exponente de hurst

Una medida de la dependencia de largo plazo de una serie temporal

El exponente de Hurst se utiliza como medida de la memoria a largo plazo de las series temporales . Se relaciona con las autocorrelaciones de las series temporales y la velocidad a la que estas disminuyen a medida que aumenta el desfase entre pares de valores. Los estudios que involucran el exponente de Hurst se desarrollaron originalmente en hidrología para la cuestión práctica de determinar el tamaño óptimo de la presa para las condiciones volátiles de lluvia y sequía del río Nilo que se habían observado durante un largo período de tiempo. ^{[1] [2]} El nombre "exponente de Hurst", o "coeficiente de Hurst", deriva de Harold Edwin Hurst (1880-1978), quien fue el investigador principal de estos estudios; el uso de la notación estándar H para el coeficiente también se relaciona con su nombre.

En geometría fractal , el exponente de Hurst generalizado ha sido denotado por H o ​​H _q en honor a Harold Edwin Hurst y Ludwig Otto Hölder (1859-1937) por Benoît Mandelbrot (1924-2010). ^[3] H está directamente relacionado con la dimensión fractal , D , y es una medida de la aleatoriedad "leve" o "salvaje" de una serie de datos. ^[4]

El exponente de Hurst se conoce como el "índice de dependencia" o "índice de dependencia de largo alcance". Cuantifica la tendencia relativa de una serie temporal a regresar fuertemente a la media o a agruparse en una dirección. ^[5] Un valor H en el rango de 0,5 a 1 indica una serie temporal con autocorrelación positiva a largo plazo, lo que significa que la disminución de la autocorrelación es más lenta que la exponencial, siguiendo una ley de potencia ; para la serie significa que un valor alto tiende a ser seguido por otro valor alto y que se producen excursiones futuras a más valores altos. Un valor en el rango de 0 a 0,5 indica una serie temporal con cambios a largo plazo entre valores altos y bajos en pares adyacentes, lo que significa que un solo valor alto probablemente será seguido por un valor bajo y que el valor después de este tenderá a ser alto, con esta tendencia a cambiar entre valores altos y bajos que dura mucho tiempo en el futuro, también siguiendo una ley de potencia. Un valor de H = 0,5 indica memoria corta , con autocorrelaciones (absolutas) que decaen exponencialmente rápido hasta cero.

Definición

El exponente de Hurst, H , se define en términos del comportamiento asintótico del rango reescalado en función del lapso de tiempo de una serie temporal de la siguiente manera: ^{[6] [7]}

$${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\frac {R(n)}{S(n)}}\right]=Cn^{H}{\text{ as }}n\to \infty \,,}$$dónde

• ${\displaystyle R(n)}$es el rango de las primeras desviaciones acumuladas de la media ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle S(n)}$es la serie (suma) de las primeras n desviaciones estándar
• ${\displaystyle \mathbb {E} \left[x\right]\,}$es el valor esperado
• ${\displaystyle n}$es el lapso de tiempo de la observación (número de puntos de datos en una serie de tiempo)
• ${\displaystyle C}$es una constante

Relación con la dimensión fractal

Para series temporales autosimilares, H está directamente relacionada con la dimensión fractal , D , donde 1 < D < 2, de modo que D = 2 - H. Los valores del exponente de Hurst varían entre 0 y 1, y los valores más altos indican una tendencia más suave, menos volatilidad y menos rugosidad. ^[8]

Para series de tiempo más generales o procesos multidimensionales, el exponente de Hurst y la dimensión fractal se pueden elegir independientemente, ya que el exponente de Hurst representa la estructura durante períodos asintóticamente más largos, mientras que la dimensión fractal representa la estructura durante períodos asintóticamente más cortos. ^[9]

Estimando el exponente

En la literatura se han propuesto varios estimadores de dependencia de largo alcance. El más antiguo y mejor conocido es el llamado análisis de rango reescalado (R/S) popularizado por Mandelbrot y Wallis ^{[3] [10]} y basado en hallazgos hidrológicos previos de Hurst. ^[1] Las alternativas incluyen DFA , regresión de periodograma, ^[11] varianzas agregadas, ^[12] estimador local de Whittle, ^[13] análisis wavelet, ^{[14] [15]} tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia .

Análisis de rango reescalado (R/S)

Para estimar el exponente de Hurst, primero se debe estimar la dependencia del rango reescalado del lapso de tiempo n de observación. ^[7] Una serie temporal de longitud completa N se divide en varias series temporales más cortas no superpuestas de longitud n , donde n toma valores N , N /2, N /4, ... (en el caso conveniente de que N sea una potencia de 2). Luego se calcula el rango reescalado promedio para cada valor de n .

Para cada una de estas series temporales de longitud , , el rango reescalado se calcula de la siguiente manera: ^{[6] [7]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\,}$

1. Calcular la media ; $${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,.}$$
2. Crear una serie ajustada a la media; $${\displaystyle Y_{t}=X_{t}-m\quad {\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,.}$$
3. Calcular la serie de desviaciones acumuladas ; ${\displaystyle Z}$ $${\displaystyle Z_{t}=\sum _{i=1}^{t}Y_{i}\quad {\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,.}$$
4. Calcular el rango ; ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle R(n)=\operatorname {max} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right)-\operatorname {min} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right).}$$
5. Calcular la desviación estándar ; ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S(n)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-m\right)^{2}}}.}$$
6. Calcular el rango reescalado y el promedio de todas las series de tiempo parciales de longitud ${\displaystyle R(n)/S(n)}$ ${\displaystyle n.}$

El exponente de Hurst se estima ajustando la ley de potencia a los datos. Esto se puede hacer trazando como una función de , y ajustando una línea recta; la pendiente de la línea da . Un enfoque más basado en principios sería ajustar la ley de potencia de manera de máxima verosimilitud. ^[16] Un gráfico de este tipo se denomina diagrama de caja. Sin embargo, se sabe que este enfoque produce estimaciones sesgadas del exponente de la ley de potencia. ^{[ aclaración necesaria ]} Para pequeño hay una desviación significativa de la pendiente de 0,5. ^{[ aclaración necesaria ]} Anis y Lloyd ^[17] estimaron que los valores teóricos (es decir, para ruido blanco) ^{[ aclaración necesaria ]} de la estadística R/S son: ${\displaystyle \mathbb {E} [R(n)/S(n)]=Cn^{H}}$ ${\displaystyle \log[R(n)/S(n)]}$ ${\displaystyle \log n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \mathbb {E} [R(n)/S(n)]={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n\leq 340\\{\frac {1}{\sqrt {n{\frac {\pi }{2}}}}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n>340\end{cases}}}$$

donde es la función gamma de Euler . ^{[ aclaración necesaria ]} El exponente de Hurst R/S corregido por Anis-Lloyd ^{[ aclaración necesaria ]} se calcula como 0,5 más la pendiente de . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle R(n)/S(n)-\mathbb {E} [R(n)/S(n)]}$

Intervalos de confianza

Hasta el momento no se ha derivado ninguna teoría de distribución asintótica para la mayoría de los estimadores del exponente de Hurst. Sin embargo, Weron ^[18] utilizó el método bootstrap para obtener formas funcionales aproximadas para los intervalos de confianza de los dos métodos más populares, es decir, para el análisis R/S corregido de Anis-Lloyd ^[17] :

y para DFA :

Aquí y es la longitud de la serie. En ambos casos, solo se consideraron subseries de longitud para estimar el exponente de Hurst; las subseries de longitud menor conducen a una alta varianza de las estimaciones de R/S. ${\displaystyle M=\log _{2}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>50}$

Exponente generalizado

El exponente básico de Hurst se puede relacionar con el tamaño esperado de los cambios, como una función del desfase entre observaciones, medido por E(| X _{t + τ} − X _t | ² ). Para la forma generalizada del coeficiente, el exponente aquí se reemplaza por un término más general, denotado por q .

Existen diversas técnicas para estimar H , sin embargo, evaluar la precisión de la estimación puede ser un asunto complicado. Matemáticamente, en una técnica, el exponente de Hurst se puede estimar de manera que: ^{[19] [20]} para una serie de tiempo puede definirse por las propiedades de escala de sus funciones de estructura ( ): donde , es el desfase temporal y el promedio se realiza sobre la ventana de tiempo, generalmente la escala de tiempo más grande del sistema. $${\displaystyle H_{q}=H(q),}$$ $${\displaystyle g(t),t=1,2,\dots }$$ ${\displaystyle S_{q}}$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle S_{q}=\left\langle \left|g(t+\tau )-g(t)\right|^{q}\right\rangle _{t}\sim \tau ^{qH(q)},}$$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle t\gg \tau ,}$$

En la práctica, en la naturaleza no hay límite de tiempo y, por lo tanto, H no es determinista, ya que solo puede estimarse en función de los datos observados; por ejemplo, el movimiento diario al alza más dramático jamás visto en un índice bursátil siempre puede superarse durante algún día posterior. ^[21]

En la técnica de estimación matemática anterior, la función H ( q ) contiene información sobre volatilidades generalizadas promediadas a escala (solo se utilizan q = 1, 2 para definir la volatilidad). En particular, el exponente H _{1 indica un comportamiento persistente (} H ₁ > 1 ⁄ 2 ) o antipersistente ( H ₁ < 1 ⁄ 2 ) de la tendencia. ${\displaystyle \tau }$

Para el BRW ( ruido marrón ) se obtiene y para el ruido rosa ( ) ${\displaystyle 1/f^{2}}$ $${\displaystyle H_{q}={\frac {1}{2}},}$$ ${\displaystyle 1/f}$ $${\displaystyle H_{q}=0.}$$

El exponente de Hurst para el ruido blanco depende de la dimensión, ^[22] y para 1D y 2D es $${\displaystyle H_{q}^{1D}={\frac {1}{2}},\quad H_{q}^{2D}=-1.}$$

Para los populares procesos estables de Lévy y los procesos de Lévy truncados con parámetro α se ha encontrado que

$${\displaystyle H_{q}=q/\alpha ,}$$para , y para . El análisis de fluctuación multifractal sin tendencia ^[23] es un método para estimar a partir de series de tiempo no estacionarias. Cuando es una función no lineal de q la serie de tiempo es un sistema multifractal . ${\displaystyle q<\alpha }$ ${\displaystyle H_{q}=1}$ ${\displaystyle q\geq \alpha }$ ${\displaystyle H(q)}$ ${\displaystyle H(q)}$

Nota

En la definición anterior, se mezclan dos requisitos separados como si fueran uno solo. ^[24] Aquí están los dos requisitos independientes: (i) estacionariedad de los incrementos , x ( t + T ) − x ( t ) = x ( T ) − x (0) en la distribución. Esta es la condición que produce autocorrelaciones de largo plazo. (ii) La autosimilitud del proceso estocástico produce entonces una escala de varianza, pero no es necesaria para la memoria de largo plazo. Por ejemplo, tanto los procesos de Markov (es decir, los procesos sin memoria) como el movimiento browniano fraccional escalan al nivel de densidades de 1 punto (promedios simples), pero ninguno escala al nivel de correlaciones de pares o, correspondientemente, la densidad de probabilidad de 2 puntos. ^{[ aclaración necesaria ]}

Un mercado eficiente requiere una condición de martingala y, a menos que la varianza sea lineal en el tiempo, esto produce incrementos no estacionarios, x ( t + T ) − x ( t ) ≠ x ( T ) − x (0) . Las martingalas son markovianas en el nivel de correlaciones de pares, lo que significa que las correlaciones de pares no se pueden usar para superar un mercado de martingala. Los incrementos estacionarios con varianza no lineal, por otro lado, inducen la memoria de pares de largo plazo del movimiento browniano fraccional que haría que el mercado sea superable en el nivel de correlaciones de pares. Un mercado así estaría necesariamente lejos de ser "eficiente".

El econofísico AF Bariviera lleva a cabo un análisis de series temporales económicas mediante el exponente de Hurst utilizando rango reescalado y análisis de fluctuación sin tendencia . ^[25] Este artículo estudia el carácter variable en el tiempo de la dependencia de largo alcance y, por lo tanto, de la eficiencia informativa.

El exponente de Hurst también se ha aplicado a la investigación de la dependencia de largo alcance en el ADN , ^{[26] y en materiales} con banda prohibida fotónica . ^[27]

Véase también

• Dependencia de largo alcance
• Difusión anómala
• Rango reescalado
• Análisis de fluctuaciones sin tendencia

Implementaciones

• El código Matlab para calcular R/S, DFA, regresión de periodograma y estimaciones wavelet del exponente de Hurst y sus intervalos de confianza correspondientes está disponible en RePEc: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
• Implementación de R/S en Python: https://github.com/Mottl/hurst y de DFA y MFDFA en Python: https://github.com/LRydin/MFDFA
• Código Matlab para calcular Hurst real y Hurst complejo: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/49803-calculate-complex-hurst
• También se puede utilizar una hoja de cálculo de Excel para hacerlo: https://www.researchgate.net/publication/272792633_Excel_Hurst_Calculator

Referencias

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