En matemáticas , un objeto autosemejante es exacta o aproximadamente similar a una parte de sí mismo (es decir, el todo tiene la misma forma que una o más de las partes). Muchos objetos del mundo real, como las costas , son estadísticamente autosimilares: partes de ellos muestran las mismas propiedades estadísticas en muchas escalas. [2] La autosimilitud es una propiedad típica de los fractales . La invariancia de escala es una forma exacta de autosemejanza en la que, a cualquier aumento, hay una parte más pequeña del objeto que es similar al todo. Por ejemplo, un lado del copo de nieve de Koch es simétrico e invariante en escala; se puede ampliar continuamente 3x sin cambiar de forma. La similitud no trivial evidente en los fractales se distingue por su fina estructura o detalle en escalas arbitrariamente pequeñas. Como contraejemplo , aunque cualquier parte de una línea recta puede parecerse al todo, no se revelan más detalles.
Se dice que un fenómeno que se desarrolla en el tiempo exhibe autosimilitud si el valor numérico de cierta cantidad observable medida en diferentes momentos es diferente pero la cantidad adimensional correspondiente en un valor dado permanece invariante. Ocurre si la cantidad presenta una escala dinámica . La idea es sólo una extensión de la idea de semejanza de dos triángulos. [3] [4] [5] Tenga en cuenta que dos triángulos son similares si los valores numéricos de sus lados son diferentes, sin embargo, las cantidades adimensionales correspondientes, como sus ángulos, coinciden.
Peitgen et al. Explique el concepto como tal:
Si las partes de una figura son pequeñas réplicas del todo, entonces la figura se llama autosemejante ... Una figura es estrictamente autosemejante si la figura se puede descomponer en partes que son réplicas exactas del todo. Cualquier parte arbitraria contiene una réplica exacta de la figura completa. [6]
Dado que matemáticamente un fractal puede mostrar autosimilitud bajo un aumento indefinido, es imposible recrearlo físicamente. Peitgen et al. Sugerimos estudiar la autosimilitud utilizando aproximaciones:
Para dar un significado operativo a la propiedad de autosemejanza, estamos necesariamente restringidos a tratar con aproximaciones finitas de la figura límite. Esto se hace utilizando el método que llamaremos autosimilitud de caja, donde las mediciones se realizan en etapas finitas de la figura utilizando cuadrículas de varios tamaños. [7]
Este vocabulario fue introducido por Benoit Mandelbrot en 1964. [8]
En matemáticas , la autoafinidad es una característica de un fractal cuyas piezas están escaladas en diferentes cantidades en las direcciones x e y. Esto significa que para apreciar la autosemejanza de estos objetos fractales, deben reescalarse utilizando una transformación afín anisotrópica .
Un espacio topológico compacto X es autosimilar si existe un conjunto finito S que indexa un conjunto de homeomorfismos no sobreyectivos para los cuales
Si , llamamos a X autosimilar si es el único subconjunto no vacío de Y tal que la ecuación anterior se cumple para . Llamamos
una estructura autosemejante . Los homeomorfismos pueden iterarse , dando como resultado un sistema de funciones iterado . La composición de funciones crea la estructura algebraica de un monoide . Cuando el conjunto S tiene sólo dos elementos, el monoide se conoce como monoide diádico . El monoide diádico se puede visualizar como un árbol binario infinito ; De manera más general, si el conjunto S tiene p elementos, entonces el monoide puede representarse como un árbol p-ádico .
Los automorfismos del monoide diádico son el grupo modular ; los automorfismos pueden representarse como rotaciones hiperbólicas del árbol binario.
Una noción más general que la autosimilitud es la de Autoafinidad .
El conjunto de Mandelbrot también es autosimilar en torno a los puntos de Misiurewicz .
La autosemejanza tiene consecuencias importantes para el diseño de redes informáticas, ya que el tráfico de red típico tiene propiedades autosemejantes. Por ejemplo, en ingeniería de teletráfico , los patrones de tráfico de datos conmutados por paquetes parecen ser estadísticamente autosimilares. [9] Esta propiedad significa que los modelos simples que utilizan una distribución de Poisson son inexactos y que las redes diseñadas sin tener en cuenta la autosimilitud probablemente funcionen de maneras inesperadas.
De manera similar, se describe que los movimientos del mercado de valores muestran autoafinidad , es decir, parecen autosemejantes cuando se transforman mediante una transformación afín apropiada para el nivel de detalle que se muestra. [10] Andrew Lo describe la autosimilitud del rendimiento logarítmico del mercado de valores en econometría . [11]
Las reglas de subdivisión finita son una técnica poderosa para construir conjuntos autosemejantes, incluidos el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski .
El modelo de sistema viable de Stafford Beer es un modelo organizacional con una jerarquía autosimilar afín, donde un sistema viable dado es un elemento del Sistema Uno de un sistema viable un nivel recursivo superior, y para quien los elementos de su Sistema Uno son sistemas viables un nivel recursivo más abajo.
La autosemejanza también se puede encontrar en la naturaleza. A la derecha hay una imagen perfectamente autosimilar de un helecho , generada matemáticamente, que tiene un marcado parecido con los helechos naturales. Otras plantas, como el brócoli romanesco , exhiben una fuerte autosemejanza.
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