Colector de hiperkähler

En geometría diferencial , una variedad hiperkähler es una variedad riemanniana dotada de tres estructuras casi complejas integrables que son de Kähler con respecto a la métrica riemanniana y satisfacen las relaciones cuaterniónicas . En particular, es una variedad hipercompleja . Todas las variedades hiperkähler son Ricci-planas y, por lo tanto, variedades de Calabi–Yau . ^[a] ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle I,J,K}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

Las variedades de hiperkähler fueron definidas por Eugenio Calabi en 1979. ^[1]

Historia temprana

El artículo de Marcel Berger de 1955 ^[2] sobre la clasificación de los grupos de holonomía de Riemann planteó por primera vez la cuestión de la existencia de variedades no simétricas con holonomía Sp( n )·Sp(1). A mediados de los años 1960, Edmond Bonan ^[3] y Kraines ^[4] demostraron resultados interesantes en el trabajo pionero de quienes demostraron de forma independiente que cualquier variedad de este tipo admite una 4-forma paralela . El análogo largamente esperado del teorema fuerte de Lefschetz se publicó ^[5] en 1982: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ^{n-k}\wedge \bigwedge ^{2k}T^{*}M=\bigwedge ^{4n-2k}T^{*}M.}$

Definición equivalente en términos de holonomía

De manera equivalente, una variedad hiperkähler es una variedad riemanniana de dimensión cuyo grupo de holonomía está contenido en el grupo simpléctico compacto Sp( n ) . ^[1] ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle 4n}$

En efecto, si es una variedad hiperkähler, entonces el espacio tangente T _x M es un espacio vectorial cuaterniónico para cada punto x de M , es decir, es isomorfo a para algún entero , donde es el álgebra de cuaterniones . El grupo simpléctico compacto Sp( n ) puede considerarse como el grupo de transformaciones ortogonales de cuyas son lineales con respecto a I , J y K . De esto, se sigue que el grupo de holonomía de la variedad de Riemann está contenido en Sp( n ) . Por el contrario, si el grupo de holonomía de una variedad de Riemann de dimensión está contenido en Sp( n ) , elijamos las estructuras complejas I _x , J _x y K _x en T _x M que conviertan a T _x M en un espacio vectorial cuaterniónico. El transporte paralelo de estas estructuras complejas da las estructuras complejas requeridas en M que convierten a una variedad hiperkähler. ${\displaystyle (M,g,I,J,K)}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle I,J,K}$ ${\displaystyle (M,g,I,J,K)}$

Dos esferas de estructuras complejas

Toda variedad hiperkähler tiene una 2-esfera de estructuras complejas con respecto a la cual la métrica es Kähler . De hecho, para cualquier número real tal que ${\displaystyle (M,g,I,J,K)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\,}$

La combinación lineal

${\displaystyle aI+bJ+cK\,}$

es una estructura compleja que es Kähler con respecto a . Si denota las formas de Kähler de , respectivamente, entonces la forma de Kähler de es ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \omega _{I},\omega _{J},\omega _{K}}$ ${\displaystyle (g,I),(g,J),(g,K)}$ ${\displaystyle aI+bJ+cK}$

${\displaystyle a\omega _{I}+b\omega _{J}+c\omega _{K}.}$

Forma simpléctica holomorfa

Una variedad hiperkähler , considerada como una variedad compleja , es holomorfamente simpléctica (equipada con una 2-forma holomórfica, no degenerada y cerrada). Más precisamente, si denota las formas de Kähler de , respectivamente, entonces ${\displaystyle (M,g,I,J,K)}$ ${\displaystyle (M,I)}$ ${\displaystyle \omega _{I},\omega _{J},\omega _{K}}$ ${\displaystyle (g,I),(g,J),(g,K)}$

${\displaystyle \Omega :=\omega _{J}+i\omega _{K}}$

es simpléctico holomórfico con respecto a . ${\displaystyle I}$

Por el contrario, la prueba de Shing-Tung Yau de la conjetura de Calabi implica que una variedad compacta , Kähler , holomorfamente simpléctica siempre está equipada con una métrica de hiperkähler compatible. ^[6] Tal métrica es única en una clase de Kähler dada. Las variedades compactas de hiperkähler han sido ampliamente estudiadas utilizando técnicas de geometría algebraica , a veces bajo el nombre de variedades holomorfamente simplécticas . El grupo de holonomía de cualquier métrica de Calabi–Yau en una variedad compacta simplemente conexa holomorfamente simpléctica de dimensión compleja con es exactamente Sp( n ) ; y si la variedad de Calabi–Yau simplemente conexa en cambio tiene , es simplemente el producto de Riemann de variedades de hiperkähler de dimensión inferior. Este hecho se desprende inmediatamente de la fórmula de Bochner para formas holomorfas en una variedad de Kähler, junto con la clasificación de Berger de los grupos de holonomía ; irónicamente, a menudo se atribuye a Bogomolov, quien incorrectamente afirmó en el mismo artículo que las variedades compactas de hiperkähler en realidad no existen. ${\displaystyle (M,I,\Omega )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle H^{2,0}(M)=1}$ ${\displaystyle H^{2,0}(M)\geq 2}$

Ejemplos

Para cualquier entero , el espacio de -tuplas de cuaterniones dotado de la métrica euclidiana plana es una variedad hiperkähler. El primer ejemplo no trivial descubierto es la métrica de Eguchi-Hanson sobre el fibrado cotangente de la biesfera . También fue descubierta independientemente por Eugenio Calabi , quien mostró la afirmación más general de que el fibrado cotangente de cualquier espacio proyectivo complejo tiene una métrica hiperkähler completa . ^[1] De manera más general, Birte Feix y Dmitry Kaledin demostraron que el fibrado cotangente de cualquier variedad de Kähler tiene una estructura hiperkähler en un entorno de su sección cero , aunque generalmente es incompleta. ^{[7] [8]} ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{*}S^{2}}$ ${\displaystyle T^{*}\mathbb {CP} ^{n}}$

Gracias a la clasificación de superficies complejas de Kunihiko Kodaira , sabemos que cualquier variedad compacta de hiperkähler de 4 dimensiones es una superficie K3 o un toro compacto . (Toda variedad de Calabi–Yau en 4 dimensiones (reales) es una variedad de hiperkähler, porque SU(2) es isomorfa a Sp(1) ). ${\displaystyle T^{4}}$

Como descubrió Beauville, ^[6] el esquema de Hilbert de k puntos en una 4-variedad hiperkähler compacta es una variedad hiperkähler de dimensión 4k . Esto da lugar a dos series de ejemplos compactos: esquemas de Hilbert de puntos en una superficie K3 y variedades de Kummer generalizadas .

Las 4-variedades no compactas, completas e hiperkähler que son asintóticas a H / G , donde H denota los cuaterniones y G es un subgrupo finito de Sp(1) , se conocen como espacios asintóticamente localmente euclidianos o ALE. Estos espacios, y varias generalizaciones que implican diferentes comportamientos asintóticos, se estudian en física bajo el nombre de instantones gravitacionales . El ansatz de Gibbons-Hawking proporciona ejemplos invariantes bajo la acción de un círculo.

Muchos ejemplos de variedades hiperkähler no compactas surgen como espacios de módulos de soluciones a ciertas ecuaciones de teoría de gauge que surgen de la reducción dimensional de las ecuaciones de Yang-Mills anti-auto duales : espacios de módulos de instantones, ^[9] espacios de módulos de monopolos , ^[10] espacios de soluciones a las ecuaciones de auto-dualidad de Nigel Hitchin en superficies de Riemann , ^[11] espacio de soluciones a ecuaciones de Nahm . Otra clase de ejemplos son las variedades de carcaj de Nakajima , ^[12] que son de gran importancia en la teoría de la representación.

Cohomología

Kurnosov, Soldatenkov y Verbitsky (2019) muestran que la cohomología de cualquier variedad hiperkähler compacta se integra en la cohomología de un toro, de manera que preserva la estructura de Hodge .

Notas

1. Esto se puede ver fácilmente al observar que Sp( n ) es un subgrupo del grupo unitario especial SU(2 n ) .

Véase también

• Variedad de cuaterniones-Kähler
• Variedad hipercompleja
• Variedad cuaterniónica
• Variedad Calabi-Yau
• Instante gravitacional
• Cociente de hiperkähler
• Teoría de twistores

Referencias

1. Calabi, Eugenio (1979). "Métriques kählériennes et fibrés holomorphes". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Quatrième Série, 12 (2): 269–294. doi : 10.24033/asens.1367 .
2. Berger, Marcel (1955). "Sur les groups d'holonomie des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes" (PDF) . Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 83 : 279–330. doi : 10.24033/bsmf.1464 .
3. Bonán, Edmond (1965). "Estructura presque quaternale sur une variété diferenciable". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 261 : 5445–8.
4. Kraines, Vivian Yoh (1966). "Topología de variedades cuaterniónicas" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 122 (2): 357–367. doi : 10.1090/S0002-9947-1966-0192513-X . JSTOR  1994553.
5. Bonán, Edmond (1982). "Sur l'algèbre extérieure d'une variété presque hermitienne quaternionique". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 295 : 115-118.
6. Beauville, A. Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle. J. Geom diferencial. 18 (1983), núm. 4, 755–782 (1984).
7. Feix, B. Métricas de Hyperkähler en fibrados cotangentes. J. Reine Angew. Math. 532 (2001), 33–46.
8. Kaledin, D. Una métrica hiperkähler canónica en el espacio total de un fibrado cotangente. Estructuras cuaterniónicas en matemáticas y física (Roma, 1999), 195–230, Univ. Studi Roma "La Sapienza", Roma, 1999.
9. Maciocia, A. Métricas en los espacios de módulos de instantones sobre el espacio euclidiano de 4 dimensiones. Comm. Math. Phys. 135 (1991), núm. 3, 467–482.
10. Atiyah, M.; Hitchin, N. La geometría y dinámica de los monopolos magnéticos. Conferencias de MB Porter. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1988.
11. Hitchin, N. Las ecuaciones de autodualidad en una superficie de Riemann. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), núm. 1, 59–126.
12. Nakajima, H. Instantones en espacios ALE, variedades quiver y álgebras de Kac-Moody. Duke Math. J. 76 (1994), núm. 2, 365–416.

• Dunajski, Maciej; Mason, Lionel J. (2000), "Herarquías de hiper-Kähler y su teoría de twistores", Communications in Mathematical Physics , 213 (3): 641–672, arXiv : math/0001008 , Bibcode :2000CMaPh.213..641D, doi :10.1007/PL00005532, MR  1785432, S2CID  17884816
• Kieran G. O'Grady, (2011) "Análogos de dimensiones superiores de superficies K3". MR2931873
• Hitchin, Nigel (1991–1992), "Múltiples Hyperkähler", Séminaire N. Bourbaki , 34 (Discusión n.º 748): 137–166, MR  1206066
• Kurnosov, Nikon; Soldatenkov, Andrey; Verbitsky, Misha (2019), "Construcción Kuga-Satake y cohomología de variedades hiperkähler", Avances en Matemáticas , 351 : 275–295, arXiv : 1703.07477 , doi : 10.1016/j.aim.2019.04.060, MR  3952121, S2CID  119 124485