La función del signo de interrogación de Minkowski

Función con propiedades fractales inusuales

Función del signo de interrogación de Minkowski.

Izquierda: ?( x ) . Derecha: ?( x ) − x .

En matemáticas , la función de signo de interrogación de Minkowski , denominada ?( x ) , es una función con propiedades fractales inusuales , definida por Hermann Minkowski en 1904. ^[1] Asigna números irracionales cuadráticos a números racionales en el intervalo unitario , mediante una expresión que relaciona las expansiones fraccionarias continuas de las cuadráticas a las expansiones binarias de los racionales, dadas por Arnaud Denjoy en 1938. ^[2] También asigna números racionales a racionales diádicos , como puede verse en una definición recursiva estrechamente relacionada con el árbol de Stern-Brocot. .

Definición e intuición

Una forma de definir la función del signo de interrogación implica la correspondencia entre dos formas diferentes de representar números fraccionarios utilizando secuencias binarias finitas o infinitas . De manera más familiar, una cadena de 0 y 1 con una marca de un solo punto ".", como "11.001001000011111...", puede interpretarse como la representación binaria de un número. En este caso este número es

$${\displaystyle 2+1+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{64}}+\cdots =\pi .}$$

fracciones continuaslongitud de ejecución^{[3] [4]} ${\displaystyle [3;3,1,2,1,4,5,\dots ]}$

$${\displaystyle 3+{\frac {1}{\displaystyle 3+{\frac {1}{\displaystyle 1+{\frac {1}{\displaystyle 2+{\frac {1}{\displaystyle 1+{\frac {1}{\displaystyle 4+{\frac {1}{\displaystyle 5+\dots }}}}}}}}}}}}\approx 3.2676}$$

La función del signo de interrogación invierte este proceso: traduce la fracción continua de un número real dado en una secuencia binaria codificada de longitud completa y luego reinterpreta esa secuencia como un número binario. ^{[3] [4]} Por ejemplo, en el ejemplo anterior, . Para definir esto formalmente, si un número irracional tiene la representación de fracción continua (no terminante) ${\displaystyle \operatorname {?} (3.2676)\approx \pi }$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1}{\displaystyle a_{1}+{\frac {1}{\displaystyle a_{2}+\cdots }}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]}$$

serie infinita ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \operatorname {?} (x)=a_{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}.}$$

número racional ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}]}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \operatorname {?} (x)=a_{0}+2\sum _{n=1}^{m}{\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}.}$$

De manera análoga a la forma en que la función del signo de interrogación reinterpreta fracciones continuas como números binarios, se puede entender que la función de Cantor reinterpreta números ternarios como números binarios.

Autosimetría

El signo de interrogación es claramente autosimilar visualmente. Un monoide de autosemejanzas puede ser generado por dos operadores S y R que actúan sobre el cuadrado unitario y se definen de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(x,y)&=\left({\frac {x}{x+1}},{\frac {y}{2}}\right),\\[5px]R(x,y)&=(1-x,1-y).\end{aligned}}}$$

Visualmente, S reduce el cuadrado unitario a su cuarto inferior izquierdo, mientras que R realiza una reflexión puntual a través de su centro.

¿ Un punto en la gráfica de ? tiene coordenadas ( x , ? ( x )) para alguna x en el intervalo unitario. Tal punto es transformado por S y R en otro punto de la gráfica, porque ? satisface las siguientes identidades para todo x ∈ [0, 1] :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {?} \left({\frac {x}{x+1}}\right)&={\frac {\operatorname {?} (x)}{2}},\\[5px]\operatorname {?} (1-x)&=1-\operatorname {?} (x).\end{aligned}}}$$

Estos dos operadores pueden combinarse repetidamente, formando un monoide. Un elemento general del monoide es entonces

$${\displaystyle S^{a_{1}}RS^{a_{2}}RS^{a_{3}}\cdots }$$

para números enteros positivos a ₁ , a ₂ , a ₃ ,… . Cada uno de estos elementos describe una autosimilitud de la función del signo de interrogación. Este monoide a veces se llama monoide de duplicación de período , y todas las curvas fractales de duplicación de período tienen una autosimetría descrita por ella (la curva de De Rham , de la cual el signo de interrogación es un caso especial, es una categoría de tales curvas). Los elementos del monoide están en correspondencia con los racionales, mediante la identificación de a ₁ , a ₂ , a ₃ ,… con la fracción continua [0; un ₁ , un ₂ , un ₃ ,…] . Ya que ambos

$${\displaystyle S:x\mapsto {\frac {x}{x+1}}}$$

$${\displaystyle T:x\mapsto 1-x}$$

transformaciones fraccionarias linealesgrupo modular PSL(2, Z )

irracionales cuadráticos

La función del signo de interrogación proporciona un mapeo uno a uno de los racionales no diádicos a los irracionales cuadráticos , permitiendo así una prueba explícita de la contabilidad de estos últimos. De hecho, se puede entender que corresponden a las órbitas periódicas de la transformación diádica . Esto se puede demostrar explícitamente en unos pocos pasos.

simetría diádica

Defina dos movimientos: un movimiento hacia la izquierda y un movimiento hacia la derecha, válidos en el intervalo unitario como ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$

$${\displaystyle L_{D}(x)={\frac {x}{2}}}$$

${\displaystyle L_{C}(x)={\frac {x}{1+x}}}$

$${\displaystyle R_{D}(x)={\frac {1+x}{2}}}$$

${\displaystyle R_{C}(x)={\frac {1}{2-x}}}$

$${\displaystyle L_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ L_{C}}$$

$${\displaystyle R_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ R_{C}}$$

composición de funciones ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle LRLLR.}$ ${\displaystyle \circ }$

$${\displaystyle L_{D}R_{D}L_{D}L_{D}R_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ L_{C}R_{C}L_{C}L_{C}R_{C}}$$

racionales diádicosnm ${\displaystyle y=n/2^{m}}$ ${\displaystyle y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}$ ${\displaystyle b_{k}\in \{0,1\}.}$

Algunos reordenamientos de notación pueden hacer que lo anterior sea un poco más fácil de expresar. Dejemos y representemos L y R. La composición de funciones extiende esto a un monoide , en el sentido de que se puede escribir y, en general, para algunas cadenas binarias de dígitos A , B , donde AB es solo la concatenación ordinaria de tales cadenas. El monoide diádico M es entonces el monoide de todos esos movimientos de izquierda a derecha de longitud finita. Escribiendo como elemento general del monoide, existe una autosimetría correspondiente de la función del signo de interrogación: ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{010}=g_{0}g_{1}g_{0}}$ ${\displaystyle g_{A}g_{B}=g_{AB}}$ ${\displaystyle \gamma \in M}$

$${\displaystyle \gamma _{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ \gamma _{C}}$$

isomorfismo

Se puede obtener un mapeo explícito entre los racionales y los racionales diádicos proporcionando un operador de reflexión.

$${\displaystyle r(x)=1-x}$$

$${\displaystyle r\circ R_{D}\circ r=L_{D}}$$

${\displaystyle r\circ R_{C}\circ r=L_{C}}$ ${\displaystyle r^{2}=1}$ ${\displaystyle L^{a_{1}}rL^{a_{2}}rL^{a_{3}}\cdots }$ ${\displaystyle S^{a_{1}}TS^{a_{2}}TS^{a_{3}}\cdots }$ ${\displaystyle L_{D},R_{D}}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}$ ${\displaystyle b_{k}\in \{0,1\}}$ ${\displaystyle L_{C},R_{C}}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle p/q.}$ ${\displaystyle p/q=[a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{j}]}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{j})}$

Órbitas periódicas de la transformada diádica.

Consideremos ahora las órbitas periódicas de la transformación diádica . Estos corresponden a secuencias de bits que consisten en una secuencia "caótica" inicial finita de bits , seguida de una cadena repetida de longitud . Estas cadenas repetidas corresponden a un número racional. Esto se hace explícito fácilmente. Escribir ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k-1}}$ ${\displaystyle b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\ldots ,b_{k+m-1}}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}}$$

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum _{j=0}^{\infty }2^{-jm}={\frac {y}{1-2^{m}}}}$$

todo

Órbitas periódicas como fracciones continuas.

Estas órbitas periódicas tienen una fracción continua periódica equivalente, según el isomorfismo establecido anteriormente. Hay una órbita "caótica" inicial, de cierta longitud finita, seguida de una secuencia repetida. La secuencia repetida genera una fracción continua periódica que satisface. Esta fracción continua tiene la forma ^[5] ${\displaystyle x=[a_{n},a_{n+1},a_{n+2},\ldots ,a_{n+r},x].}$

$${\displaystyle x={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$$

${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1.}$

$${\displaystyle S\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle S^{n}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle T\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$$

unimodulares ${\displaystyle T^{2}=I}$

$${\displaystyle S^{a_{n}}TS^{a_{n+1}}T\cdots TS^{a_{n+r}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$$

grupo modular proyectivo ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} ).}$

Resolviendo explícitamente, se tiene que No es difícil verificar que las soluciones cumplen con la definición de irracionales cuadráticos. De hecho, todo irracional cuadrático se puede expresar de esta forma. Así, los irracionales cuadráticos están en correspondencia uno a uno con las órbitas periódicas de la transformada diádica, que están en correspondencia uno a uno con los racionales (no diádicos), que están en correspondencia uno a uno con los racionales diádicos. La función de signo de interrogación proporciona la correspondencia en cada caso. ${\displaystyle \gamma x^{2}+(\delta -\alpha )x-\beta =0.}$

Propiedades de ?( x )

La función del signo de interrogación es una función estrictamente creciente y continua, ^[6] pero no absolutamente continua . La derivada se define en casi todas partes y sólo puede tomar dos valores, 0 (su valor en casi todas partes, incluidos todos los números racionales ) y . ^[7] Hay varias construcciones para una medida que, cuando se integra, produce la función de signo de interrogación. Una de esas construcciones se obtiene midiendo la densidad de los números de Farey en la recta de números reales. La medida del signo de interrogación es el ejemplo prototípico de lo que a veces se denomina medidas multifractales . ${\displaystyle +\infty }$

La función del signo de interrogación asigna números racionales a números racionales diádicos , es decir, aquellos cuya representación en base dos termina, como puede demostrarse por inducción a partir de la construcción recursiva descrita anteriormente. Asigna irracionales cuadráticos a números racionales no diádicos. En ambos casos proporciona un isomorfismo de orden entre estos conjuntos, ^[8] concretando el teorema de isomorfismo de Cantor según el cual cada dos órdenes lineales densos contables ilimitados son isomorficos de orden. ^[9] Es una función impar y satisface la ecuación funcional ?( x + 1) = ?( x ) + 1 ; en consecuencia x ↦ ?( x ) − x es una función periódica impar con período uno. Si ?( x ) es irracional, entonces x es algebraico de grado mayor que dos o trascendental .

La función del signo de interrogación tiene puntos fijos en 0,1/2y 1, y al menos dos más, simétricos con respecto al punto medio. Uno es aproximadamente 0,42037. ^[6] Moshchevitin conjeturó que eran los únicos 5 puntos fijos. ^[10]

En 1943, Raphaël Salem planteó la cuestión de si los coeficientes de Fourier-Stieltjes de la función del signo de interrogación desaparecen en el infinito. ^[11] En otras palabras, quería saber si

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}e^{2\pi inx}\,\operatorname {d?} (x)=0.}$$

Jordan y Sahlsten respondieron afirmativamente a esto, como un caso especial de resultado sobre las medidas de Gibbs . ^[12]

La gráfica de la función del signo de interrogación de Minkowski es un caso especial de curvas fractales conocidas como curvas de De Rham .

Algoritmo

La definición recursiva naturalmente se presta a un algoritmo para calcular la función con cualquier grado de precisión deseado para cualquier número real, como lo demuestra la siguiente función C. El algoritmo desciende por el árbol de Stern-Brocot en busca de la entrada  x y suma los términos de la expansión binaria de y = ?( x ) en el camino. Mientras el invariante del bucle qr − ps = 1 permanezca satisfecho, no hay necesidad de reducir la fracciónmetro/norte=p + r/q + s, puesto que ya se encuentra en los términos más bajos. Otra invariante espag/q≤ x <r/s. El forbucle en este programa puede analizarse de manera similar a un whilebucle, con las sentencias de interrupción condicional en las primeras tres líneas definiendo la condición. Las únicas declaraciones en el ciclo que posiblemente pueden afectar a los invariantes están en las dos últimas líneas, y se puede demostrar que preservan la verdad de ambos invariantes siempre que las primeras tres líneas se hayan ejecutado exitosamente sin salirse del ciclo. Un tercer invariante para el cuerpo del bucle (hasta precisión de coma flotante) es y ≤ ?( x ) < y + d , pero como d se reduce a la mitad al comienzo del bucle antes de probar cualquier condición, nuestra conclusión es sólo que y ≤ ?( x ) < y + 2 d en la terminación del bucle.

Para probar la terminación , es suficiente observar que la suma q + saumenta en al menos 1 con cada iteración del bucle, y que el bucle terminará cuando esta suma sea demasiado grande para ser representada en el tipo de datos primitivo de longC. Sin embargo, en la práctica, la interrupción condicional cuando y + d == yes la que asegura la terminación del bucle en un tiempo razonable.

/* Función de signo de interrogación de Minkowski */ double minkowski ( double x ) { long p = x ; largo q = 1 , r = p + 1 , s = 1 , metro , norte ; doble d = 1 , y = p ; si ( x < p || ( p < 0 ) ^ ( r <= 0 )) devuelve x ; /* fuera de rango ?(x) =~ x */ for (;;) { /* invariantes: q * r - p * s == 1 && p / q <= x && x < r / s */ d /= 2 ; si ( y + d == y ) romper ; /* alcanzó la máxima precisión posible */ m = p + r ; si (( m < 0 ) ^ ( p < 0 )) romper ; /* suma desbordada */ n = q + s ; si ( n < 0 ) romper ; /* suma desbordada */                                                                                     si ( x < ( doble ) m / n ) { r = m ; s = norte ; } más { y += d ; pag = m ; q = norte ; } } devolver y + d ; /* redondeo final */ }                               

Distribución de probabilidad

Al restringir la función del signo de interrogación de Minkowski a ?:[0,1] → [0,1], se puede utilizar como función de distribución acumulativa de una distribución singular en el intervalo unitario. Esta distribución es simétrica con respecto a su punto medio, con momentos brutos de aproximadamente m ₁  = 0,5, m ₂  = 0,290926, m ₃  = 0,186389 y m ₄  = 0,126992, ^[13] y, por tanto, una media y mediana de 0,5, una desviación estándar de aproximadamente 0,2023, una asimetría de 0 y un exceso de curtosis de aproximadamente −1,147.

Ver también

• Derivado de Pompeya

Referencias

Notas

1. Minkowski (1904), págs. 171-172.
2. Disfrutar (1938).
3. Finch (2003), págs.
4. Pytheas Fogg (2002), pág. 95.
5. Khinchin (1964).
6. Finch (2003), pág. 442.
7. Dushistova y Moshchevitin (2012).
8. Girgensohn (1996).
9. Bhattacharjee y otros. (1997).
10. Moshchevitin (2020).
11. Salem (1943).
12. Jordania y Sahlsten (2016).
13. Alkauskas (2010).

Fuentes históricas

• Minkowski, Hermann (1904), "Zur Geometrie der Zahlen", Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses en Heidelberg , Berlín, págs. 164–173, JFM  36.0281.01, archivado desde el original el 4 de enero de 2015{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Denjoy, Arnaud (1938), "Sur une fonction réelle de Minkowski", J. Math. Pures Appl. , Série IX (en francés), 17 : 105–151, Zbl  0018.34602

Bibliografía

• Alkauskas, Giedrius (2010), "Los momentos de la función del signo de interrogación de Minkowski: la función del período diádico", Glasgow Mathematical Journal , 52 (1): 41–64, ARXIV : 0801.0051 , DOI : 10.1017/S0017089509990152, MR  2587817, S2cid  115162042042424
• Bhattacharjee, Meenaxi; Macpherson, Dugald; Möller, Rögnvaldur G.; Neumann, Peter M. (1997), "Números racionales", Notas sobre grupos de permutación infinitos , Textos y lecturas de matemáticas, vol. 12, Berlín: Springer-Verlag, págs. 77–86, doi :10.1007/978-93-80250-91-5_9, ISBN 81-85931-13-5, señor  1632579
• Dushistova, Anna A.; Moshchevitin, Nikolai G. (marzo de 2012), "Sobre la derivada de la función del signo de interrogación de Minkowski ", Journal of Mathematical Sciences , 182 (4): 463–471, arXiv : 0706.2219 , doi :10.1007/s10958-012-0750- 2, SEÑOR  2825515, S2CID  115156022 ${\displaystyle ?(x)}$
• Finch, Steven R. (2003), Constantes matemáticas , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, vol. 94, Cambridge : Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-81805-6, Zbl  1054.00001
• Girgensohn, Roland (1996), "Construcción de funciones singulares mediante fracciones de Farey", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 203 (1): 127–141, doi : 10.1006/jmaa.1996.0370 , MR  1412484
• Jordán, Thomas; Sahlsten, Tuomas (2016), "Transformadas de Fourier de medidas de Gibbs para el mapa de Gauss", Mathematische Annalen , 364 (3–4): 983–1023, arXiv : 1312.3619 , Bibcode :2013arXiv1312.3619J, doi :10.1007/s00208-015 -1241-9, S2CID  56046793
• Khinchin, A. Ya. (1964) [Publicado originalmente en ruso, 1935], "10: Números irracionales cuadráticos y fracciones continuas periódicas", Fracciones continuas , University of Chicago Press , págs. 47–50, ISBN 0-486-69630-8; reimpreso por Publicaciones de Dover, 1997
• Moshchevitin, Nikolay (25 de noviembre de 2020), "Sesión de problemas abiertos", Problemas diofánticos, determinismo y aleatoriedad, CIRM - a través de YouTube
• Pytheas Fogg, N. (2002), Berthé, Valérie ; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, cristiano; Siegel, A. (eds.), Sustituciones en dinámica, aritmética y combinatoria , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1794, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44141-0, Zbl  1014.11015
• Salem, Raphaël (1943), "Sobre algunas funciones monótonas singulares que son estrictamente crecientes" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 53 (3): 427–439, doi : 10.2307/1990210 , JSTOR  1990210

Otras lecturas

• Alkauskas, Giedrius (2008), Transformadas integrales de la función del signo de interrogación de Minkowski, tesis doctoral, Universidad de Nottingham
• Bibiloni, L.; Paradis, J.; Viader, P. (1998), "Una nueva luz sobre la función ?(x) de Minkowski", Journal of Number Theory , 73 (2): 212–227, doi :10.1006/jnth.1998.2294, hdl : 10230/843 , Zbl  0928.11006, archivado desde el original el 22 de junio de 2015
• Bibiloni, L.; Paradis, J.; Viader, P. (2001), "La derivada de la función singular de Minkowski", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 253 (1): 107–125, doi : 10.1006/jmaa.2000.7064 , Zbl  0995.26005
• Conley, RM (2003), Un estudio de la función Minkowski? (x) , tesis de maestría, Universidad de Virginia Occidental
• Conway, JH (2000), "Fracciones retorcidas", Sobre números y juegos (2ª ed.), Wellesley, MA: AK Peters, págs. 82–86
• Vepstas, L. (2004), El signo de interrogación de Minkowski y el grupo modular SL (2, Z) (PDF)
• Vepstas, L. (2008), "Sobre la medida de Minkowski", arXiv : 0810.1265 [math.DS]

enlaces externos

• Una extensa lista de bibliografía.
• Weisstein, Eric W. , "Función del signo de interrogación de Minkowski", MathWorld
• Implementación simple de IEEE 754 en C++