PMC 5255939 . PMID  28179828. 
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Lectura adicional

• Véase el capítulo 29 del libro de texto sobre "Partículas y campos cuánticos" de Kleinert, H. (2016), World Scientific (Singapur, 2016) (también disponible en línea)
• Sotiriou, TP; Faraoni, V. (2010). "Teorías f(R) de la gravedad". Reseñas de Física Moderna . 82 (1): 451–497. arXiv : 0805.1726 . Código Bibliográfico :2010RvMP...82..451S. doi :10.1103/RevModPhys.82.451. S2CID  15024691.
• Sotiriou, TP (2009). "6+1 lecciones de la gravedad f(R)". Journal of Physics: Conference Series . 189 (9): 012039. arXiv : 0810.5594 . Bibcode :2009JPhCS.189a2039S. doi :10.1088/1742-6596/189/1/012039. S2CID  14820388.
• Capozziello, S.; De Laurentis, M. (2011). "Teorías extendidas de la gravedad". Physics Reports . 509 (4–5): 167–321. arXiv : 1108.6266 . Código Bibliográfico :2011PhR...509..167C. doi :10.1016/j.physrep.2011.09.003. S2CID  119296243.
• Salvatore Capozziello y Mariafelicia De Laurentis, (2015) "Teorías de la gravitación F(R)". Scholarpedia, doi:10.4249/scholarpedia.31422
• Kalvakota, Vaibhav R., (2021) "Investigación de la gravedad y las cosmologías f(R)". Archivo de preimpresiones de física matemática, https://web.ma.utexas.edu/mp_arc/c/21/21-38.pdf

Enlaces externos

• f(R) gravedad en arxiv.org
• Teorías extendidas de la gravedad