La divisibilidad infinita surge de diferentes maneras en la filosofía , la física , la economía , la teoría del orden (una rama de las matemáticas) y la teoría de la probabilidad (también una rama de las matemáticas). Se puede hablar de divisibilidad infinita, o de la falta de ella, de la materia , el espacio , el tiempo , el dinero u objetos matemáticos abstractos como el continuo .
El origen de la idea en la tradición occidental se remonta al siglo V a. C., comenzando con el filósofo presocrático griego antiguo Demócrito y su maestro Leucipo , quienes teorizaron la divisibilidad de la materia más allá de lo que se puede percibir por los sentidos hasta terminar en un átomo indivisible. El filósofo indio Maharshi Kanada también propuso una teoría atomista, sin embargo, existe una ambigüedad en torno a cuándo vivió este filósofo, que va desde algún momento entre el siglo VI y el siglo II a. C. Alrededor del 500 a. C., postuló que si continuamos dividiendo la materia ( padarth ), obtendremos partículas cada vez más pequeñas. En última instancia, llegará un momento en que nos encontraremos con las partículas más pequeñas más allá de las cuales no será posible una mayor división. Llamó a estas partículas Parmanu . Otro filósofo indio, Pakudha Katyayama , elaboró esta doctrina y dijo que estas partículas normalmente existen en una forma combinada que nos da varias formas de materia. [1] [2] El atomismo se explora en el diálogo Timeo de Platón . Aristóteles demuestra que tanto la longitud como el tiempo son infinitamente divisibles, refutando el atomismo. [3] Andrew Pyle da una explicación lúcida de la divisibilidad infinita en las primeras páginas de su Atomism and its Critics . Allí muestra cómo la divisibilidad infinita implica la idea de que hay algún elemento extenso, como una manzana, que puede dividirse infinitas veces, donde uno nunca se divide hasta el punto, o hasta átomos de cualquier tipo. Muchos filósofos [¿ quiénes? ] afirman que la divisibilidad infinita involucra una colección de un número infinito de elementos (ya que hay divisiones infinitas, debe haber una colección infinita de objetos), o (más raramente), elementos del tamaño de un punto , o ambos. Pyle afirma que las matemáticas de las extensiones infinitamente divisibles no involucran ninguna de estas: que hay divisiones infinitas, pero solo colecciones finitas de objetos y nunca se dividen hasta elementos sin extensión puntual.
Zenón se preguntó cómo una flecha puede moverse si en un momento está aquí y sin movimiento y en un momento posterior está en otro lugar y sin movimiento.
Sin embargo, el razonamiento de Zenón es falaz cuando dice que si todo, cuando ocupa un espacio igual, está en reposo, y si lo que está en movimiento ocupa siempre ese espacio en cualquier momento, la flecha que vuela está, por tanto, inmóvil. Esto es falso, pues el tiempo no está compuesto de momentos indivisibles, como tampoco cualquier otra magnitud está compuesta de indivisibles. [4]
— Aristóteles, Física VI:9, 239b5
En referencia a la paradoja de Zenón de la flecha en vuelo, Alfred North Whitehead escribe que "un número infinito de actos de devenir pueden tener lugar en un tiempo finito si cada acto subsiguiente es más pequeño en una serie convergente": [5]
El argumento, en la medida en que es válido, genera una contradicción a partir de las dos premisas: (i) que en un devenir algo ( res vera ) deviene, y (ii) que cada acto de devenir es divisible en secciones anteriores y posteriores que son en sí mismas actos de devenir. Consideremos, por ejemplo, un acto de devenir durante un segundo. El acto es divisible en dos actos, uno durante la primera mitad del segundo, el otro durante la segunda mitad del segundo. Así, lo que deviene durante todo el segundo presupone lo que deviene durante el primer medio segundo. Análogamente, lo que deviene durante el primer medio segundo presupone lo que deviene durante el primer cuarto de segundo, y así indefinidamente. Así, si consideramos el proceso de devenir hasta el comienzo del segundo en cuestión, y preguntamos qué deviene entonces, no podemos dar ninguna respuesta. Porque cualquier criatura que indiquemos presupone una criatura anterior que devino después del comienzo del segundo y anterior a la criatura indicada. Por lo tanto, no hay nada que devenga de modo que se produzca una transición hacia el segundo en cuestión. [5]
— AN Whitehead, Proceso y realidad
Hasta el descubrimiento de la mecánica cuántica , no se hacía distinción entre la cuestión de si la materia es infinitamente divisible y la cuestión de si la materia puede cortarse en partes más pequeñas hasta el infinito .
Como resultado, la palabra griega átomos ( ἄτομος ), que literalmente significa "incortable", se suele traducir como "indivisible". Si bien el átomo moderno es divisible, en realidad es incortable: no existe una partición del espacio tal que sus partes correspondan a partes materiales del átomo. En otras palabras, la descripción mecánico-cuántica de la materia ya no se ajusta al paradigma del cortador de galletas. [6] Esto arroja nueva luz sobre el antiguo enigma de la divisibilidad de la materia. La multiplicidad de un objeto material (el número de sus partes) depende de la existencia, no de superficies delimitantes, sino de relaciones espaciales internas (posiciones relativas entre las partes), y estas carecen de valores determinados. Según el Modelo Estándar de la física de partículas, las partículas que forman un átomo ( quarks y electrones ) son partículas puntuales : no ocupan espacio. Lo que hace que un átomo ocupe espacio no es ninguna "materia" extendida espacialmente que "ocupe espacio" y que pueda cortarse en pedazos cada vez más pequeños, sino la indeterminación de sus relaciones espaciales internas.
El espacio físico suele considerarse infinitamente divisible: se piensa que cualquier región del espacio, por pequeña que sea, podría seguir dividiéndose. Del mismo modo, el tiempo se considera infinitamente divisible.
Sin embargo, según la mejor teoría actualmente aceptada en física, el Modelo Estándar , existe una distancia (llamada longitud de Planck , 1,616229(38)×10 −35 metros, llamada así por uno de los padres de la teoría cuántica, Max Planck ) y, por lo tanto, un intervalo de tiempo (la cantidad de tiempo que la luz tarda en recorrer esa distancia en el vacío, 5,39116(13) × 10 −44 segundos, conocido como el tiempo de Planck ) en el que se espera que el Modelo Estándar se rompa, lo que efectivamente hace que esta sea la escala física más pequeña sobre la que se pueden hacer afirmaciones significativas en la actualidad. Para predecir el comportamiento físico del espacio-tiempo y las partículas fundamentales a distancias más pequeñas se requiere una nueva teoría de la Gravedad Cuántica , que unifique las teorías hasta ahora incompatibles de la Mecánica Cuántica y la Relatividad General. [ cita requerida ]
Un dólar o un euro se divide en 100 céntimos; sólo se puede pagar en incrementos de un céntimo. Es bastante habitual que los precios de algunos productos, como la gasolina, se calculen en incrementos de una décima de céntimo por galón o por litro. Si la gasolina cuesta 3,979 dólares el galón y se compran 10 galones, entonces los 9/10 de céntimo "extra" son diez veces más: 9 céntimos "extra", por lo que en ese caso se paga el céntimo. El dinero es infinitamente divisible en el sentido de que se basa en el sistema de números reales. Sin embargo, las monedas de hoy en día no son divisibles (en el pasado, algunas monedas se pesaban con cada transacción y se consideraban divisibles sin ningún límite particular en mente). Hay un punto de precisión en cada transacción que es inútil porque cantidades tan pequeñas de dinero son insignificantes para los humanos. Cuanto más se multiplica el precio, más importa la precisión. Por ejemplo, al comprar un millón de acciones, el comprador y el vendedor pueden estar interesados en una diferencia de precio de una décima de centavo, pero es solo una opción. Todo lo demás en la medición y la elección de negocios es igualmente divisible en la medida en que las partes estén interesadas. Por ejemplo, los informes financieros pueden presentarse anualmente, trimestralmente o mensualmente. Algunos gerentes de empresas realizan informes de flujo de efectivo más de una vez al día.
Aunque el tiempo puede ser infinitamente divisible, los datos sobre los precios de los valores se informan en momentos discretos. Por ejemplo, si se examinan los registros de los precios de las acciones en la década de 1920, se pueden encontrar los precios al final de cada día, pero tal vez no a tres centésimas de segundo después de las 12:47 p.m. Sin embargo, un nuevo método, en teoría, podría informar al doble de velocidad, lo que no impediría mayores aumentos en la velocidad de los informes. Tal vez paradójicamente, las matemáticas técnicas aplicadas a los mercados financieros suelen ser más simples si se utiliza el tiempo infinitamente divisible como aproximación. Incluso en esos casos, se elige una precisión con la que trabajar y las mediciones se redondean a esa aproximación. En términos de interacción humana, el dinero y el tiempo son divisibles, pero solo hasta el punto en que una división posterior no tiene valor, punto que no se puede determinar con exactitud.
Decir que el campo de los números racionales es infinitamente divisible (es decir, de orden teóricamente denso ) significa que entre dos números racionales cualesquiera hay otro número racional. Por el contrario, el anillo de los números enteros no es infinitamente divisible.
La divisibilidad infinita no implica ausencia de huecos: los racionales no disfrutan de la propiedad de límite superior mínimo . Esto significa que si uno tuviera que dividir los racionales en dos conjuntos no vacíos A y B donde A contiene todos los racionales menores que algún número irracional ( π , digamos) y B todos los racionales mayores que él, entonces A no tiene ningún miembro más grande y B no tiene ningún miembro más pequeño. El cuerpo de números reales , por el contrario, es infinitamente divisible y sin huecos. Cualquier conjunto ordenado linealmente que sea infinitamente divisible y sin huecos, y tenga más de un miembro, es incontablemente infinito . Para una prueba, véase la primera prueba de incontabilidad de Cantor . La divisibilidad infinita por sí sola implica infinitud pero no incontabilidad, como ejemplifican los números racionales.
Decir que una distribución de probabilidad F en la línea real es infinitamente divisible significa que si X es cualquier variable aleatoria cuya distribución es F , entonces para cada entero positivo n existen n variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas X 1 , ..., X n cuya suma es igual en distribución a X (esas n otras variables aleatorias no suelen tener la misma distribución de probabilidad que X ).
La distribución de Poisson , la distribución de Poisson tartamudeante, [ cita requerida ] la distribución binomial negativa y la distribución Gamma son ejemplos de distribuciones infinitamente divisibles, al igual que la distribución normal , la distribución de Cauchy y todos los demás miembros de la familia de distribuciones estables . La distribución antinormal es un ejemplo de una distribución no infinitamente divisible. (Véase Domínguez-Molina y Rocha-Arteaga (2007)).
Toda distribución de probabilidad infinitamente divisible corresponde de manera natural a un proceso de Lévy , es decir, un proceso estocástico { X t : t ≥ 0 } con incrementos independientes estacionarios ( estacionario significa que para s < t , la distribución de probabilidad de X t − X s depende solo de t − s ; incrementos independientes significa que esa diferencia es independiente de la diferencia correspondiente en cualquier intervalo que no se superponga con [ s , t ], y de manera similar para cualquier número finito de intervalos).
Este concepto de divisibilidad infinita de distribuciones de probabilidad fue introducido en 1929 por Bruno de Finetti .
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