Rango reescalado

El rango reescalado es una medida estadística de la variabilidad de una serie temporal introducida por el hidrólogo británico Harold Edwin Hurst (1880-1978). ^[1] Su finalidad es proporcionar una evaluación de cómo cambia la variabilidad aparente de una serie con la longitud del período de tiempo considerado.

El rango reescalado de una serie temporal se calcula dividiendo el rango de su serie de desviación acumulada ajustada a la media (véase § Cálculo) por la desviación estándar de la propia serie temporal. Por ejemplo, considere una serie temporal {1,3,1,0,2,5}, que tiene una media m = 2 y una desviación estándar S = 1,79. Al restar m de cada valor de la serie, se obtiene la serie ajustada a la media {-1,1,-1,-2,0,3}. Para calcular la serie de desviación acumulada, tomamos el primer valor -1, luego la suma de los dos primeros valores -1+1=0, luego la suma de los tres primeros valores y así sucesivamente para obtener {-1,0,-1,-3,-3,0}, cuyo rango es R = 3, por lo que el rango reescalado es R/S = 1,68.

Si consideramos la misma serie temporal, pero aumentamos el número de observaciones de la misma, el rango reescalado generalmente también aumentará. El aumento del rango reescalado se puede caracterizar haciendo un gráfico del logaritmo de R/S frente al logaritmo del número de muestras. La pendiente de esta línea da el exponente de Hurst , H. Si la serie temporal se genera mediante un paseo aleatorio (o un proceso de movimiento browniano ), tiene el valor de H = 1/2. Muchos fenómenos físicos que tienen una serie temporal larga adecuada para el análisis exhiben un exponente de Hurst mayor que 1/2. Por ejemplo, las observaciones de la altura del río Nilo medidas anualmente durante muchos años dan un valor de H = 0,77.

Varios investigadores (incluido Peters , 1991) han descubierto que los precios de muchos instrumentos financieros (como los tipos de cambio de divisas, los valores de las acciones, etc.) también tienen H > 1/2. ^[2] Esto significa que tienen un comportamiento distinto de un paseo aleatorio y, por lo tanto, la serie temporal no se genera mediante un proceso estocástico que tiene el valor n-ésimo independiente de todos los valores anteriores. Según un modelo ^[3] de movimiento browniano fraccional, esto se conoce como memoria larga de autocorrelación lineal positiva. Sin embargo, se ha demostrado ^[4] que esta medida es correcta solo para la evaluación lineal: los procesos no lineales complejos con memoria necesitan parámetros descriptivos adicionales. Varios estudios que utilizan la estadística de rango reescalado modificada de Lo ^[5] también han contradicho los resultados de Peters.

Cálculo

El rango reescalado se calcula para una serie temporal, , de la siguiente manera: ^[6] ${\displaystyle X=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\,}$

1. Calcular la media

   ${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,}$

2. Crear una serie ajustada a la media

   ${\displaystyle Y_{t}=X_{t}-m{\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,}$

3. Calcular la serie de desviaciones acumuladas Z;

   ${\displaystyle Z_{t}=\sum _{i=1}^{t}Y_{i}{\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,}$

4. Crear una serie de rango R;

   ${\displaystyle R_{t}=\max \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{t}\right)-\min \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{t}\right){\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,}$

5. Crear una serie de desviación estándar S;

   ${\displaystyle S_{t}={\sqrt {{\frac {1}{t}}\sum _{i=1}^{t}\left(X_{i}-m(t)\right)^{2}}}{\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,}$

   Donde m(t) es la media de los valores de la serie temporal a través del tiempo. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{t}\,}$

6. Calcular la serie de rango reescalada (R/S)

   ${\displaystyle \left(R/S\right)_{t}={\frac {R_{t}}{S_{t}}}{\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,}$

Lo (1991) aboga por ajustar la desviación estándar para el aumento esperado en el rango resultante de la autocorrelación de corto alcance en la serie temporal. ^[5] Esto implica reemplazar por , que es la raíz cuadrada de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$

${\displaystyle {\hat {S}}^{2}=S^{2}+2\sum _{j=1}^{q}\left(1-{\frac {j}{q+1}}\right)C(j),}$

donde es un desfase máximo sobre el cual la autocorrelación de corto plazo podría ser sustancial y es la autocovarianza de la muestra en el desfase . Utilizando este rango reescalado ajustado, concluye que las series temporales de retorno del mercado de valores no muestran evidencia de memoria de largo plazo. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle C(j)}$ ${\displaystyle j}$

Véase también

• Fractal
• Movimiento browniano fraccional
• Cola gorda

Referencias

1. Hurst, HE (1951). "Capacidad de almacenamiento a largo plazo de los embalses". Trans. Am. Soc. Eng . 116 : 770–799.
2. Peters, EE (1991). Caos y orden en los mercados de capitales . John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-53372-6.
3. Mandelbrot, B. (1968). "Movimientos brownianos fraccionales, ruidos fraccionales y aplicaciones". SIAM Review . 10 (4): 422–437. Bibcode :1968SIAMR..10..422M. doi :10.1137/1010093.
4. Kamenshchikov, S. (2014). "Análisis de catástrofes de transporte como alternativa a una descripción monofractal: teoría y aplicación a series temporales de crisis financieras". Journal of Chaos . 2014 : 1–8. doi : 10.1155/2014/346743 .
5. Lo, A. (1991). "Memoria a largo plazo en los precios del mercado de valores" (PDF) . Econometrica . 59 (5): 1279–1313. doi :10.2307/2938368. hdl : 1721.1/2245 . JSTOR  2938368.
6. Bo Qian; Khaled Rasheed (2004). EXPONENTE DE HURST Y PREDICTABILIDAD DEL MERCADO FINANCIERO . Conferencia IASTED sobre "Ingeniería financiera y aplicaciones" (FEA 2004). págs. 203–209. CiteSeerX 10.1.1.137.207 . 

Lectura adicional

• Hurst, HE; ​​Black, RP; Simaika, YM (1965). Almacenamiento a largo plazo: un estudio experimental . Londres: Constable.
• Beran, J. (1994). Estadísticas para procesos de memoria larga . Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-04901-9.
• Thiele, TA (2014). "Multiescalamiento y eficiencia del mercado bursátil en China". Revisión de los mercados financieros y políticas de la cuenca del Pacífico . 17 (4): 1450023. doi :10.1142/S0219091514500234.

Enlaces externos

• El código Matlab para calcular R/S, DFA, regresión de periodograma y estimaciones wavelet del exponente de Hurst y sus intervalos de confianza correspondientes está disponible en RePEc: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
• Implementación en Python: https://github.com/Mottl/hurst