curva de manjar blanco

Curva fractal que se asemeja a un pudín de manjar blanco

Un gráfico de la curva de manjar blanco.

En matemáticas , la curva de manjar blanco es una curva fractal autoafín que se puede construir mediante subdivisión del punto medio. También se la conoce como curva de Takagi , en honor a Teiji Takagi quien la describió en 1901, o como curva Takagi-Landsberg , una generalización de la curva que lleva el nombre de Takagi y Georg Landsberg . El nombre de manjar blanco proviene de su parecido con un pudín de manjar blanco . Es un caso especial de la curva de Rham más general .

Definición

La función de manjar blanco se define en el intervalo unitario por

${\displaystyle \operatorname {blanc} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}},}$

donde es la onda triangular , definida por , es decir, es la distancia de x al entero más cercano . ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z} }}|x-n|}$ ${\displaystyle s(x)}$

La curva Takagi-Landsberg es una ligera generalización, dada por

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$

para un parámetro ; por lo tanto, la curva de manjar blanco es el caso . El valor se conoce como parámetro de Hurst . ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w=1/2}$ ${\displaystyle H=-\log _{2}w}$

La función se puede extender a toda la línea real: la aplicación de la definición dada anteriormente muestra que la función se repite en cada intervalo unitario.

Definición de ecuación funcional

La versión periódica de la curva de Takagi también se puede definir como la única solución acotada de la ecuación funcional. ${\displaystyle T=T_{w}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle T(x)=s(x)+wT(2x).}$

De hecho, la función de manjar blanco ciertamente está acotada y resuelve la ecuación funcional, ya que ${\displaystyle T_{w}}$

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)=s(x)+\sum _{n=1}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$ ${\displaystyle =s(x)+w\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n+1}x)=s(x)+wT_{w}(2x).}$

Por el contrario, si es una solución acotada de la ecuación funcional, iterando la igualdad que se tiene para cualquier N ${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+w^{N+1}T(2^{N+1}x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+o(1),{\text{ for }}N\to \infty ,}$

de donde . Por cierto, las ecuaciones funcionales anteriores poseen infinitas soluciones continuas y no acotadas, por ejemplo ${\displaystyle T=T_{w}}$ ${\displaystyle T_{w}(x)+c|x|^{-\log _{2}w}.}$

Construcción gráfica

La curva de manjar blanco se puede construir visualmente a partir de funciones de onda triangulares si la suma infinita se aproxima mediante sumas finitas de los primeros términos. En las ilustraciones siguientes, en cada etapa se añaden a la curva funciones triangulares progresivamente más finas (que se muestran en rojo).

Propiedades

Convergencia y continuidad

La suma infinita que define converge absolutamente para todos Dado que para todos ${\displaystyle T_{w}(x)}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle 0\leq s(x)\leq 1/2}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|w^{n}s(2^{n}x)|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }|w|^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}}$

si La curva Takagi del parámetro se define en el intervalo unitario (o ) si . La función Takagi del parámetro es continua . Las funciones definidas por las sumas parciales. ${\displaystyle |w|<1.}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |w|<1}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle T_{w,n}}$

${\displaystyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}$

son continuos y convergen uniformemente hacia ${\displaystyle T_{w}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right|&=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right|\\&=\left|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right|\\&\leq {\frac {|w|^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}\end{aligned}}}$

para todo x cuando Este límite disminuye según Por el teorema del límite uniforme , es continuo si | w | < 1. ${\displaystyle |w|<1.}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$ ${\displaystyle T_{w}}$

• 
  parámetro w = 2/3
• 
  parámetro w = 1/2
• 
  parámetro w = 1/3
• 
  parámetro w = 1/4
• 
  parámetro w = 1/8

Subaditividad

Dado que el valor absoluto es una función subaditiva, también lo es la función y sus dilataciones ; Dado que las combinaciones lineales positivas y los límites puntuales de funciones subaditivas son subaditivas, la función Takagi es subaditiva para cualquier valor del parámetro . ${\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z} }}|x-n|}$ ${\displaystyle s(2^{k}x)}$ ${\displaystyle w}$

El caso especial de la parábola

Pues se obtiene la parábola : la construcción de la parábola por subdivisión del punto medio fue descrita por Arquímedes . ${\displaystyle w=1/4}$

Diferenciabilidad

Para los valores del parámetro, la función Takagi es diferenciable en el sentido clásico en cualquiera que no sea un racional diádico . Por derivación bajo el signo de serie, para cualquier racional no diádico se encuentra ${\displaystyle 0<w<1/2,}$ ${\displaystyle T_{w}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(2b_{n}-1)}$

¿Dónde está la secuencia de dígitos binarios en la expansión en base 2 de : ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=\sum _{n=-k}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}\;.}$

De manera equivalente, los bits en la expansión binaria pueden entenderse como una secuencia de ondas cuadradas , las ondas de Haar , escaladas al ancho. Esto se deduce, ya que la derivada de la onda triangular es solo la onda cuadrada: ${\displaystyle 2^{-n}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}s(x)=\operatorname {sgn}(1/2-(x\!\!\!\mod 1))}$

y entonces

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\operatorname {sgn}(1/2-(2^{n}x\!\!\!\mod 1))}$

Para el parámetro la función es Lipschitz de constante En particular para el valor especial que se encuentra, para cualquier racional no diádico , de acuerdo con lo mencionado ${\displaystyle 0<w<1/2,}$ ${\displaystyle T_{w}}$ ${\displaystyle 1/(1-2w).}$ ${\displaystyle w=1/4}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle T_{1/4}'(x)=2-4x}$ ${\displaystyle T_{1/4}(x)=2x(1-x).}$

Para la función de manjar blanco, es de variación acotada en ningún conjunto abierto no vacío; ni siquiera localmente es Lipschitz, pero es cuasi-Lipschitz, de hecho, admite la función como módulo de continuidad . ${\displaystyle w=1/2}$ ${\displaystyle T_{w}}$ ${\displaystyle \omega (t):=t(|\log _{2}t|+1/2)}$

Expansión en serie de Fourier

La función Takagi-Landsberg admite una expansión en serie de Fourier absolutamente convergente:

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}\cos(2\pi mx)}$

con y, para ${\displaystyle a_{0}=1/4(1-w)}$ ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle a_{m}:=-{\frac {2}{\pi ^{2}m^{2}}}(4w)^{\nu (m)},}$

¿Dónde está la potencia máxima de lo que divide ? De hecho, la onda triangular anterior tiene una expansión en serie de Fourier absolutamente convergente. ${\displaystyle 2^{\nu (m)}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle s(x)={\frac {1}{4}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi (2k+1)x{\big )}.}$

Por convergencia absoluta, se puede reordenar la serie doble correspondiente para : ${\displaystyle T_{w}(x)}$

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)={\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {w^{n}}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi 2^{n}(2k+1)x{\big )}\,:}$

putt produce la serie de Fourier anterior para ${\displaystyle m=2^{n}(2k+1)}$ ${\displaystyle T_{w}(x).}$

Auto similitud

La definición recursiva permite dar el monoide de las autosimetrías de la curva. Este monoide está dado por dos generadores, g y r , que actúan sobre la curva (restringida al intervalo unitario) como

${\displaystyle [g\cdot T_{w}](x)=T_{w}\left(g\cdot x\right)=T_{w}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {x}{2}}+wT_{w}(x)}$

y

${\displaystyle [r\cdot T_{w}](x)=T_{w}(r\cdot x)=T_{w}(1-x)=T_{w}(x).}$

Un elemento general del monoide tiene entonces la forma para algunos números enteros. Esto actúa sobre la curva como una función lineal : para algunas constantes a , b y c . Debido a que la acción es lineal, se puede describir en términos de un espacio vectorial , con la base del espacio vectorial : ${\displaystyle \gamma =g^{a_{1}}rg^{a_{2}}r\cdots rg^{a_{n}}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \gamma \cdot T_{w}=a+bx+cT_{w}}$

${\displaystyle 1\mapsto e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle x\mapsto e_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle T_{w}\mapsto e_{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

En esta representación , la acción de g y r está dada por

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&w\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle r={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Es decir, la acción de un elemento general asigna la curva de manjar blanco en el intervalo unitario [0,1] a un subintervalo para algunos números enteros m , n , p . El mapeo viene dado exactamente por donde los valores de a , b y c se pueden obtener directamente multiplicando las matrices anteriores. Eso es: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle [m/2^{p},n/2^{p}]}$ ${\displaystyle [\gamma \cdot T_{w}](x)=a+bx+cT_{w}(x)}$

${\displaystyle \gamma ={\begin{bmatrix}1&{\frac {m}{2^{p}}}&a\\0&{\frac {n-m}{2^{p}}}&b\\0&0&c\end{bmatrix}}}$

Tenga en cuenta que es inmediato. ${\displaystyle p=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$

El monoide generado por gyr a veces se denomina monoide diádico ; es un submonoide del grupo modular . Cuando se habla del grupo modular, la notación más común para g y r es T y S , pero esa notación entra en conflicto con los símbolos utilizados aquí.

La representación tridimensional anterior es sólo una de las muchas representaciones que puede tener; muestra que la curva de manjar blanco es una posible realización de la acción. Es decir, hay representaciones para cualquier dimensión, no sólo 3; algunos de ellos dan las curvas de De Rham .

Integrando la curva de Blancmange

Dado que la integral de 0 a 1 es 1/2, la identidad permite calcular la integral en cualquier intervalo mediante la siguiente relación. El cálculo es recursivo y el tiempo de cálculo es del orden del registro de la precisión requerida. Definiendo ${\displaystyle \operatorname {blanc} (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {blanc} (x)=\operatorname {blanc} (2x)/2+s(x)}$

${\displaystyle I(x)=\int _{0}^{x}\operatorname {blanc} (y)\,dy}$

uno tiene eso

${\displaystyle I(x)={\begin{cases}I(2x)/4+x^{2}/2&{\text{if }}0\leq x\leq 1/2\\1/2-I(1-x)&{\text{if }}1/2\leq x\leq 1\\n/2+I(x-n)&{\text{if }}n\leq x\leq (n+1)\\\end{cases}}}$

La integral definida viene dada por:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\operatorname {blanc} (y)\,dy=I(b)-I(a).}$

Se puede obtener una expresión más general definiendo

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}s(y)dy={\begin{cases}x^{2}/2,&0\leq x\leq {\frac {1}{2}}\\-x^{2}/2+x-1/4,&{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\\n/4+S(x-n),&(n\leq x\leq n+1)\end{cases}}}$

que, combinado con la representación en serie, da

${\displaystyle I_{w}(x)=\int _{0}^{x}T_{w}(y)dy=\sum _{n=0}^{\infty }(w/2)^{n}S(2^{n}x)}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle I_{w}(1)={\frac {1}{4(1-w)}}}$

Esta integral también es autosimilar en el intervalo unitario, bajo la acción del monoide diádico descrito en la sección Autosimilitud . Aquí, la representación es de 4 dimensiones y tiene la base . La acción de g sobre el intervalo unitario es el diagrama de conmutación ${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}=\{1,x,x^{2},I_{w}(x)\}}$

${\displaystyle [g\cdot I_{w}](x)=I_{w}\left(g\cdot x\right)=I_{w}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {w}{2}}I_{w}(x).}$

A partir de esto se pueden leer inmediatamente los generadores de la representación cuatridimensional:

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{8}}\\0&0&0&{\frac {w}{2}}\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle r={\begin{bmatrix}1&1&1&{\frac {1}{4(1-w)}}\\0&-1&-2&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$

Las integrales repetidas se transforman bajo una representación dimensional de 5,6,....

Relación con complejos simpliciales

Dejar

${\displaystyle N={\binom {n_{t}}{t}}+{\binom {n_{t-1}}{t-1}}+\ldots +{\binom {n_{j}}{j}},\quad n_{t}>n_{t-1}>\ldots >n_{j}\geq j\geq 1.}$

Definir la función Kruskal-Katona

${\displaystyle \kappa _{t}(N)={n_{t} \choose t+1}+{n_{t-1} \choose t}+\dots +{n_{j} \choose j+1}.}$

El teorema de Kruskal-Katona establece que este es el número mínimo de ( t  − 1) -simplex que son caras de un conjunto de N t -simplex.

A medida que t y N se acercan al infinito, (adecuadamente normalizado) se acerca a la curva de manjar blanco. ${\displaystyle \kappa _{t}(N)-N}$

Ver también

• Función Cantor (también conocida como escalera del diablo)
• Función del signo de interrogación de Minkowski
• función Weierstrass
• Transformación diádica

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Función de manjar blanco". MundoMatemático .
• Takagi, Teiji (1901), "Un ejemplo simple de función continua sin derivada", Proc. Física-Matemáticas. Soc. Japón. , 1 : 176–177, doi : 10.11429/subatsuhokoku1901.1.F176
• Benoit Mandelbrot , "Paisajes fractales sin pliegues y con ríos", que aparece en La ciencia de las imágenes fractales , ed. Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe; Springer-Verlag (1988) págs. 243–260.
• Linas Vepstas, Simetrías de mapas de duplicación de períodos , (2004)
• Donald Knuth , El arte de la programación informática , volumen 4a. Algoritmos combinatorios, parte 1. ISBN 0-201-03804-8 . Consulte las páginas 372–375. 

Otras lecturas

• Allaart, Pieter C.; Kawamura, Kiko (11 de octubre de 2011), La función Takagi: una encuesta , arXiv : 1110.1691 , Bibcode :2011arXiv1110.1691A
• Lagarias, Jeffrey C. (17 de diciembre de 2011), La función Takagi y sus propiedades , arXiv : 1112.4205 , Bibcode :2011arXiv1112.4205L

enlaces externos

• Explorador Takagi
• (Algunas propiedades de la función Takagi)