Decoherencia cuántica

Pérdida de coherencia cuántica

En la dispersión clásica de un cuerpo objetivo por fotones ambientales , el movimiento del cuerpo objetivo no se verá modificado por los fotones dispersados ​​en promedio. En la dispersión cuántica, la interacción entre los fotones dispersos y el cuerpo objetivo superpuesto hará que se enreden , deslocalizando así la coherencia de fase del cuerpo objetivo a todo el sistema, haciendo que el patrón de interferencia sea inobservable.

La decoherencia cuántica es la pérdida de coherencia cuántica , el proceso en el que el comportamiento de un sistema cambia de lo que puede explicarse mediante la mecánica cuántica a lo que puede explicarse mediante la mecánica clásica. A partir de intentos de ampliar la comprensión de la mecánica cuántica, la teoría se ha desarrollado en varias direcciones y los estudios experimentales han confirmado algunas de las cuestiones clave. La computación cuántica se basa en la coherencia cuántica y es la principal aplicación práctica del concepto.

Concepto

En mecánica cuántica , las partículas como los electrones se describen mediante una función de onda , una representación matemática del estado cuántico de un sistema; Se utiliza una interpretación probabilística de la función de onda para explicar varios efectos cuánticos. Mientras exista una relación de fase definida entre diferentes estados, se dice que el sistema es coherente. Es necesaria una relación de fase definida para realizar computación cuántica con información cuántica codificada en estados cuánticos. La coherencia se preserva bajo las leyes de la física cuántica.

Si un sistema cuántico estuviera perfectamente aislado, mantendría la coherencia indefinidamente, pero sería imposible manipularlo o investigarlo. Si no está perfectamente aislado, por ejemplo durante una medición, la coherencia se comparte con el entorno y parece perderse con el tiempo; un proceso llamado decoherencia cuántica o decoherencia ambiental. Como resultado de este proceso, el comportamiento cuántico aparentemente se pierde, del mismo modo que en la mecánica clásica parece perderse energía por fricción.

La decoherencia puede verse como la pérdida de información de un sistema al medio ambiente (a menudo modelada como un baño de calor ), ^[1] ya que cada sistema está débilmente acoplado con el estado energético de su entorno. Vista de forma aislada, la dinámica del sistema no es unitaria (aunque el sistema combinado más el entorno evoluciona de manera unitaria). ^[2] Por lo tanto, la dinámica del sistema por sí sola es irreversible . Como ocurre con cualquier acoplamiento, se generan entrelazamientos entre el sistema y el entorno. Estos tienen el efecto de compartir información cuántica con el entorno o transferirla a él.

Historia e interpretación

Relación con la interpretación de la mecánica cuántica.

Una interpretación de la mecánica cuántica es un intento de explicar cómo la teoría matemática de la física cuántica podría corresponder a la realidad experimentada . ^[3] Los cálculos de decoherencia se pueden realizar en cualquier interpretación de la mecánica cuántica, ya que esos cálculos son una aplicación de las herramientas matemáticas estándar de la teoría cuántica. Sin embargo, el tema de la decoherencia ha estado estrechamente relacionado con el problema de la interpretación a lo largo de su historia. ^{[4] [5]}

La decoherencia se ha utilizado para comprender la posibilidad del colapso de la función de onda en la mecánica cuántica. La decoherencia no genera un colapso real de la función de onda. Sólo proporciona un marco para el aparente colapso de la función de onda, ya que la naturaleza cuántica del sistema se "filtra" al medio ambiente. Es decir, los componentes de la función de onda se desacoplan de un sistema coherente y adquieren fases de su entorno inmediato. Todavía existe una superposición total de la función de onda global o universal (y sigue siendo coherente a nivel global), pero su destino final sigue siendo una cuestión de interpretación .

Con respecto al problema de la medición , la decoherencia proporciona una explicación para la transición del sistema a una mezcla de estados que parecen corresponder a aquellos estados que perciben los observadores. Además, la observación indica que esta mezcla parece un conjunto cuántico adecuado en una situación de medición, ya que las mediciones conducen a la "realización" de precisamente un estado en el "conjunto".

Las opiniones filosóficas de Werner Heisenberg y Niels Bohr se han agrupado a menudo como la " interpretación de Copenhague ", a pesar de importantes divergencias entre ellos en puntos importantes. ^{[6] [7]} En 1955, Heisenberg sugirió que la interacción de un sistema con su entorno eliminaría los efectos de interferencia cuántica. Sin embargo, Heisenberg no proporcionó una explicación detallada de cómo podría suceder esto, ni hizo explícita la importancia del entrelazamiento en el proceso. ^{[7] [8]}

Origen de los conceptos

La solución de Nevill Mott al icónico problema de Mott en 1929 se considera, en retrospectiva, el primer trabajo sobre decoherencia cuántica. ^[9] Fue citado por el primer tratamiento teórico moderno. ^[10]

Aunque no utilizó el término, el concepto de decoherencia cuántica fue introducido por primera vez en 1951 por el físico estadounidense David Bohm , ^{[11] [12]} quien lo llamó la "destrucción de interferencias en el proceso de medición". Más tarde, Bohm utilizó la decoherencia para manejar el proceso de medición en la interpretación de De Broglie-Bohm de la teoría cuántica. ^[13]

La importancia de la decoherencia fue destacada aún más en 1970 por el físico alemán H. Dieter Zeh , ^[14] y ha sido objeto de investigación activa desde los años 1980. ^[15] La decoherencia se ha desarrollado hasta convertirse en un marco completo, pero existe controversia sobre si resuelve el problema de la medición , como admiten los fundadores de la teoría de la decoherencia en sus artículos fundamentales. ^[dieciséis]

El estudio de la decoherencia como tema propiamente dicho comenzó en 1970, con el artículo de H. Dieter Zeh "Sobre la interpretación de la medida en la teoría cuántica". ^{[4] [14]} Zeh consideraba la función de onda como una entidad física, en lugar de un dispositivo de cálculo o un compendio de información estadística (como es típico de las interpretaciones del tipo Copenhague), y propuso que debería evolucionar unitariamente, de acuerdo con la Ecuación de Schrödinger, en todo momento. Inicialmente, Zeh desconocía el trabajo anterior de Hugh Everett III , ^[17] que también proponía una función de onda universal que evolucionaba unitariamente; revisó su artículo para hacer referencia a Everett después de enterarse de la "interpretación del estado relativo" de Everett a través de un artículo de Bryce DeWitt . ^[4] (DeWitt fue quien denominó la propuesta de Everett la interpretación de muchos mundos , nombre con el que se la conoce comúnmente.) Para Zeh, la cuestión de cómo interpretar la mecánica cuántica era de importancia clave, y una interpretación en la línea de El de Everett era el más natural. En parte debido al desinterés general entre los físicos por las cuestiones interpretativas, el trabajo de Zeh permaneció comparativamente descuidado hasta principios de la década de 1980, cuando dos artículos de Wojciech Zurek ^{[18] [19]} revitalizaron el tema. A diferencia de las publicaciones de Zeh, los artículos de Zurek eran bastante agnósticos en cuanto a la interpretación, centrándose en cambio en problemas específicos de la dinámica de la matriz de densidad. El interés de Zurek en la decoherencia surgió de la promoción del análisis de Bohr del experimento de la doble rendija en su respuesta a la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen , trabajo que había realizado con Bill Wootters , ^[20] y desde entonces ha argumentado que la decoherencia trae una especie de acercamiento. entre las visiones de Everetti y las de Copenhague. ^{[4] [21]}

La decoherencia no pretende proporcionar un mecanismo para algún colapso real de la función de onda; más bien presenta un marco razonable para la aparición del colapso de la función de onda. La naturaleza cuántica del sistema simplemente se "filtra" al entorno, de modo que todavía existe una superposición total de la función de onda, pero existe (al menos para todos los propósitos prácticos) más allá del ámbito de la medición. ^{[22] [23]} Por definición, la afirmación de que todavía existe una función de onda fusionada pero no mensurable no puede probarse experimentalmente. La decoherencia es necesaria para comprender por qué un sistema cuántico comienza a obedecer las reglas de probabilidad clásicas después de interactuar con su entorno (debido a la supresión de los términos de interferencia al aplicar las reglas de probabilidad de Born al sistema).

Anthony Leggett ha criticado la idoneidad de la teoría de la decoherencia para resolver el problema de la medición . ^{[24] [25]}

Mecanismos

Para examinar cómo funciona la decoherencia, a continuación se presenta un modelo "intuitivo". El modelo requiere cierta familiaridad con los conceptos básicos de la teoría cuántica. Se hacen analogías entre los espacios de fase clásicos visualizables y los espacios de Hilbert . Una derivación más rigurosa de la notación de Dirac muestra cómo la decoherencia destruye los efectos de interferencia y la "naturaleza cuántica" de los sistemas. A continuación, se presenta el enfoque de la matriz de densidad para tener una perspectiva.

Superposición cuántica de estados y medida de decoherencia mediante oscilaciones de Rabi

Imagen del espacio de fase

Un sistema de N partículas se puede representar en mecánica cuántica no relativista mediante una función de onda , donde cada x _i es un punto en el espacio tridimensional. Esto tiene analogías con el espacio de fase clásico . Un espacio de fase clásico contiene una función de valor real en 6 N dimensiones (cada partícula aporta 3 coordenadas espaciales y 3 momentos). En este caso, un espacio de fase "cuántico", por otro lado, implica una función de valor complejo en un espacio de 3 N dimensiones. La posición y los momentos están representados por operadores que no conmutan y viven en la estructura matemática de un espacio de Hilbert . Aparte de estas diferencias, sin embargo, se mantiene una analogía aproximada. ${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})}$ ${\displaystyle \psi }$

Diferentes sistemas previamente aislados y que no interactúan ocupan diferentes espacios de fase. Alternativamente, podemos decir que ocupan diferentes subespacios de dimensiones inferiores en el espacio de fase del sistema conjunto. La dimensionalidad efectiva del espacio de fases de un sistema es el número de grados de libertad presentes, que, en modelos no relativistas, es 6 veces el número de partículas libres de un sistema. Para un sistema macroscópico , esta será una dimensionalidad muy grande. Sin embargo, cuando dos sistemas (el entorno es un sistema) comienzan a interactuar, sus vectores de estado asociados ya no están restringidos a los subespacios. En cambio, el vector de estado combinado tiempo evoluciona un camino a través del "volumen mayor", cuya dimensionalidad es la suma de las dimensiones de los dos subespacios. El grado en que dos vectores interfieren entre sí es una medida de qué tan "cercanos" están entre sí (formalmente, su superposición o espacio de Hilbert se multiplica) en el espacio de fase. Cuando un sistema se acopla a un entorno externo, la dimensionalidad y, por tanto, el "volumen" disponible para el vector de estado conjunto aumenta enormemente. Cada grado de libertad ambiental aporta una dimensión extra.

La función de onda del sistema original se puede expandir de muchas maneras diferentes como una suma de elementos en una superposición cuántica. Cada expansión corresponde a una proyección del vector de onda sobre una base. La base se puede elegir a voluntad. Al elegir una expansión en la que los elementos básicos resultantes interactúan con el entorno de una manera específica, dichos elementos, con una probabilidad abrumadora, se separarán rápidamente entre sí por su evolución temporal unitaria natural a lo largo de sus propios caminos independientes. Después de una interacción muy breve, casi no hay posibilidad de que se produzcan más interferencias. El proceso es efectivamente irreversible . Los diferentes elementos efectivamente se "pierden" unos de otros en el espacio de fase expandido creado por el acoplamiento con el entorno. En el espacio de fases, este desacoplamiento se monitorea a través de la distribución de cuasi probabilidad de Wigner . Se dice que los elementos originales se han decoherido . El entorno ha seleccionado efectivamente aquellas expansiones o descomposiciones del vector de estado original que se descoheren (o pierden coherencia de fase) entre sí. Esto se llama "superselección inducida ambientalmente" o einselección . ^[26] Los elementos descoheridos del sistema ya no presentan interferencia cuántica entre sí, como en un experimento de doble rendija . Se dice que cualquier elemento que se descohesione entre sí a través de interacciones ambientales está entrelazado cuánticamente con el medio ambiente. Lo contrario no es cierto: no todos los estados entrelazados están desconectados unos de otros.

Cualquier dispositivo o aparato de medición actúa como un entorno, ya que en algún punto de la cadena de medición tiene que ser lo suficientemente grande como para ser leído por humanos. Debe poseer un gran número de grados de libertad ocultos. De hecho, las interacciones pueden considerarse medidas cuánticas . Como resultado de una interacción, las funciones de onda del sistema y del dispositivo de medición se entrelazan entre sí. La decoherencia ocurre cuando diferentes partes de la función de onda del sistema se entrelazan de diferentes maneras con el dispositivo de medición. Para que dos elementos no seleccionados del estado del sistema entrelazado interfieran, tanto el sistema original como el dispositivo de medición en ambos elementos deben superponerse significativamente, en el sentido del producto escalar. Si el dispositivo de medición tiene muchos grados de libertad, es muy poco probable que esto suceda.

Como consecuencia, el sistema se comporta como un conjunto estadístico clásico de los diferentes elementos y no como una única superposición cuántica coherente de ellos. Desde la perspectiva del dispositivo de medición de cada miembro del conjunto, el sistema parece haber colapsado irreversiblemente a un estado con un valor preciso para los atributos medidos, en relación con ese elemento. Esto proporciona una explicación de cómo los coeficientes de la regla de Born actúan efectivamente como probabilidades según el postulado de medición que constituye una solución al problema de la medición cuántica.

Notación de Dirac

Usando la notación de Dirac , supongamos que el sistema esté inicialmente en el estado

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}|i\rangle \langle i|\psi \rangle ,}$

donde los s forman una base einseleccionada ( base propia seleccionada inducida ambientalmente ^[26] ), y deje que el medio ambiente esté inicialmente en el estado . La base vectorial de la combinación del sistema y el entorno consta de los productos tensoriales de los vectores de base de los dos subsistemas. Por lo tanto, antes de cualquier interacción entre los dos subsistemas, el estado conjunto se puede escribir como ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |\epsilon \rangle }$

${\displaystyle |{\text{before}}\rangle =\sum _{i}|i\rangle |\epsilon \rangle \langle i|\psi \rangle ,}$

donde es la abreviatura del producto tensorial . Hay dos extremos en la forma en que el sistema puede interactuar con su entorno: o (1) el sistema pierde su identidad distintiva y se fusiona con el entorno (por ejemplo, los fotones en una cavidad fría y oscura se convierten en excitaciones moleculares dentro de las paredes de la cavidad), o (2) el sistema no se ve perturbado en absoluto, aunque el entorno sí lo esté (por ejemplo, la medición idealizada de no perturbación). En general, una interacción es una mezcla de estos dos extremos que examinamos. ${\displaystyle |i\rangle |\epsilon \rangle }$ ${\displaystyle |i\rangle \otimes |\epsilon \rangle }$

Sistema absorbido por el medio ambiente.

Si el medio ambiente absorbe el sistema, cada elemento de la base del sistema total interactúa con el medio ambiente de tal manera que

${\displaystyle |i\rangle |\epsilon \rangle }$evoluciona hacia ${\displaystyle |\epsilon _{i}\rangle ,}$

y entonces

${\displaystyle |{\text{before}}\rangle }$evoluciona hacia ${\displaystyle |{\text{after}}\rangle =\sum _{i}|\epsilon _{i}\rangle \langle i|\psi \rangle .}$

La unitaridad de la evolución temporal exige que la base del estado total permanezca ortonormal , es decir, los productos escalares o internos de los vectores de base deben desaparecer, ya que : ${\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _{ij}}$

${\displaystyle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

Esta ortonormalidad de los estados ambientales es la característica definitoria requerida para la einselección . ^[26]

Sistema no perturbado por el entorno.

En una medición idealizada, el sistema perturba el medio ambiente, pero él mismo no lo perturba. En este caso, cada elemento de la base interactúa con el medio ambiente de tal manera que

${\displaystyle |i\rangle |\epsilon \rangle }$evoluciona hacia el producto ${\displaystyle |i,\epsilon _{i}\rangle =|i\rangle |\epsilon _{i}\rangle ,}$

y entonces

${\displaystyle |{\text{before}}\rangle }$evoluciona hacia ${\displaystyle |{\text{after}}\rangle =\sum _{i}|i,\epsilon _{i}\rangle \langle i|\psi \rangle .}$

En este caso, la unitaridad exige que

${\displaystyle \langle i,\epsilon _{i}|j,\epsilon _{j}\rangle =\langle i|j\rangle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle =\delta _{ij}\langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle =\delta _{ij}\langle \epsilon _{i}|\epsilon _{i}\rangle =\delta _{ij},}$

donde se utilizó. Además , la decoherencia requiere, en virtud de la gran cantidad de grados de libertad ocultos en el entorno, que ${\displaystyle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{i}\rangle =1}$

${\displaystyle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle \approx \delta _{ij}.}$

Como antes, esta es la característica definitoria para que la decoherencia se convierta en einselección . ^[26] La aproximación se vuelve más exacta a medida que aumenta el número de grados de libertad ambientales afectados.

Tenga en cuenta que si la base del sistema no fuera una base einselected, entonces la última condición es trivial, ya que el entorno perturbado no es función de y tenemos la base trivial del entorno perturbado . Esto correspondería a que la base del sistema estuviera degenerada con respecto a la medición observable definida ambientalmente. Para una interacción ambiental compleja (que se esperaría para una interacción típica a macroescala), sería difícil definir una base no einselectada. ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle |\epsilon _{j}\rangle =|\epsilon '\rangle }$

Pérdida de interferencia y transición de probabilidades cuánticas a clásicas.

La utilidad de la decoherencia radica en su aplicación al análisis de probabilidades, antes y después de la interacción ambiental, y en particular a la desaparición de términos de interferencia cuántica después de que se ha producido la decoherencia. Si preguntamos cuál es la probabilidad de observar que el sistema hace una transición desde antes de haber interactuado con su entorno, entonces la aplicación de la regla de probabilidad de Born establece que la probabilidad de transición es el módulo al cuadrado del producto escalar de los dos estados: ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{before}}(\psi \to \phi )=\left|\langle \psi |\phi \rangle \right|^{2}=\left|\sum _{i}\psi _{i}^{*}\phi _{i}\right|^{2}=\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2}+\sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i},}$

donde , y etc. ${\displaystyle \psi _{i}=\langle i|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \psi _{i}^{*}=\langle \psi |i\rangle }$ ${\displaystyle \phi _{i}=\langle i|\phi \rangle }$

La expansión anterior de la probabilidad de transición tiene términos que involucran ; Se puede considerar que estos representan interferencias entre los diferentes elementos básicos o alternativas cuánticas. Este es un efecto puramente cuántico y representa la no aditividad de las probabilidades de las alternativas cuánticas. ${\displaystyle i\neq j}$

Para calcular la probabilidad de observar que el sistema realiza un salto cuántico de a después de haber interactuado con su entorno, la aplicación de la regla de probabilidad de Born establece que debemos sumar todos los estados posibles relevantes del entorno antes de elevar al cuadrado el módulo: ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle |\epsilon _{i}\rangle }$

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{after}}(\psi \to \phi )=\sum _{j}\,\left|\langle {\text{after}}\right|\phi ,\epsilon _{j}\rangle |^{2}=\sum _{j}\,\left|\sum _{i}\psi _{i}^{*}\langle i,\epsilon _{i}|\phi ,\epsilon _{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{j}\left|\sum _{i}\psi _{i}^{*}\phi _{i}\langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle \right|^{2}.}$

La suma interna desaparece cuando aplicamos la condición de decoherencia/ einselección , y la fórmula se simplifica a ${\displaystyle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle \approx \delta _{ij}}$

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{after}}(\psi \to \phi )\approx \sum _{j}|\psi _{j}^{*}\phi _{j}|^{2}=\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2}.}$

Si comparamos esto con la fórmula que derivamos antes de que el entorno introdujera la decoherencia, podemos ver que el efecto de la decoherencia ha sido mover el signo de suma desde el interior del signo del módulo hacia el exterior. Como resultado, todos los términos de interferencia cruzada o cuántica ${\displaystyle \textstyle \sum _{i}}$

${\displaystyle \sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i}}$

han desaparecido del cálculo de probabilidad de transición. La decoherencia ha convertido irreversiblemente el comportamiento cuántico ( amplitudes de probabilidad aditivas ) en comportamiento clásico (probabilidades aditivas). ^{[26] [27] [28]} Sin embargo, Ballentine ^[29] muestra que el impacto significativo de la decoherencia para reducir la interferencia no tiene por qué tener importancia para la transición de los sistemas cuánticos a los límites clásicos.

En términos de matrices de densidad, la pérdida de efectos de interferencia corresponde a la diagonalización de la matriz de densidad "recorrida ambientalmente" . ^[26]

Enfoque de matriz de densidad

El efecto de la decoherencia sobre las matrices de densidad es esencialmente la decadencia o rápida desaparición de los elementos fuera de la diagonal de la traza parcial de la matriz de densidad del sistema conjunto , es decir, la traza , con respecto a cualquier base ambiental, de la matriz de densidad del sistema combinado. y su entorno. La decoherencia convierte irreversiblemente la matriz de densidad "promediada" o "rastreada ambientalmente" ^[26] de un estado puro a una mezcla reducida; es esto lo que da la apariencia de colapso de la función de onda . Nuevamente, esto se llama "superselección inducida ambientalmente" o einselección . ^[26] La ventaja de realizar la traza parcial es que este procedimiento es indiferente a la base ambiental elegida.

Inicialmente, la matriz de densidad del sistema combinado se puede denotar como

${\displaystyle \rho =|{\text{before}}\rangle \langle {\text{before}}|=|\psi \rangle \langle \psi |\otimes |\epsilon \rangle \langle \epsilon |,}$

¿ Dónde está el estado del medio ambiente? Entonces, si la transición ocurre antes de que se produzca cualquier interacción entre el sistema y el medio ambiente, el subsistema del medio ambiente no tiene parte y se puede rastrear , dejando la matriz de densidad reducida para el sistema: ${\displaystyle |\epsilon \rangle }$

${\displaystyle \rho _{\text{sys}}=\operatorname {Tr} _{\textrm {env}}(\rho )=|\psi \rangle \langle \psi |\langle \epsilon |\epsilon \rangle =|\psi \rangle \langle \psi |.}$

Ahora la probabilidad de transición vendrá dada como

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{before}}(\psi \to \phi )=\langle \phi |\rho _{\text{sys}}|\phi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle ={\big |}\langle \psi |\phi \rangle {\big |}^{2}=\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2}+\sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i},}$

donde , y etc. ${\displaystyle \psi _{i}=\langle i|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \psi _{i}^{*}=\langle \psi |i\rangle }$ ${\displaystyle \phi _{i}=\langle i|\phi \rangle }$

Ahora bien, el caso es que la transición se produce después de la interacción del sistema con el medio ambiente. La matriz de densidad combinada será

${\displaystyle \rho =|{\text{after}}\rangle \langle {\text{after}}|=\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i,\epsilon _{i}\rangle \langle j,\epsilon _{j}|=\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\otimes |\epsilon _{i}\rangle \langle \epsilon _{j}|.}$

Para obtener la matriz de densidad reducida del sistema, trazamos el entorno y empleamos la condición de decoherencia/ einselección y vemos que los términos fuera de la diagonal desaparecen (un resultado obtenido por Erich Joos y HD Zeh en 1985): ^[30]

${\displaystyle \rho _{\text{sys}}=\operatorname {Tr} _{\text{env}}{\Big (}\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\otimes |\epsilon _{i}\rangle \langle \epsilon _{j}|{\Big )}=\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\langle \epsilon _{j}|\epsilon _{i}\rangle =\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\delta _{ij}=\sum _{i}|\psi _{i}|^{2}|i\rangle \langle i|.}$

De manera similar, la matriz de densidad reducida final después de la transición será

${\displaystyle \sum _{j}|\phi _{j}|^{2}|j\rangle \langle j|.}$

La probabilidad de transición entonces estará dada como

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{after}}(\psi \to \phi )=\sum _{i,j}|\psi _{i}|^{2}|\phi _{j}|^{2}\langle j|i\rangle \langle i|j\rangle =\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2},}$

que no tiene contribución de los términos de interferencia

${\displaystyle \sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i}.}$

El enfoque de matriz de densidad se ha combinado con el enfoque de Bohm para producir un enfoque de trayectoria reducida , teniendo en cuenta la matriz de densidad reducida del sistema y la influencia del medio ambiente. ^[31]

Representación de suma de operador

Considere un sistema S y un entorno (baño) B , que son cerrados y pueden tratarse mecánicamente cuánticamente. Sean y los espacios de Hilbert del sistema y del baño respectivamente. Entonces el hamiltoniano para el sistema combinado es ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{S}\otimes {\hat {I}}_{B}+{\hat {I}}_{S}\otimes {\hat {H}}_{B}+{\hat {H}}_{I},}$

donde están los hamiltonianos del sistema y del baño respectivamente, es la interacción hamiltoniana entre el sistema y el baño, y son los operadores de identidad en los espacios de Hilbert del sistema y del baño respectivamente. La evolución temporal del operador de densidad de este sistema cerrado es unitaria y, como tal, está dada por ${\displaystyle {\hat {H}}_{S},{\hat {H}}_{B}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$ ${\displaystyle {\hat {I}}_{S},{\hat {I}}_{B}}$

${\displaystyle \rho _{SB}(t)={\hat {U}}(t)\rho _{SB}(0){\hat {U}}^{\dagger }(t),}$

donde está el operador unitario . Si el sistema y el baño no están entrelazados inicialmente, entonces podemos escribir . Por lo tanto, la evolución del sistema se vuelve ${\displaystyle {\hat {U}}=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$ ${\displaystyle \rho _{SB}=\rho _{S}\otimes \rho _{B}}$

${\displaystyle \rho _{SB}(t)={\hat {U}}(t)[\rho _{S}(0)\otimes \rho _{B}(0)]{\hat {U}}^{\dagger }(t).}$

La interacción sistema-baño hamiltoniano se puede escribir en forma general como

${\displaystyle {\hat {H}}_{I}=\sum _{i}{\hat {S}}_{i}\otimes {\hat {B}}_{i},}$

donde es el operador que actúa sobre el espacio combinado sistema-baño de Hilbert, y son los operadores que actúan sobre el sistema y el baño respectivamente. Este acoplamiento del sistema y del baño es la causa de la decoherencia únicamente en el sistema. Para comprobarlo, se realiza un trazado parcial sobre el baño para dar una descripción del sistema por sí solo: ${\displaystyle {\hat {S}}_{i}\otimes {\hat {B}}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{i},{\hat {B}}_{i}}$

${\displaystyle \rho _{S}(t)=\operatorname {Tr} _{B}{\big [}{\hat {U}}(t)[\rho _{S}(0)\otimes \rho _{B}(0)]{\hat {U}}^{\dagger }(t){\big ]}.}$

${\displaystyle \rho _{S}(t)}$se llama matriz de densidad reducida y proporciona información únicamente sobre el sistema. Si el baño se escribe en términos de su conjunto de bases ortogonales, es decir, si inicialmente se ha diagonalizado, entonces . Calcular la traza parcial con respecto a esta base (computacional) da ${\displaystyle \textstyle \rho _{B}(0)=\sum _{j}a_{j}|j\rangle \langle j|}$

${\displaystyle \rho _{S}(t)=\sum _{l}{\hat {A}}_{l}\rho _{S}(0){\hat {A}}_{l}^{\dagger },}$

donde se definen como los operadores Kraus y se representan como (el índice combina índices y ): ${\displaystyle {\hat {A}}_{l},{\hat {A}}_{l}^{\dagger }}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{l}={\sqrt {a_{j}}}\langle k|{\hat {U}}|j\rangle .}$

Esto se conoce como representación de suma de operadores (OSR). Se puede obtener una condición para los operadores de Kraus utilizando el hecho de que ; esto entonces da ${\displaystyle \operatorname {Tr} [\rho _{S}(t)]=1}$

${\displaystyle \sum _{l}{\hat {A}}_{l}^{\dagger }{\hat {A}}_{l}={\hat {I}}_{S}.}$

Esta restricción determina si se producirá o no decoherencia en el OSR. En particular, cuando hay más de un término presente en la suma de , entonces la dinámica del sistema será no unitaria y, por tanto, se producirá decoherencia. ${\displaystyle \rho _{S}(t)}$

Enfoque de semigrupo

Una consideración más general sobre la existencia de decoherencia en un sistema cuántico viene dada por la ecuación maestra , que determina cómo evoluciona en el tiempo la matriz de densidad del sistema por sí sola (ver también la ecuación de Belavkin ^{[32] [33] [34]} para la evolución bajo medición continua). Esto utiliza la imagen de Schrödinger , donde se considera la evolución del estado (representado por su matriz de densidad). La ecuación maestra es

${\displaystyle \rho '_{S}(t)={\frac {-i}{\hbar }}{\big [}{\tilde {H}}_{S},\rho _{S}(t){\big ]}+L_{D}{\big [}\rho _{S}(t){\big ]},}$

donde está el sistema hamiltoniano junto con una (posible) contribución unitaria del baño, y es el término decoherente de Lindblad . ^[2] El término decohering de Lindblad se representa como ${\displaystyle {\tilde {H}}_{S}=H_{S}+\Delta }$ ${\displaystyle H_{S}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle L_{D}}$

${\displaystyle L_{D}{\big [}\rho _{S}(t){\big ]}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{M}b_{\alpha \beta }{\Big (}{\big [}\mathbf {F} _{\alpha },\rho _{S}(t)\mathbf {F} _{\beta }^{\dagger }{\big ]}+{\big [}\mathbf {F} _{\alpha }\rho _{S}(t),\mathbf {F} _{\beta }^{\dagger }{\big ]}{\Big )}.}$

Son operadores básicos para el espacio M -dimensional de operadores acotados que actúan en el espacio de Hilbert del sistema y son los generadores de errores . ^[35] Los elementos de la matriz representan los elementos de una matriz hermitiana semidefinida positiva ; caracterizan los procesos de decoherencia y, como tales, se denominan parámetros de ruido . ^[35] El enfoque de semigrupo es particularmente bueno, porque distingue entre los procesos unitarios y descoherentes (no unitarios), lo que no es el caso con el OSR. En particular, la dinámica no unitaria está representada por , mientras que la dinámica unitaria del estado está representada por el conmutador de Heisenberg habitual . Tenga en cuenta que cuando , la evolución dinámica del sistema es unitaria. Las condiciones para que la evolución de la matriz de densidad del sistema sea descrita por la ecuación maestra son: ^[2] ${\displaystyle \{\mathbf {F} _{\alpha }\}_{\alpha =1}^{M}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle b_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle L_{D}}$ ${\displaystyle L_{D}{\big [}\rho _{S}(t){\big ]}=0}$

1. la evolución de la matriz de densidad del sistema está determinada por un semigrupo de un parámetro
2. la evolución es "completamente positiva" (es decir, se conservan las probabilidades)
3. las matrices de densidad del sistema y del baño están inicialmente desacopladas

Ejemplos de modelado no unitario

La decoherencia puede modelarse como un proceso no unitario mediante el cual un sistema se acopla con su entorno (aunque el sistema combinado más el entorno evoluciona de forma unitaria). ^[2] Así, la dinámica del sistema por sí sola, tratada de forma aislada, no es unitaria y, como tal, está representada por transformaciones irreversibles que actúan sobre el espacio de Hilbert del sistema . Dado que la dinámica del sistema está representada por representaciones irreversibles, cualquier información presente en el sistema cuántico puede perderse en el medio ambiente o en el baño térmico . Alternativamente, la decadencia de la información cuántica causada por el acoplamiento del sistema al entorno se denomina decoherencia. ^[1] Por lo tanto, la decoherencia es el proceso mediante el cual la información de un sistema cuántico es alterada por la interacción del sistema con su entorno (que forma un sistema cerrado), creando así un entrelazamiento entre el sistema y el baño térmico (entorno). Como tal, dado que el sistema está entrelazado con su entorno de alguna manera desconocida, no se puede hacer una descripción del sistema por sí mismo sin hacer referencia también al entorno (es decir, sin describir también el estado del entorno). ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Decoherencia rotacional

Considere un sistema de N qubits acoplados simétricamente a un baño. Supongamos que este sistema de N qubits sufre una rotación alrededor de los estados propios de . Luego, bajo tal rotación, se creará una fase aleatoria entre los estados propios , de . Así estos qubits base se transformarán de la siguiente manera: ${\displaystyle |{\uparrow }\rangle \langle {\uparrow }|,|{\downarrow }\rangle \langle {\downarrow }|}$ ${\displaystyle {\big (}|0\rangle \langle 0|,|1\rangle \langle 1|{\big )}}$ ${\displaystyle {\hat {J_{z}}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {J_{z}}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle |0\rangle \to |0\rangle ,\quad |1\rangle \to e^{i\phi }|1\rangle .}$

Esta transformación la realiza el operador de rotación.

${\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\phi }\end{pmatrix}}.}$

Dado que cualquier qubit en este espacio se puede expresar en términos de qubits básicos, todos esos qubits se transformarán bajo esta rotación. Considere el décimo qubit en estado puro donde . Antes de la aplicación de la rotación este estado es: ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \vert \psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}\vert }$ ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle =a|0\rangle +b|1\rangle }$

${\displaystyle \rho _{j,{\text{init}}}={\begin{pmatrix}|a|^{2}&ab^{\ast }\\a^{\ast }b&|b|^{2}\end{pmatrix}}}$.

Este estado se descoherirá, ya que no está "codificado" con (dependiente de) el factor de desfase . Esto se puede ver examinando la matriz de densidad promediada en la fase aleatoria : ${\displaystyle e^{i\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \rho _{j}=\mathbb {E} [R_{z}(\phi )\vert \psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}\vert R_{z}^{\dagger }(\phi )]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }R_{z}(\phi )|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|R_{z}^{\dagger }(\phi )\;P({\text{d}}\phi )}$,

donde es una medida de probabilidad de la fase aleatoria, . Aunque no es del todo necesario, supongamos por simplicidad que esto viene dado por la distribución gaussiana , es decir , donde representa la dispersión de la fase aleatoria. Entonces la matriz de densidad calculada como arriba es ${\displaystyle P(\cdot )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle P({\text{d}}\phi )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}({\frac {\phi }{\sigma }})^{2}}\,{\text{d}}\phi }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \rho _{j}={\begin{pmatrix}|a|^{2}&ab^{\ast }\,e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}\\a^{\ast }b\,e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}&|b|^{2}\end{pmatrix}}}$.

Observe que los elementos fuera de la diagonal (los términos de coherencia) decaen a medida que la dispersión de la fase aleatoria, , aumenta con el tiempo (lo cual es una expectativa realista). Por lo tanto, las matrices de densidad para cada qubit del sistema se vuelven indistinguibles con el tiempo. Esto significa que ninguna medición puede distinguir entre los qubits, creando así decoherencia entre los distintos estados de los qubits. En particular, este proceso de desfase hace que los qubits colapsen a uno de los estados puros en . Es por eso que este tipo de proceso de decoherencia se llama desfase colectivo , porque se destruyen las fases mutuas entre todos los qubits del sistema de N -qubits. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{\vert 0\rangle \langle 0\vert ,\vert 1\rangle \langle 1\vert \}}$

Despolarizante

La despolarización es una transformación no unitaria en un sistema cuántico que asigna estados puros a estados mixtos. Este es un proceso no unitario porque cualquier transformación que invierta este proceso asignará estados fuera de su respectivo espacio de Hilbert, por lo que no preservará la positividad (es decir, las probabilidades originales se asignan a probabilidades negativas, lo cual no está permitido). El caso bidimensional de tal transformación consistiría en mapear estados puros en la superficie de la esfera de Bloch a estados mixtos dentro de la esfera de Bloch. Esto contraería la esfera de Bloch en una cantidad finita y el proceso inverso expandiría la esfera de Bloch, lo que no puede suceder.

Disipación

La disipación es un proceso de decoherencia mediante el cual las poblaciones de estados cuánticos cambian debido al entrelazamiento con un baño. Un ejemplo de esto sería un sistema cuántico que pueda intercambiar su energía con un baño mediante la interacción hamiltoniana . Si el sistema no está en su estado fundamental y el baño está a una temperatura inferior a la del sistema, entonces el sistema emitirá energía al baño y, por lo tanto, los estados propios de mayor energía del sistema hamiltoniano se decoherirán al estado fundamental. después de enfriarse y, como tal, no se degenerarán . Como los estados ya no son degenerados, no son distinguibles y, por tanto, este proceso es irreversible (no unitario).

Escalas de tiempo

La decoherencia representa un proceso extremadamente rápido para los objetos macroscópicos, ya que estos interactúan con muchos objetos microscópicos, con una enorme cantidad de grados de libertad en su entorno natural. El proceso es necesario si queremos entender por qué tendemos a no observar el comportamiento cuántico en objetos macroscópicos cotidianos y por qué vemos campos clásicos surgir de las propiedades de la interacción entre materia y radiación para grandes cantidades de materia. El tiempo que tardan los componentes fuera de la diagonal de la matriz de densidad en desaparecer efectivamente se denomina tiempo de decoherencia . Por lo general, es extremadamente corto para procesos cotidianos a macroescala. ^{[26] [27] [28]} Una definición moderna independiente de la base del tiempo de decoherencia se basa en el comportamiento a corto plazo de la fidelidad entre el estado inicial y el estado dependiente del tiempo ^[36] o, de manera equivalente, la decadencia de la pureza. . ^[37]

Detalles matemáticos

Supongamos por el momento que el sistema en cuestión consta de un subsistema A que se está estudiando y el "entorno" , y que el espacio de Hilbert total es el producto tensorial de un espacio de Hilbert que describe A y un espacio de Hilbert que describe , es decir, ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\epsilon }}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{\epsilon }.}$

Ésta es una aproximación razonablemente buena en el caso en que A y sean relativamente independientes (por ejemplo, no hay nada parecido a que partes de A se mezclen con partes de o viceversa). La cuestión es que la interacción con el medio ambiente es inevitable a todos los efectos prácticos (por ejemplo, incluso un solo átomo excitado en el vacío emitiría un fotón, que luego se dispararía). Digamos que esta interacción se describe mediante una transformación unitaria U que actúa sobre . Supongamos que el estado inicial del medio ambiente es , y el estado inicial de A es el estado de superposición ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle |{\text{in}}\rangle }$

${\displaystyle c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle ,}$

donde y son ortogonales y no hay entrelazamiento inicialmente. Además, elija una base ortonormal para . (Esto podría ser una "base indexada continuamente" o una mezcla de índices continuos y discretos, en cuyo caso tendríamos que usar un espacio de Hilbert amañado y tener más cuidado con lo que queremos decir con ortonormal, pero ese es un detalle no esencial para propósitos expositivos. .) Entonces, podemos expandir ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle \{|e_{i}\rangle \}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$

${\displaystyle U{\big (}|\psi _{1}\rangle \otimes |{\text{in}}\rangle {\big )}}$

y

${\displaystyle U{\big (}|\psi _{2}\rangle \otimes |{\text{in}}\rangle {\big )}}$

únicamente como

${\displaystyle \sum _{i}|e_{i}\rangle \otimes |f_{1i}\rangle }$

y

${\displaystyle \sum _{i}|e_{i}\rangle \otimes |f_{2i}\rangle }$

respectivamente. Una cosa que hay que tener en cuenta es que el entorno contiene una gran cantidad de grados de libertad, y un buen número de ellos interactúan entre sí todo el tiempo. Esto hace que la siguiente suposición sea razonable en forma de movimiento manual, lo que puede demostrarse como cierto en algunos modelos de juguetes simples. Supongamos que existe una base para tal que y son todos aproximadamente ortogonales en buen grado si i ≠ j y lo mismo para y y también para y para cualquier i y j (la propiedad de decoherencia). ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\epsilon }}$ ${\displaystyle |f_{1i}\rangle }$ ${\displaystyle |f_{1j}\rangle }$ ${\displaystyle |f_{2i}\rangle }$ ${\displaystyle |f_{2j}\rangle }$ ${\displaystyle |f_{1i}\rangle }$ ${\displaystyle |f_{2j}\rangle }$

Esto a menudo resulta ser cierto (como una conjetura razonable) en la base de la posición porque la forma en que A interactúa con el entorno a menudo dependería críticamente de la posición de los objetos en A. Entonces, si tomamos la traza parcial sobre el medio ambiente, encontraríamos que el estado de densidad ^{[ se necesita aclaración ]} se describe aproximadamente por

${\displaystyle \sum _{i}{\big (}\langle f_{1i}|f_{1i}\rangle +\langle f_{2i}|f_{2i}\rangle {\big )}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|,}$

es decir, tenemos un estado mixto diagonal , no hay interferencia constructiva ni destructiva y las "probabilidades" se suman de forma clásica. El tiempo que tarda U ( t ) (el operador unitario en función del tiempo) en mostrar la propiedad de decoherencia se llama tiempo de decoherencia .

Observaciones experimentales

Medición cuantitativa

La tasa de decoherencia depende de varios factores, incluida la temperatura o la incertidumbre en la posición, y muchos experimentos han intentado medirla dependiendo del entorno externo. ^[38]

El proceso de una superposición cuántica gradualmente borrada por la decoherencia fue medido cuantitativamente por primera vez por Serge Haroche y sus colaboradores en la École Normale Supérieure de París en 1996. ^[39] Su enfoque implicaba enviar átomos de rubidio individuales , cada uno en una superposición. de dos estados, a través de una cavidad llena de microondas. Los dos estados cuánticos provocan cambios en la fase del campo de microondas, pero en cantidades diferentes, de modo que el campo mismo también se coloca en una superposición de dos estados. Debido a la dispersión de fotones en la imperfección del espejo de la cavidad, el campo de la cavidad pierde coherencia de fase con el entorno.

Haroche y sus colegas midieron la decoherencia resultante mediante correlaciones entre los estados de pares de átomos enviados a través de la cavidad con varios retrasos de tiempo entre los átomos.

Aplicaciones

La decoherencia representa un desafío para la realización práctica de computadoras cuánticas , ya que se espera que dichas máquinas dependan en gran medida de la evolución sin perturbaciones de las coherencias cuánticas. En pocas palabras, requieren que se preserve la coherencia de los estados y se gestione la decoherencia para poder realizar realmente la computación cuántica. La preservación de la coherencia y la mitigación de los efectos de la decoherencia están, por tanto, relacionadas con el concepto de corrección de errores cuánticos.

En julio de 2011, investigadores de la Universidad de Columbia Británica y la Universidad de California en Santa Bárbara pudieron reducir la tasa de decoherencia ambiental "a niveles muy por debajo del umbral necesario para el procesamiento de información cuántica" mediante la aplicación de campos magnéticos elevados en su experimento. ^{[40] [41] [42]}

En agosto de 2020, los científicos informaron que la radiación ionizante de materiales radiactivos ambientales y los rayos cósmicos pueden limitar sustancialmente los tiempos de coherencia de los qubits si no están protegidos adecuadamente, lo que puede ser fundamental para la realización de computadoras cuánticas superconductoras tolerantes a fallas en el futuro. ^{[43] [44] [45]}

Ver también

• desfasado
• Fórmula SP de tasa de desfase
• Una selección
• Teoría de Ghirardi-Rimini-Weber
• H. Dieter Zeh
• Interpretaciones de la mecánica cuántica.
• Teoría del colapso objetivo
• rastro parcial
• Polarización de fotones
• coherencia cuántica
• Darwinismo cuántico
• Entrelazamiento cuántico
• Superposición cuántica
• Efecto Zenón cuántico

Referencias

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Otras lecturas

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• Zurek, Wojciech H. (2003). "La decoherencia y la transición de lo cuántico a lo clásico - REVISITADO", arXiv :quant-ph/0306072 (una versión actualizada de PHYSICS TODAY, artículo 44:36–44 (1991))
• Schlosshauer, Maximilian (23 de febrero de 2005). "Decoherencia, el problema de la medición e interpretaciones de la mecánica cuántica". Reseñas de Física Moderna . 76 (2004): 1267–1305. arXiv : quant-ph/0312059 . Código Bib : 2004RvMP...76.1267S. doi : 10.1103/RevModPhys.76.1267. S2CID  7295619.
• Halliwell, JJ; Pérez-Mercader, J.; Zurek, Wojciech H. , eds. (21 de marzo de 1996). Los orígenes físicos de la asimetría del tiempo . Parte 3: Decoherencia. ISBN 0-521-56837-4.
• Berthold-Georg Englert , Marlan O. Scully y Herbert Walther , Quantum Optical Tests of Complementarity , Nature, Vol 351, págs. 111–116 (9 de mayo de 1991) y (mismos autores) The Duality in Matter and Light Scientific American, pág. 61, (diciembre de 1994). Demuestra que la complementariedad se impone y los efectos de la interferencia cuántica se destruyen mediante correlaciones irreversibles entre objeto y aparato , y no, como se creía popularmente anteriormente, mediante el propio principio de incertidumbre de Heisenberg .
• Mario Castagnino, Sebastian Fortin, Roberto Laura y Olimpia Lombardi , Un marco teórico general para la decoherencia en sistemas abiertos y cerrados , Classical and Quantum Gravity, 25, págs. 154002–154013, (2008). Se propone un marco teórico general para la decoherencia, que abarca formalismos originalmente ideados para tratar sólo con sistemas abiertos o cerrados.