El helecho Barnsley es un fractal que lleva el nombre del matemático británico Michael Barnsley, quien lo describió por primera vez en su libro Fractals Everywhere . [1] Lo hizo para que se pareciera a la esplenaria negra, Asplenium adiantum-nigrum .
El helecho es uno de los ejemplos básicos de conjuntos autosemejantes , es decir, es un patrón generado matemáticamente que puede ser reproducible con cualquier aumento o reducción. Al igual que el triángulo de Sierpinski , el helecho de Barnsley muestra cómo se pueden construir estructuras gráficamente hermosas a partir del uso repetitivo de fórmulas matemáticas con computadoras. El libro de Barnsley de 1988, Fractals Everywhere, se basa en el curso que impartió a estudiantes de pregrado y posgrado en la Escuela de Matemáticas del Instituto de Tecnología de Georgia , llamado Geometría Fractal . Tras la publicación del libro, se desarrolló un segundo curso, denominado Teoría de la medida fractal . [1] El trabajo de Barnsley ha sido una fuente de inspiración para artistas gráficos que intentan imitar la naturaleza con modelos matemáticos.
El código fern desarrollado por Barnsley es un ejemplo de un sistema de funciones iteradas (IFS) para crear un fractal. Esto se desprende del teorema del collage . Ha utilizado fractales para modelar una amplia gama de fenómenos científicos y tecnológicos, pero más específicamente estructuras vegetales.
Los IFS proporcionan modelos para ciertas plantas, hojas y helechos, en virtud de la autosimilitud que a menudo ocurre en las estructuras ramificadas en la naturaleza. Pero la naturaleza también exhibe aleatoriedad y variación de un nivel al siguiente; No hay dos helechos exactamente iguales y las frondas ramificadas se convierten en hojas a menor escala. Los fractales de variable V permiten tal aleatoriedad y variabilidad entre escalas, al mismo tiempo que admiten una dependencia continua de los parámetros que facilita el modelado geométrico. Estos factores nos permiten hacer modelos biológicos híbridos... ...especulamos que cuando se encuentra un modelo fractal geométrico de variable V que coincide bien con la geometría de una planta determinada, entonces existe una relación específica entre estos codifican árboles y la información almacenada en los genes de la planta.
—Michael Barnsley y otros. [2]
El helecho de Barnsley utiliza cuatro transformaciones afines . La fórmula para una transformación es la siguiente:
Barnsley muestra el código IFS para su fractal de helecho Black Spleenwort como una matriz de valores que se muestran en una tabla. [3] En la tabla, las columnas " a " a " f " son los coeficientes de la ecuación y " p " representa el factor de probabilidad.
Estos corresponden a las siguientes transformaciones:
Aunque en teoría el helecho de Barnsley podría trazarse a mano con lápiz y papel cuadriculado, el número de iteraciones necesarias asciende a decenas de miles, lo que hace que el uso de una computadora sea prácticamente obligatorio. Muchos modelos informáticos diferentes del helecho de Barnsley son populares entre los matemáticos contemporáneos. Siempre que las matemáticas se programen correctamente utilizando la matriz de constantes de Barnsley, se producirá la misma forma de helecho.
El primer punto dibujado está en el origen ( x 0 = 0, y 0 = 0 ) y luego los nuevos puntos se calculan iterativamente aplicando aleatoriamente una de las siguientes cuatro transformaciones de coordenadas: [4] [5]
Esta transformación de coordenadas se elige el 1% de las veces y simplemente asigna cualquier punto a un punto en el primer segmento de línea en la base del tallo. En la generación iterativa, actúa como un reinicio en la base del tallo. Fundamentalmente, no se restablece exactamente a (0,0), lo que le permite completar el tallo base que se traduce y sirve como una especie de "núcleo" a partir del cual se generan todas las demás secciones del helecho mediante transformaciones f 2 , f 3. , f 4 .
Esta transformación codifica la relación de autosimilitud de todo el helecho con la subestructura que consta del helecho con la eliminación de la sección que incluye las dos hojas inferiores. En la representación matricial, se puede ver que es una ligera rotación en el sentido de las agujas del reloj, escalada para ser ligeramente más pequeña y trasladada en la dirección y positiva . En la generación iterativa, esta transformación se aplica con una probabilidad del 85% y es intuitivamente responsable de la generación del tallo principal y de la sucesiva generación vertical de las hojas a ambos lados del tallo a partir de sus hojas "originales" en la base.
Esta transformación codifica la autosemejanza de todo el helecho con la hoja inferior izquierda. En la representación matricial, se ve que es una rotación de casi 90° en sentido antihorario, reducida a aproximadamente un 30% de tamaño con una traslación en la dirección y positiva . En la generación iterativa, se aplica con una probabilidad del 7% y es intuitivamente responsable de la generación de la hoja inferior izquierda.
De manera similar, esta transformación codifica la autosimilitud de todo el helecho con la hoja inferior derecha. A partir de su determinante se ve fácilmente que incluye una reflexión y puede verse como una transformación similar a f 3 aunque con una reflexión alrededor del eje y . En la generación iterativa, se aplica con una probabilidad del 7% y es responsable de la generación de la hoja inferior derecha.
Jugando con los coeficientes es posible crear variedades de helechos mutantes. En su artículo sobre fractales de variable V, Barnsley llama a este rasgo superfractal . [2]
Sin embargo, un experimentador ha ideado una tabla de coeficientes para producir otro helecho de aspecto notablemente natural, parecido al helecho Cyclosorus o Thelypteridaceae . Estos son: [6] [7]
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(x,y)&={\begin{bmatrix}0.00&0.00\\0.00&0.16\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\ \y\end{bmatrix}}\\[6px]f_{2}(x,y)&={\begin{bmatrix}0.85&0.04\\-0.04&0.85\end{bmatrix}}{\begin {bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.00\\1.60\end{bmatrix}}\\[6px]f_{3}(x,y)&={\begin{ bmatrix}0.20&0.23\\-0.26&0.22\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.00\\1.60\end{bmatrix }}\\[6px]f_{4}(x,y)&={\begin{bmatrix}-0.15&0.28\\0.26&0.24\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0,00\\0,44\end{bmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804af89a2a1c10b2d9a150c971033ceda76b1268)
dibuje todos los píxeles en la pantalla en blanco x = 0,0 y = 0,0 t = 0,0 xn = 0,0 yn = 0,0 mientras t < iteraciones máximas : r = aleatorio () entre 0 y 1 si r < 0,01 : xn = 0,0 yn = 0,16 * y en caso contrario si r < 0,86 : xn = 0,85 * x + 0,04 * y yn = - 0,04 * x + 0,85 * y + 1,6 en caso contrario si r < 0,93 : xn = 0,2 * x - 0,26 * y yn = 0,23 * x + 0,22 * y + 1,6 más : xn = - 0,15 * x + 0,28 * y yn = 0,26 * x + 0,24 * y + 0,44 dibuja un píxel verde en la pantalla en ( xn , yn ) x = xn y = yn incremento t