Teoría de la gravitación métrica-afín

En comparación con la relatividad general , las variables dinámicas de la teoría de la gravitación métrica-afín son tanto una métrica pseudo-riemanniana como una conexión lineal general en una variedad de mundos . La teoría de la gravitación métrica-afín se ha sugerido como una generalización natural de la teoría de la gravedad de Einstein-Cartan con torsión donde una conexión lineal obedece a la condición de que una derivada covariante de una métrica sea igual a cero. ^[1] ${\displaystyle X}$

La teoría de la gravitación métrica-afín proviene directamente de la teoría de la gravitación de calibración , donde una conexión lineal general desempeña el papel de un campo de calibración . ^[2] Sea el fibrado tangente sobre una variedad provista de coordenadas de fibrado . Una conexión lineal general en se representa mediante una forma de conexión de valor tangente : ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x^{\mu },{\dot {x}}^{\mu })}$ ${\displaystyle TX}$

${\displaystyle \Gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }{}^{\mu }{}_{\nu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {\partial }}_{\mu }).}$^[3]

Está asociada a una conexión principal en el fibrado principal de fibrados en los espacios tangentes a cuyo grupo de estructura es un grupo lineal general . ^[4] En consecuencia, puede ser tratada como un campo de calibre . Una métrica pseudo-riemanniana en se define como una sección global del fibrado cociente , donde es el grupo de Lorentz . Por lo tanto, uno puede considerarla como un campo de Higgs clásico en la teoría de gravitación de calibre. Las simetrías de calibre de la teoría de gravitación métrica-afín son transformaciones covariantes generales . ${\displaystyle FX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle GL(4,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle g=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle FX/SO(1,3)\to X}$ ${\displaystyle SO(1,3)}$

Es esencial que, dada una métrica pseudo-riemanniana , cualquier conexión lineal en admita una división ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle TX}$

${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu \alpha }=\{_{\mu \nu \alpha }\}+{\frac {1}{2}}C_{\mu \nu \alpha }+S_{\mu \nu \alpha }}$

en los símbolos de Christoffel

${\displaystyle \{_{\mu \nu \alpha }\}=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }g_{\nu \alpha }+\partial _{\alpha }g_{\nu \mu }-\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }),}$

un tensor de no metricidad

${\displaystyle C_{\mu \nu \alpha }=C_{\mu \alpha \nu }=\nabla _{\mu }^{\Gamma }g_{\nu \alpha }=\partial _{\mu }g_{\nu \alpha }+\Gamma _{\mu \nu \alpha }+\Gamma _{\mu \alpha \nu }}$

y un tensor de contorsión

${\displaystyle S_{\mu \nu \alpha }=-S_{\mu \alpha \nu }={\frac {1}{2}}(T_{\nu \mu \alpha }+T_{\nu \alpha \mu }+T_{\mu \nu \alpha }+C_{\alpha \nu \mu }-C_{\nu \alpha \mu }),}$

dónde

${\displaystyle T_{\mu \nu \alpha }={\frac {1}{2}}(\Gamma _{\mu \nu \alpha }-\Gamma _{\alpha \nu \mu })}$

es el tensor de torsión de . ${\displaystyle \Gamma }$

Debido a esta división, la teoría de la gravitación métrica-afín posee una colección diferente de variables dinámicas que son una métrica pseudo-riemanniana, un tensor de no metricidad y un tensor de torsión. Como consecuencia, un lagrangiano de la teoría de la gravitación métrica-afín puede contener diferentes términos expresados ​​tanto en una curvatura de una conexión como en sus tensores de torsión y no metricidad. En particular, se considera una gravedad métrica-afín f(R) , cuyo lagrangiano es una función arbitraria de una curvatura escalar de . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Una conexión lineal se denomina conexión métrica para una métrica pseudo-riemanniana si es su sección integral, es decir, la condición de metricidad. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }^{\Gamma }g_{\nu \alpha }=0}$

Se sostiene. Una conexión métrica se lee

${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu \alpha }=\{_{\mu \nu \alpha }\}+{\frac {1}{2}}(T_{\nu \mu \alpha }+T_{\nu \alpha \mu }+T_{\mu \nu \alpha }).}$

Por ejemplo, la conexión de Levi-Civita en la relatividad general es una conexión métrica libre de torsión.

Una conexión métrica está asociada a una conexión principal en un subfibrado reducido de Lorentz del fibrado marco correspondiente a una sección del fibrado cociente . Restringida a las conexiones métricas, la teoría de la gravitación métrica-afín llega a la teoría de la gravitación de Einstein-Cartan antes mencionada. ${\displaystyle F^{g}X}$ ${\displaystyle FX}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle FX/SO(1,3)\to X}$

Al mismo tiempo, cualquier conexión lineal define una conexión adaptada principal en un subfibrado reducido de Lorentz por su restricción a una subálgebra de Lorentz de un álgebra de Lie de un grupo lineal general . Por ejemplo, el operador de Dirac en la teoría de gravitación métrica-afín en presencia de una conexión lineal general está bien definido, y depende solo de la conexión adaptada . Por lo tanto, la teoría de gravitación de Einstein-Cartan puede formularse como la métrica-afín, sin apelar a la restricción de metricidad. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{g}}$ ${\displaystyle F^{g}X}$ ${\displaystyle GL(4,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{g}}$

En la teoría de la gravitación métrica-afín, en comparación con la de Einstein-Cartan, surge la cuestión de la fuente de materia de un tensor de no metricidad, el llamado hipermomento, es decir, una corriente de Noether de simetría de escala .

Véase también

• Teoría de la gravitación de calibre
• Teoría de Einstein-Cartan
• Teoría de calibres afines
• Teorías clásicas de campos unificados

Referencias

1. Hehl, FW; McCrea, JD; Mielke, EW; Ne'eman, Y. (julio de 1995). "Teoría de la gravedad de calibre métrico-afín: ecuaciones de campo, identidades de Noether, espinores del mundo y ruptura de la invariancia de dilatación". Physics Reports . 258 (1–2): 1–171. arXiv : gr-qc/9402012 . doi :10.1016/0370-1573(94)00111-F.
2. Lord, Eric A. (febrero de 1978). "La teoría gravitacional métrica-afín como teoría de calibración del grupo afín". Physics Letters A . 65 (1): 1–4. doi :10.1016/0375-9601(78)90113-5.
3. Gubser, SS; Klebanov, IR; Polyakov, AM (28 de mayo de 1998). "Correladores de teoría de calibre a partir de teoría de cuerdas no crítica". Physics Letters B . 428 (1): 105–114. arXiv : hep-th/9802109 . doi :10.1016/S0370-2693(98)00377-3. ISSN  0370-2693.
4. Sardanashvily, G. (2002). "Sobre la base geométrica de la teoría clásica de la gravitación de calibre". arXiv : gr-qc/0201074 .

• Hehl, F.; McCrea, J.; Ne'eman, Y. (1995). "Teoría de la gravedad de calibración métrica-afín: ecuaciones de campo". Physics Reports . 258 (1–2): 1–171. arXiv : gr-qc/9402012 . doi :10.1016/0370-1573(94)00111-F. ISSN  0370-1573.
• Vitagliano, V.; Sotiriou, T.; Liberati, S. (2011). "La dinámica de la gravedad métrica-afín". Anales de Física . 326 (5): 1259–1273. arXiv : 1008.0171 . doi :10.1016/j.aop.2011.02.008.
• G. Sardanashvily , Teoría clásica de la gravitación de calibre, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 8 (2011) 1869–1895; arXiv :1110.1176
• C. Karahan, A. Altas, D. Demir, Escalares, vectores y tensores de la gravedad métrica-afín, General Relativity and Gravitation 45 (2013) 319–343; arXiv :1110.5168