Proceso autosimilar

Los procesos autosimilares son procesos estocásticos que satisfacen una versión matemáticamente precisa de la propiedad de autosimilitud . Varias propiedades relacionadas tienen este nombre y algunas se definen aquí.

Un fenómeno autosimilar se comporta de la misma manera cuando se observa con distintos grados de aumento o en distintas escalas de una dimensión. Debido a que los procesos estocásticos son variables aleatorias con un componente temporal y uno espacial, sus propiedades de autosimilitud se definen en términos de cómo se relaciona una escala en el tiempo con una escala en el espacio.

Autosimilitud distributiva

Una gráfica de un movimiento browniano y c decreciente, que demuestra la autosimilitud con el parámetro . ${\displaystyle (1/{\sqrt {c}})W_{ct}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle H=1/2}$

Definición

Un proceso estocástico de tiempo continuo se denomina autosimilar con parámetro si para todos los procesos y tienen la misma ley . ^[1] ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle H>0}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle (X_{at})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle (a^{H}X_{t})_{t\geq 0}}$

Ejemplos

• El proceso de Wiener (o movimiento browniano ) es autosimilar a . ^[2] ${\displaystyle H=1/2}$
• El movimiento browniano fraccionario es una generalización del movimiento browniano que preserva la autosimilitud; puede ser autosimilar para cualquier . ^[3] ${\displaystyle H\in (0,1)}$
• La clase de procesos de Lévy autosimilares se denominan procesos estables . Pueden ser autosimilares para cualquier . ^[4] ${\displaystyle H\in [1/2,\infty )}$

Autosimilitud de segundo orden

Definición

Un proceso estacionario de sentido amplio se denomina exactamente autosimilar de segundo orden con parámetro si se cumple lo siguiente: ${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle H>0}$

(i) , donde para cada , ${\displaystyle \mathrm {Var} (X^{(m)})=\mathrm {Var} (X)m^{2(H-1)}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle X_{k}^{(m)}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}X_{(k-1)m+i},}$

(ii) para todos , las funciones de autocorrelación y de y son iguales. ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{(m)}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{(m)}}$

Si en lugar de (ii), la condición más débil

(iii) puntualmente como ${\displaystyle r^{(m)}\to r}$ ${\displaystyle m\to \infty }$

se cumple, entonces se llama asintóticamente autosimilar de segundo orden . ^[5] ${\displaystyle X}$

Conexión con la dependencia a largo plazo

En este caso , la autosimilitud asintótica es equivalente a la dependencia de largo alcance . ^[1] Las características de autosimilitud y dependencia de largo alcance en las redes de computadoras presentan un conjunto de problemas fundamentalmente diferente para las personas que realizan análisis y/o diseño de redes, y muchas de las suposiciones previas sobre las que se han construido los sistemas ya no son válidas en presencia de autosimilitud. ^[6] ${\displaystyle 1/2<H<1}$

La dependencia de largo alcance está estrechamente relacionada con la teoría de distribuciones de cola pesada . ^[7] Se dice que una distribución tiene una cola pesada si

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{\lambda x}\Pr[X>x]=\infty \quad {\mbox{for all }}\lambda >0.\,}$

Un ejemplo de una distribución de cola pesada es la distribución de Pareto . Entre los procesos que se pueden describir mediante distribuciones de cola pesada se incluyen los procesos de tráfico, como los tiempos entre llegadas de paquetes y las longitudes de ráfagas. ^[8]

Ejemplos

• El teorema de convergencia de Tweedie se puede utilizar para explicar el origen de la varianza de la ley de potencia media , el ruido 1/f y la multifractalidad , características asociadas con procesos autosimilares. ^[9]
• Los datos de tráfico de Ethernet suelen ser autosimilares. ^[5] Los estudios empíricos de trazas de tráfico medidas han llevado al amplio reconocimiento de la autosimilitud en el tráfico de red. ^[8]

Referencias

1. §1.4.1 de Park, Willinger (2000)
2. Capítulo 2: Lema 9.4 de Ioannis Karatzas; Steven E. Shreve (1991), Brownian Motion and Stochastic Calculus (segunda edición), Springer Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0949-2, ISBN 978-0-387-97655-6
3. Gennady Samorodnitsky; Murad S. Taqqu (1994), "Capítulo 7: "Procesos autosimilares"", Procesos aleatorios no gaussianos estables , Chapman & Hall, ISBN 0-412-05171-0
4. Teorema 3.2 de Andreas E. Kyprianou; Juan Carlos Pardo (2022), Procesos de Lévy estables mediante representaciones de tipo Lamperti , Nueva York, NY: Cambridge University Press , doi :10.1017/9781108648318, ISBN 978-1-108-48029-1
5. Will E. Leland; Murad S. Taqqu ; Walter Willinger; Daniel V. Wilson (febrero de 1994), "Sobre la naturaleza autosimilar del tráfico Ethernet (versión extendida)", IEEE/ACM Transactions on Networking , 2 (1), IEEE : 1–15, doi : 10.1109/90.282603
6. "Sitio web sobre autosimilitud y dependencia de largo alcance en redes". Cs.bu.edu. Archivado desde el original el 22 de agosto de 2019. Consultado el 25 de junio de 2012 .
7. §1.4.2 de Park, Willinger (2000)
8. Park, Willinger (2000)
9. Kendal, Wayne S.; Jørgensen, Bent (27 de diciembre de 2011). "Convergencia de Tweedie: una base matemática para la ley de potencia de Taylor, el ruido 1/f y la multifractalidad". Physical Review E . 84 (6). American Physical Society (APS): 066120. Bibcode :2011PhRvE..84f6120K. doi :10.1103/physreve.84.066120. ISSN  1539-3755. PMID  22304168.

Fuentes

• Kihong Park; Walter Willinger (2000), Evaluación del rendimiento y tráfico de redes autosimilares , Nueva York, NY, EE. UU.: John Wiley & Sons, Inc., doi : 10.1002/047120644X, ISBN 0471319740