Coordenadas hiperbólicas

Media geométrica y ángulo hiperbólico como coordenadas en el cuadrante I

Coordenadas hiperbólicas trazadas en el plano euclidiano: todos los puntos del mismo rayo azul comparten el mismo valor de coordenadas u , y todos los puntos de la misma hipérbola roja comparten el mismo valor de coordenadas v .

En matemáticas , las coordenadas hiperbólicas son un método para localizar puntos en el cuadrante I del plano cartesiano.

${\displaystyle \{(x,y)\ :\ x>0,\ y>0\ \}=Q}$.

Las coordenadas hiperbólicas toman valores en el plano hiperbólico definido como:

${\displaystyle HP=\{(u,v):u\in \mathbb {R} ,v>0\}}$.

Estas coordenadas en HP son útiles para estudiar comparaciones logarítmicas de proporción directa en Q y medir desviaciones de la proporción directa.

para tomar​ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle u=\ln {\sqrt {\frac {x}{y}}}}$

y

${\displaystyle v={\sqrt {xy}}}$.

El parámetro u es el ángulo hiperbólico de ( x, y ) y v es la media geométrica de x e y .

El mapeo inverso es

${\displaystyle x=ve^{u},\quad y=ve^{-u}}$.

La función es un mapeo continuo , pero no una función analítica . ${\displaystyle Q\rightarrow HP}$

Métrica de cuadrante alternativo

Dado que HP lleva la estructura espacial métrica del modelo de semiplano de geometría hiperbólica de Poincaré , la correspondencia biyectiva lleva esta estructura a Q. Puede captarse utilizando la noción de movimientos hiperbólicos . Dado que las geodésicas en HP son semicírculos con centro en el límite, las geodésicas en Q se obtienen de la correspondencia y resultan ser rayos desde el origen o curvas en forma de pétalo que salen y vuelven a entrar en el origen. Y el movimiento hiperbólico de HP dado por un desplazamiento de izquierda a derecha corresponde a un mapeo de compresión aplicado a Q. ${\displaystyle Q\leftrightarrow HP}$

Dado que las hipérbolas en Q corresponden a líneas paralelas al límite de HP , son horociclos en la geometría métrica de Q.

Si sólo se considera la topología euclidiana del plano y la topología heredada por Q , entonces las líneas que delimitan Q parecen cercanas a Q. La visión del espacio métrico HP muestra que el conjunto abierto Q tiene sólo el origen como límite cuando se ve a través de la correspondencia. De hecho, considere rayos desde el origen en Q y sus imágenes, rayos verticales desde el límite R de HP . Cualquier punto en HP está a una distancia infinita del punto p al pie de la perpendicular a R , pero una secuencia de puntos en esta perpendicular puede tender en la dirección de p . La secuencia correspondiente en Q tiende a lo largo de un rayo hacia el origen. La antigua frontera euclidiana de Q ya no es relevante.

Aplicaciones en ciencias físicas

Las variables físicas fundamentales a veces se relacionan mediante ecuaciones de la forma k = xy . Por ejemplo, V = IR ( ley de Ohm ), P = VI ( potencia eléctrica ), PV = k T ( ley de los gases ideales ) y f λ = v (relación de longitud de onda , frecuencia y velocidad en el medio de onda). Cuando k es constante, las otras variables se encuentran en una hipérbola, que es un horociclo en el cuadrante Q apropiado .

Por ejemplo, en termodinámica el proceso isotérmico sigue explícitamente la trayectoria hiperbólica y el trabajo puede interpretarse como un cambio de ángulo hiperbólico. De manera similar, una masa dada M de gas con volumen cambiante tendrá densidad variable δ = M / V , y la ley de los gases ideales se puede escribir P = k T δ de modo que un proceso isobárico traza una hipérbola en el cuadrante de temperatura absoluta y gas. densidad.

Para coordenadas hiperbólicas en la teoría de la relatividad, consulte la sección Historia.

Aplicaciones estadísticas

• El estudio comparativo de la densidad de población en el cuadrante comienza con la selección de una nación, región o área urbana de referencia cuya población y área se toman como punto (1,1).
• El análisis de la representación electa de regiones en una democracia representativa comienza con la selección de un estándar para la comparación: un grupo representado particular, cuya magnitud y magnitud de lista (de representantes) se sitúa en (1,1) en el cuadrante.

Aplicaciones económicas

Existen muchas aplicaciones naturales de las coordenadas hiperbólicas en economía :

• Análisis de la fluctuación del tipo de cambio de moneda :
  La moneda unitaria se establece . La moneda del precio corresponde a . Para ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle y}$
  $${\displaystyle 0<y<1}$$
  encontramos , un ángulo hiperbólico positivo. Para una fluctuación, tome un nuevo precio. ${\displaystyle u>0}$
  $${\displaystyle 0<z<y.}$$
  Entonces el cambio en u es:
  $${\displaystyle \Delta u=\ln {\sqrt {\frac {y}{z}}}.}$$
  Cuantificar la fluctuación del tipo de cambio a través de un ángulo hiperbólico proporciona una medida objetiva, simétrica y consistente . La cantidad es la duración del desplazamiento de izquierda a derecha en la vista de movimiento hiperbólico de la fluctuación monetaria. ${\displaystyle \Delta u}$
• Análisis de inflación o deflación de precios de una canasta de bienes de consumo .
• Cuantificación del cambio en la cuota de mercado en duopolio .
• División de acciones corporativas versus recompra de acciones.

Historia

La media geométrica es un concepto antiguo, pero el ángulo hiperbólico fue desarrollado en esta configuración por Gregoire de Saint-Vincent . Estaba intentando realizar una cuadratura con respecto a la hipérbola rectangular y = 1/ x . Ese desafío era un problema abierto desde que Arquímedes realizó la cuadratura de la parábola . La curva pasa por (1,1) donde está opuesta al origen en un cuadrado unitario . Los otros puntos de la curva pueden verse como rectángulos que tienen la misma área que este cuadrado. Un rectángulo de este tipo se puede obtener aplicando un mapeo de compresión al cuadrado. Otra forma de ver estas asignaciones es mediante sectores hiperbólicos . A partir de (1,1) el sector hiperbólico de unidad de área termina en (e, 1/e), donde e es 2,71828…, según el desarrollo de Leonhard Euler en Introducción al análisis del infinito (1748).

Tomando (e, 1/e) como vértice de un rectángulo de unidad de área y aplicando nuevamente la compresión que lo hizo a partir del cuadrado unitario, se obtiene. Generalmente n compresión produce AA de Sarasa observó una observación similar de G. de Saint Vincent, que a medida que las abscisas aumentaban en una serie geométrica , la suma de las áreas frente a la hipérbola aumentaba en una serie aritmética , y esta propiedad correspondía al logaritmo ya en uso para reducir las multiplicaciones a sumas. El trabajo de Euler hizo del logaritmo natural una herramienta matemática estándar y elevó las matemáticas al ámbito de las funciones trascendentales . Las coordenadas hiperbólicas se forman a partir del dibujo original de G. de Saint-Vincent, que proporcionó la cuadratura de la hipérbola y trascendió los límites de las funciones algebraicas . ${\displaystyle (e^{2},\ e^{-2}).}$ ${\displaystyle (e^{n},\ e^{-n}).}$

En 1875, Johann von Thünen publicó una teoría de los salarios naturales ^[1] que utilizaba la media geométrica del salario de subsistencia y el valor de mercado del trabajo utilizando el capital del empleador.

En la relatividad especial, la atención se centra en la hipersuperficie tridimensional en el futuro del espacio-tiempo, donde llegan varias velocidades después de un tiempo determinado . Scott Walter ^[2] explica que en noviembre de 1907 Hermann Minkowski aludió a una conocida geometría hiperbólica tridimensional en su discurso en la Sociedad Matemática de Göttingen, pero no a una geometría cuatridimensional. ^[3] En homenaje a Wolfgang Rindler , autor de un libro de texto estándar de introducción a nivel universitario sobre la relatividad, las coordenadas hiperbólicas del espacio-tiempo se denominan coordenadas de Rindler .

Referencias

1. Henry Ludwell Moore (1895). La teoría de los salarios naturales de Von Thünen. GH Ellis.
2. Walter (1999) página 99
3. Walter (1999) página 100

• David Betounes (2001) Ecuaciones diferenciales: teoría y aplicaciones , página 254, Springer-TELOS, ISBN 0-387-95140-7 . 
• Scott Walter (1999). «El estilo no euclidiano de la relatividad minkowskiana» Archivado el 16 de octubre de 2013 en Wayback Machine . Capítulo 4 en: Jeremy J. Gray (ed.), El universo simbólico: geometría y física 1890-1930 , págs. Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-850088-2 .