Ecuaciones de Friedmann

Ecuaciones en cosmología física

Alejandro Friedmann

Las ecuaciones de Friedmann , también conocidas como ecuaciones de Friedmann–Lemaître ( FL ) , son un conjunto de ecuaciones en cosmología física que gobiernan la expansión del espacio en modelos homogéneos e isótropos del universo dentro del contexto de la relatividad general . Fueron derivadas por primera vez por Alexander Friedmann en 1922 a partir de las ecuaciones de campo de gravitación de Einstein para la métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker y un fluido perfecto con una densidad de masa dada ρ y una presión p . ^[1] Las ecuaciones para la curvatura espacial negativa fueron dadas por Friedmann en 1924. ^[2]

Suposiciones

Las ecuaciones de Friedmann parten del supuesto simplificador de que el universo es espacialmente homogéneo e isótropo , es decir, el principio cosmológico ; empíricamente, esto se justifica en escalas mayores que el orden de 100 Mpc . El principio cosmológico implica que la métrica del universo debe ser de la forma donde d s ₃ ² es una métrica tridimensional que debe ser una de (a) espacio plano, (b) una esfera de curvatura positiva constante o (c) un espacio hiperbólico con curvatura negativa constante. Esta métrica se llama métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW). El parámetro k discutido a continuación toma el valor 0, 1, −1, o la curvatura gaussiana , en estos tres casos respectivamente. Es este hecho el que nos permite hablar sensatamente de un " factor de escala " a ( t ) . $${\displaystyle -\mathrm {d} s^{2}=a(t)^{2}\,{\mathrm {d} s_{3}}^{2}-c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}}$$

Las ecuaciones de Einstein relacionan ahora la evolución de este factor de escala con la presión y la energía de la materia en el universo. A partir de la métrica FLRW calculamos los símbolos de Christoffel y luego el tensor de Ricci . Con el tensor de tensión-energía para un fluido perfecto, los sustituimos en las ecuaciones de campo de Einstein y las ecuaciones resultantes se describen a continuación.

Ecuaciones

Existen dos ecuaciones de Friedmann independientes para modelar un universo homogéneo e isótropo. La primera es: que se deriva del componente 00 de las ecuaciones de campo de Einstein . La segunda es: que se deriva de la primera junto con la traza de las ecuaciones de campo de Einstein (la dimensión de las dos ecuaciones es el tiempo ⁻² ). $${\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}+kc^{2}}{a^{2}}}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$$

a es el factor de escala , G , Λ y c son constantes universales ( G es la constante de gravitación newtoniana , Λ es la constante cosmológica con longitud de dimensión ⁻² y c es la velocidad de la luz en el vacío ). ρ  y p son la densidad de masa volumétrica (y no la densidad de energía volumétrica) y la presión, respectivamente. k es constante en toda una solución particular, pero puede variar de una solución a otra.

En ecuaciones anteriores, a , ρ y p son funciones del tiempo.a/un ²⁠ es la curvatura espacial en cualquier porción de tiempo del universo; es igual a una sexta parte de la curvatura espacial de Ricci escalar R ya que en el modelo de Friedmann. H ≡ ⁠ $${\displaystyle R={\frac {6}{c^{2}a^{2}}}({\ddot {a}}a+{\dot {a}}^{2}+kc^{2})}$$ȧ/a⁠ es el parámetro de Hubble .

Vemos que en las ecuaciones de Friedmann, a ( t ) no depende del sistema de coordenadas que elegimos para las porciones espaciales. Hay dos opciones de uso común para a y k que describen la misma física:

• k = +1, 0 o −1 dependiendo de si la forma del universo es una 3-esfera cerrada , plana ( espacio euclidiano ) o un 3- hiperboloide abierto, respectivamente. ^[3] Si k = +1 , entonces a es el radio de curvatura del universo. Si k = 0 , entonces a puede fijarse en cualquier número positivo arbitrario en un momento particular. Si k = −1 , entonces (hablando libremente) se puede decir que i · a es el radio de curvatura del universo.
• a es el factor de escala que se toma como 1 en el momento actual. k es la curvatura espacial actual (cuando a = 1 ). Si la forma del universo es hiperesférica y R _t es el radio de curvatura ( R ₀ en el momento actual), entonces a = ⁠Rt _./R0_​⁠ . Si k es positivo, entonces el universo es hipersférico. Si k = 0 , entonces el universo es plano . Si k es negativo, entonces el universo es hiperbólico .

Usando la primera ecuación, la segunda ecuación puede reexpresarse como que elimina Λ y expresa la conservación de masa-energía : $${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),}$$ $${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }=0.}$$

Estas ecuaciones a veces se simplifican reemplazándolas para obtener: $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &\to \rho -{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}&p&\to p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}&={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\\{\dot {H}}+H^{2}={\frac {\ddot {a}}{a}}&=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

La forma simplificada de la segunda ecuación es invariante bajo esta transformación.

El parámetro de Hubble puede cambiar con el tiempo si otras partes de la ecuación dependen del tiempo (en particular, la densidad de masa, la energía del vacío o la curvatura espacial). Al evaluar el parámetro de Hubble en el momento actual, se obtiene la constante de Hubble, que es la constante de proporcionalidad de la ley de Hubble . Aplicadas a un fluido con una ecuación de estado dada , las ecuaciones de Friedmann dan como resultado la evolución temporal y la geometría del universo en función de la densidad del fluido.

Algunos cosmólogos llaman a la segunda de estas dos ecuaciones la ecuación de aceleración de Friedmann y reservan el término ecuación de Friedmann sólo para la primera ecuación.

Parámetro de densidad

El parámetro de densidad Ω se define como la relación entre la densidad real (u observada) ρ y la densidad crítica ρ _c del universo de Friedmann. La relación entre la densidad real y la densidad crítica determina la geometría general del universo; cuando son iguales, la geometría del universo es plana (euclidiana). En modelos anteriores, que no incluían un término de constante cosmológica , la densidad crítica se definió inicialmente como el punto de inflexión entre un universo en expansión y uno en contracción.

Hasta la fecha, se estima que la densidad crítica es de aproximadamente cinco átomos (de hidrógeno monoatómico ) por metro cúbico, mientras que se cree que la densidad promedio de la materia ordinaria en el Universo es de 0,2 a 0,25 átomos por metro cúbico. ^{[4] [5]}

Distribución relativa estimada de los componentes de la densidad energética del universo. La energía oscura domina la energía total (74 %), mientras que la materia oscura (22 %) constituye la mayor parte de la masa. De la materia bariónica restante (4 %), solo una décima parte es compacta. En febrero de 2015, el equipo de investigación liderado por europeos que está detrás de la sonda cosmológica Planck publicó nuevos datos que refinan estos valores a 4,9 % de materia ordinaria, 25,9 % de materia oscura y 69,1 % de energía oscura.

Una densidad mucho mayor proviene de la materia oscura no identificada , aunque tanto la materia ordinaria como la oscura contribuyen a la contracción del universo. Sin embargo, la mayor parte proviene de la llamada energía oscura , que explica el término de la constante cosmológica. Aunque la densidad total es igual a la densidad crítica (exactamente, hasta el error de medición), la energía oscura no conduce a la contracción del universo, sino que puede acelerar su expansión.

Se obtiene una expresión para la densidad crítica suponiendo que Λ es cero (como lo es para todos los universos básicos de Friedmann) y fijando la curvatura espacial normalizada, k , igual a cero. Cuando se aplican las sustituciones a la primera de las ecuaciones de Friedmann, se obtiene: $${\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}=1.8788\times 10^{-26}h^{2}{\rm {kg}}\,{\rm {m}}^{-3}=2.7754\times 10^{11}h^{2}M_{\odot }\,{\rm {Mpc}}^{-3},}$$

(donde h = H ₀ /(100 km/s/Mpc) . Para H _o = 67,4 km/s/Mpc , es decir h = 0,674 , ρ _c =8,5 × 10 ⁻²⁷  kg/m3 ⁾ .

El parámetro de densidad (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) se define entonces como: $${\displaystyle \Omega :={\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G\rho }{3H^{2}}}.}$$

Este término se utilizó originalmente como un medio para determinar la geometría espacial del universo, donde ρ _c es la densidad crítica para la cual la geometría espacial es plana (o euclidiana). Suponiendo una densidad de energía de vacío cero, si Ω es mayor que la unidad, las secciones espaciales del universo están cerradas; el universo eventualmente dejará de expandirse, y luego colapsará. Si Ω es menor que la unidad, están abiertas; y el universo se expande para siempre. Sin embargo, también se pueden subsumir los términos de curvatura espacial y energía de vacío en una expresión más general para Ω en cuyo caso este parámetro de densidad es exactamente igual a la unidad. Luego es cuestión de medir los diferentes componentes, generalmente designados por subíndices. Según el modelo ΛCDM , hay componentes importantes de Ω debido a los bariones , la materia oscura fría y la energía oscura . La nave espacial WMAP ha medido que la geometría espacial del universo es casi plana. Esto significa que el universo puede aproximarse bien mediante un modelo donde el parámetro de curvatura espacial k es cero; Sin embargo, esto no implica necesariamente que el universo sea infinito: podría ser simplemente que el universo sea mucho más grande que la parte que vemos.

La primera ecuación de Friedmann se ve a menudo en términos de los valores actuales de los parámetros de densidad, es decir ^[6] Aquí Ω _0,R es la densidad de radiación actual (cuando a = 1 ), Ω _0,M es la densidad de materia ( oscura más bariónica ) actual, Ω _{0, k} = 1 − Ω ₀ es la "densidad de curvatura espacial" actual, y Ω _0,Λ es la constante cosmológica o densidad de vacío actual. $${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }.}$$

Soluciones útiles

Las ecuaciones de Friedmann se pueden resolver exactamente en presencia de un fluido perfecto con ecuación de estado donde p es la presión , ρ es la densidad de masa del fluido en el marco comóvil y w es una constante. $${\displaystyle p=w\rho c^{2},}$$

En un caso espacialmente plano ( k = 0 ), la solución para el factor de escala es donde a ₀ es una constante de integración que se fijará mediante la elección de las condiciones iniciales. Esta familia de soluciones etiquetadas como w es extremadamente importante para la cosmología. Por ejemplo, w = 0 describe un universo dominado por la materia , donde la presión es despreciable con respecto a la densidad de masa. A partir de la solución genérica, uno ve fácilmente que en un universo dominado por la materia el factor de escala es dominado por la materia. Otro ejemplo importante es el caso de un universo dominado por la radiación , es decir, cuando w = ⁠ $${\displaystyle a(t)=a_{0}\,t^{\frac {2}{3(w+1)}}}$$ $${\displaystyle a(t)\propto t^{2/3}}$$1/3⁠ . Esto conduce a una radiación dominada $${\displaystyle a(t)\propto t^{1/2}}$$

Nótese que esta solución no es válida en caso de predominio de la constante cosmológica, que corresponde a un w = −1 . En este caso la densidad de energía es constante y el factor de escala crece exponencialmente.

Se pueden encontrar soluciones para otros valores de k en Tersic, Balsa. "Lecture Notes on Astrophysics" . Consultado el 24 de febrero de 2022 .

Mezclas

Si la materia es una mezcla de dos o más fluidos que no interactúan, cada uno con una ecuación de estado tal, entonces se cumple por separado para cada fluido f . En cada caso, de lo que obtenemos $${\displaystyle {\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+{\frac {p_{f}}{c^{2}}}\right)\,}$$ $${\displaystyle {\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+w_{f}\rho _{f}\right)\,}$$ $${\displaystyle {\rho }_{f}\propto a^{-3\left(1+w_{f}\right)}\,.}$$

Por ejemplo, se puede formar una combinación lineal de tales términos donde A es la densidad del "polvo" (materia ordinaria, w = 0 ) cuando a = 1 ; B es la densidad de la radiación ( w = ⁠ $${\displaystyle \rho =Aa^{-3}+Ba^{-4}+Ca^{0}\,}$$1/3⁠ ) ​​cuando a = 1 ; y C es la densidad de "energía oscura" ( w = −1 ). Luego se sustituye esto en y se resuelve para a como función del tiempo. $${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\,}$$

Derivación detallada

Para hacer las soluciones más explícitas, podemos derivar las relaciones completas de la primera ecuación de Friedmann: con $${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {\dot {a}}{a}}\\[6px]H^{2}&=H_{0}^{2}\left(\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }\right)\\[6pt]H&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\dot {a}}{a}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\mathrm {d} a&=\mathrm {d} tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\end{aligned}}}$$

Reordenar y cambiar para utilizar las variables a ′ y t ′ para la integración $${\displaystyle tH_{0}=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a'^{2}}}}}$$

Se pueden encontrar soluciones para la dependencia del factor de escala con respecto al tiempo para universos dominados por cada componente. En cada caso, también hemos supuesto que Ω _{0, k} ≈ 0 , lo que equivale a suponer que la fuente dominante de densidad de energía es aproximadamente 1.

Para universos dominados por materia, donde Ω _0,M ≫ Ω _0,R y Ω _{0, Λ} , así como Ω _0,M ≈ 1 : lo que recupera el mencionado a ∝ t ^2/3 $${\displaystyle {\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}&=\left.\left({\tfrac {2}{3}}{a'}^{3/2}\right)\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left({\tfrac {3}{2}}tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}\right)^{2/3}&=a(t)\end{aligned}}}$$

Para universos dominados por la radiación, donde Ω _0,R ≫ Ω _0,M y Ω _0,Λ , así como Ω _0,R ≈ 1 : $${\displaystyle {\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}&=\left.{\frac {a'^{2}}{2}}\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left(2tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}\right)^{1/2}&=a(t)\end{aligned}}}$$

Para universos dominados por Λ , donde Ω _{0, Λ} ≫ Ω _0,R y Ω _0,M , así como Ω _{0, Λ} ≈ 1 , y donde ahora cambiaremos nuestros límites de integración de t _i a t y asimismo de a _i a a : $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(t-t_{i}\right)H_{0}&=\int _{a_{i}}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {(\Omega _{0,\Lambda }a'^{2})}}}\\[6px]\left(t-t_{i}\right)H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}&={\bigl .}\ln |a'|\,{\bigr |}_{a_{i}}^{a}\\[6px]a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)&=a(t)\end{aligned}}}$$

La solución del universo dominado por Λ es de particular interés porque la segunda derivada con respecto al tiempo es positiva, distinta de cero; en otras palabras, implica una expansión acelerada del universo, lo que hace de ρ _Λ un candidato para la energía oscura : $${\displaystyle {\begin{aligned}a(t)&=a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}\textstyle {\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\\[6px]{\frac {\mathrm {d} ^{2}a(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}&=a_{i}{H_{0}}^{2}\,\Omega _{0,\Lambda }\exp \left((t-t_{i})H_{0}\textstyle {\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\end{aligned}}}$$

Donde por construcción a _i > 0 , nuestras suposiciones fueron Ω _{0, Λ} ≈ 1 y se midió que H _{0 era positivo, lo que obliga a que la aceleración sea mayor que cero.}

En la cultura popular

Varios estudiantes de la Universidad de Tsinghua ( alma mater del líder del PCCh Xi Jinping ) que participaron en las protestas de 2022 por la COVID-19 en China llevaban carteles con ecuaciones de Friedmann garabateadas, interpretadas por algunos como un juego de palabras con las palabras “hombre libre”. Otros han interpretado el uso de las ecuaciones como un llamado a “abrir” China y detener su política de Covid Cero, ya que las ecuaciones de Friedmann se relacionan con la expansión o “apertura” del universo. ^[7]

Véase también

• Matemáticas de la relatividad general
• Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein
• Inflación cálida

Fuentes

1. Friedman, A (1922). "Über die Krümmung des Raumes". Z. Phys. (en alemán). 10 (1): 377–386. Código bibliográfico : 1922ZPhy...10..377F. doi :10.1007/BF01332580. S2CID  125190902. (Traducción al inglés: Friedman, A (1999). "Sobre la curvatura del espacio". Relatividad general y gravitación . 31 (12): 1991–2000. Bibcode :1999GReGr..31.1991F. doi :10.1023/A:1026751225741. S2CID  122950995.). El manuscrito original en ruso de este artículo se conserva en el archivo Ehrenfest.
2. Friedman, A (1924). "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativor Krümmung des Raumes". Z. Phys. (en alemán). 21 (1): 326–332. Código bibliográfico : 1924ZPhy...21..326F. doi :10.1007/BF01328280. S2CID  120551579. (Traducción al español: Friedmann, A (1999). "Sobre la posibilidad de un mundo con curvatura negativa constante del espacio". Relatividad general y gravitación . 31 (12): 2001–2008. Bibcode :1999GReGr..31.2001F. doi :10.1023/A:1026755309811. S2CID  123512351.)
3. D'Inverno, Ray (2008). Introducción a la relatividad de Einstein (edición repetida). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-859686-8.
4. Rees, Martin (2001). Sólo seis números: las fuerzas profundas que dan forma al universo . Astronomía/ciencia (edición revisada). Nueva York, NY: Basic Books. ISBN 978-0-465-03673-8.^{[ aclaración necesaria ]}
5. "Universo 101". NASA . Consultado el 9 de septiembre de 2015. La densidad real de los átomos equivale aproximadamente a 1 protón por cada 4 metros cúbicos .
6. Nemiroff, Robert J. ; Patla, Bijunath (2008). "Aventuras en la cosmología de Friedmann: una expansión detallada de las ecuaciones cosmológicas de Friedmann". American Journal of Physics . 76 (3): 265–276. arXiv : astro-ph/0703739 . Código Bibliográfico :2008AmJPh..76..265N. doi :10.1119/1.2830536. S2CID  51782808.
7. Murphy, Matt (28 de noviembre de 2022). "Las protestas en China: el papel en blanco se convierte en el símbolo de manifestaciones poco frecuentes". BBC News .

Lectura adicional

• Liebscher, Dierck-Ekkehard (2005). "Expansión". Cosmología . Berlín: Springer. págs. 53–77. ISBN 3-540-23261-3.