La dependencia de largo alcance ( LRD ), también llamada memoria larga o persistencia de largo alcance , es un fenómeno que puede surgir en el análisis de datos espaciales o de series temporales . Se relaciona con la tasa de decaimiento de la dependencia estadística de dos puntos con el aumento del intervalo de tiempo o la distancia espacial entre los puntos. Por lo general, se considera que un fenómeno tiene dependencia de largo alcance si la dependencia decae más lentamente que un decaimiento exponencial , típicamente un decaimiento similar a una potencia. La LRD a menudo se relaciona con procesos o campos autosimilares . La LRD se ha utilizado en varios campos, como el modelado del tráfico de Internet, la econometría , la hidrología , la lingüística y las ciencias de la tierra. Se utilizan diferentes definiciones matemáticas de LRD para diferentes contextos y propósitos. [1] [2] [3] [4] [5] [6]
Una forma de caracterizar los procesos estacionarios dependientes de corto y largo alcance es en términos de sus funciones de autocovarianza . Para un proceso dependiente de corto alcance, el acoplamiento entre valores en diferentes momentos disminuye rápidamente a medida que aumenta la diferencia de tiempo. O bien la autocovarianza cae a cero después de un cierto desfase temporal, o bien acaba teniendo un decaimiento exponencial . En el caso de LRD, hay un acoplamiento mucho más fuerte. El decaimiento de la función de autocovarianza es similar a una potencia y, por tanto, más lento que el exponencial.
Una segunda forma de caracterizar la dependencia de largo y corto plazo es en términos de la varianza de la suma parcial de valores consecutivos. Para la dependencia de corto plazo, la varianza crece típicamente proporcionalmente al número de términos. En cuanto a LRD, la varianza de la suma parcial aumenta más rápidamente, lo que a menudo es una función de potencia con el exponente mayor que 1. Una forma de examinar este comportamiento utiliza el rango reescalado . Este aspecto de la dependencia de largo plazo es importante en el diseño de represas en ríos para recursos hídricos , donde las sumas corresponden al flujo total de entrada a la represa durante un período prolongado. [7]
Las dos formas anteriores están relacionadas matemáticamente entre sí, pero no son las únicas formas de definir LRD. En el caso en que no exista autocovarianza del proceso ( colas pesadas ), hay que encontrar otras formas de definir lo que significa LRD, y esto se hace a menudo con la ayuda de procesos autosimilares .
El parámetro de Hurst H es una medida del grado de dependencia de largo alcance en una serie temporal (aunque tiene otro significado en el contexto de procesos autosimilares ). H toma valores de 0 a 1. Un valor de 0,5 indica la ausencia de dependencia de largo alcance. [8] Cuanto más cerca esté H de 1, mayor será el grado de persistencia o dependencia de largo alcance. Un valor de H menor que 0,5 corresponde a antipersistencia, que como opuesto a LRD indica una fuerte correlación negativa, de modo que el proceso fluctúa violentamente.
Las varianzas de decaimiento lento, LRD y una densidad espectral que obedece a una ley de potencia son manifestaciones diferentes de la propiedad de la covarianza subyacente de un proceso estacionario. Por lo tanto, es posible abordar el problema de la estimación del parámetro de Hurst desde tres ángulos de diferencia:
Dada una secuencia LRD estacionaria, la suma parcial, si se considera como un proceso indexado por el número de términos después de un escalamiento adecuado, es un proceso autosimilar con incrementos estacionarios asintóticamente, siendo el más típico el movimiento browniano fraccionario . A la inversa, dado un proceso autosimilar con incrementos estacionarios con índice de Hurst H > 0,5, sus incrementos (diferencias consecutivas del proceso) son una secuencia LRD estacionaria.
Esto también es cierto si la secuencia depende de corto alcance, pero en este caso el proceso autosimilar resultante de la suma parcial solo puede ser un movimiento browniano ( H = 0,5).
Entre los modelos estocásticos que se utilizan para la dependencia de largo alcance, algunos populares son los modelos de promedio móvil integrado fraccionalmente autorregresivos , que se definen para procesos de tiempo discreto, mientras que los modelos de tiempo continuo pueden comenzar con el movimiento browniano fraccional .
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