Rastro parcial

Función sobre operadores lineales

El lado izquierdo muestra una matriz de densidad completa de un sistema de cúbits bipartito. El trazo parcial se realiza sobre un subsistema de dimensión 2 por 2 (matriz de densidad de cúbits simple). El lado derecho muestra la matriz de densidad reducida 2 por 2 resultante . ${\displaystyle \rho _{AB}}$ ${\displaystyle \rho _{A}}$

En álgebra lineal y análisis funcional , la traza parcial es una generalización de la traza . Mientras que la traza es una función escalar sobre operadores, la traza parcial es una función con valor de operador . La traza parcial tiene aplicaciones en información cuántica y decoherencia , lo cual es relevante para la medición cuántica y, por lo tanto, para los enfoques decoherentes de las interpretaciones de la mecánica cuántica , incluidas las historias consistentes y la interpretación de estados relativos .

Detalles

Supóngase que , son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo , con dimensiones y , respectivamente. Para cualquier espacio , sea el espacio de operadores lineales sobre . La traza parcial sobre , entonces, se escribe como , donde denota el producto de Kronecker . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\to \operatorname {L} (V)}$ ${\displaystyle \otimes }$

Se define de la siguiente manera: Para , sean , y , bases para V y W respectivamente; entonces T tiene una representación matricial ${\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$

${\displaystyle \{a_{k\ell ,ij}\}\quad 1\leq k,i\leq m,\quad 1\leq \ell ,j\leq n}$

relativo a la base de . ${\displaystyle e_{k}\otimes f_{\ell }}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

Ahora, para los índices k , i en el rango 1, ..., m , considere la suma

${\displaystyle b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}}$

Esto da una matriz b _{k , i} . El operador lineal asociado en V es independiente de la elección de bases y es por definición la traza parcial .

Entre los físicos, esto a menudo se denomina "trazar" o "trazar sobre" W para dejar solo un operador en V en el contexto donde W y V son espacios de Hilbert asociados con sistemas cuánticos (ver más abajo).

Definición de invariante

El operador de traza parcial se puede definir invariablemente (es decir, sin referencia a una base) de la siguiente manera: es la única función lineal

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\rightarrow \operatorname {L} (V)}$

de tal manera que

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(R\otimes S)=\operatorname {Tr} (S)\,R\quad \forall R\in \operatorname {L} (V)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W).}$

Para ver que las condiciones anteriores determinan la traza parcial de manera única, sea que forme una base para , sea que forme una base para , sea que sea el mapa que envía a (y todos los demás elementos de la base a cero), y sea que sea el mapa que envía a . Dado que los vectores forman una base para , los mapas forman una base para . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle E_{ij}\colon V\to V}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle F_{kl}\colon W\to W}$ ${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle w_{l}}$ ${\displaystyle v_{i}\otimes w_{k}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle E_{ij}\otimes F_{kl}}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (V\otimes W)}$

De esta definición abstracta se desprenden las siguientes propiedades:

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(I_{V\otimes W})=\dim W\ I_{V}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(T(I_{V}\otimes S))=\operatorname {Tr} _{W}((I_{V}\otimes S)T)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W)\quad \forall T\in \operatorname {L} (V\otimes W).}$

Noción de teoría de categorías

La traza parcial de las transformaciones lineales es el tema de la noción de categoría monoidal trazada de Joyal, Street y Verity . Una categoría monoidal trazada es una categoría monoidal junto con, para los objetos X , Y , U en la categoría, una función de los conjuntos de homólogos, ${\displaystyle (C,\otimes ,I)}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{X,Y}^{U}\colon \operatorname {Hom} _{C}(X\otimes U,Y\otimes U)\to \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

satisfaciendo ciertos axiomas.

Otro caso de esta noción abstracta de traza parcial se da en la categoría de conjuntos finitos y biyecciones entre ellos, en la que el producto monoidal es la unión disjunta. Se puede demostrar que para cualesquiera conjuntos finitos, X , Y , U y biyección existe una biyección "parcialmente trazada" correspondiente . ${\displaystyle X+U\cong Y+U}$ ${\displaystyle X\cong Y}$

Traza parcial para operadores en espacios de Hilbert

La traza parcial se generaliza a operadores en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Supóngase que V , W son espacios de Hilbert y sea

${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$

sea ​​una base ortonormal para W . Ahora hay un isomorfismo isométrico

${\displaystyle \bigoplus _{\ell \in I}(V\otimes \mathbb {C} f_{\ell })\rightarrow V\otimes W}$

Bajo esta descomposición, cualquier operador puede considerarse como una matriz infinita de operadores en V ${\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\ldots &T_{1j}&\ldots \\T_{21}&T_{22}&\ldots &T_{2j}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \\T_{k1}&T_{k2}&\ldots &T_{kj}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \end{bmatrix}},}$

dónde . ${\displaystyle T_{k\ell }\in \operatorname {L} (V)}$

Supongamos primero que T es un operador no negativo. En este caso, todas las entradas diagonales de la matriz anterior son operadores no negativos en V. Si la suma

${\displaystyle \sum _{\ell }T_{\ell \ell }}$

converge en la topología de operador fuerte de L( V ), es independiente de la base elegida de W . La traza parcial Tr _W ( T ) se define como este operador. La traza parcial de un operador autoadjunto se define si y solo si se definen las trazas parciales de las partes positiva y negativa.

Cálculo de la traza parcial

Supongamos que W tiene una base ortonormal, que denotamos mediante la notación de vector ket como . Entonces ${\displaystyle \{|\ell \rangle \}_{\ell }}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}\left(\sum _{k,\ell }T^{(k\ell )}\,\otimes \,|k\rangle \langle \ell |\right)=\sum _{j}T^{(jj)}.}$

Los superíndices entre paréntesis no representan componentes de la matriz, sino que etiquetan la matriz misma.

Traza parcial e integración invariante

En el caso de espacios de Hilbert de dimensión finita, existe una forma útil de observar la traza parcial que implica la integración con respecto a una medida de Haar adecuadamente normalizada μ sobre el grupo unitario U( W ) de W . Adecuadamente normalizado significa que μ se toma como una medida con masa total dim( W ).

Teorema . Supóngase que V , W son espacios de Hilbert de dimensión finita. Entonces

${\displaystyle \int _{\operatorname {U} (W)}(I_{V}\otimes U^{*})T(I_{V}\otimes U)\ d\mu (U)}$

conmuta con todos los operadores de la forma y, por lo tanto, es únicamente de la forma . El operador R es la traza parcial de T . ${\displaystyle I_{V}\otimes S}$ ${\displaystyle R\otimes I_{W}}$

La traza parcial como operación cuántica

La traza parcial puede considerarse como una operación cuántica . Consideremos un sistema mecánico cuántico cuyo espacio de estados es el producto tensorial de los espacios de Hilbert. Un estado mixto se describe mediante una matriz de densidad ρ, que es un operador de clase de traza no negativo de la traza 1 en el producto tensorial. La traza parcial de ρ con respecto al sistema B , denotada por , se denomina estado reducido de ρ en el sistema A. En símbolos, ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$ ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$ ${\displaystyle \rho ^{A}}$

${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho .}$

Para demostrar que esta es, de hecho, una forma sensata de asignar un estado en el subsistema A a ρ, ofrecemos la siguiente justificación. Sea M un observable en el subsistema A , entonces el observable correspondiente en el sistema compuesto es . Independientemente de cómo se elija definir un estado reducido , debería haber coherencia en las estadísticas de medición. El valor esperado de M después de que se prepare el subsistema A en y el de cuando se prepare el sistema compuesto en ρ debería ser el mismo, es decir, debería cumplirse la siguiente igualdad: ${\displaystyle M\otimes I}$ ${\displaystyle \rho ^{A}}$ ${\displaystyle \rho ^{A}}$ ${\displaystyle M\otimes I}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{A}(M\cdot \rho ^{A})=\operatorname {Tr} (M\otimes I\cdot \rho ).}$

Vemos que esto se cumple si es como se definió anteriormente a través de la traza parcial. Además, dicha operación es única. ${\displaystyle \rho ^{A}}$

Sea T(H) el espacio de Banach de los operadores de la clase traza en el espacio de Hilbert H. Se puede comprobar fácilmente que la traza parcial, vista como una función

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}:T(H_{A}\otimes H_{B})\rightarrow T(H_{A})}$

es completamente positivo y preserva el rastro.

La matriz de densidad ρ es hermítica , semidefinida positiva y tiene una traza de 1. Tiene una descomposición espectral :

${\displaystyle \rho =\sum _{m}p_{m}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|;\ 0\leq p_{m}\leq 1,\ \sum _{m}p_{m}=1}$

Es fácil ver que la traza parcial también satisface estas condiciones. Por ejemplo, para cualquier estado puro en , tenemos ${\displaystyle \rho ^{A}}$ ${\displaystyle |\psi _{A}\rangle }$ ${\displaystyle H_{A}}$

${\displaystyle \langle \psi _{A}|\rho ^{A}|\psi _{A}\rangle =\sum _{m}p_{m}\operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]\geq 0}$

Obsérvese que el término representa la probabilidad de encontrar el estado cuando el sistema compuesto se encuentra en el estado . Esto demuestra la semidefinición positiva de . ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]}$ ${\displaystyle |\psi _{A}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi _{m}\rangle }$ ${\displaystyle \rho ^{A}}$

El mapa de traza parcial dado arriba induce un mapa dual entre las C*-álgebras de operadores acotados en y dados por ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}}$ ${\displaystyle \;H_{A}}$ ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}(A)=A\otimes I.}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}}$asigna observables a observables y es la representación en imagen de Heisenberg de . ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}}$

Comparación con el caso clásico

Supongamos que en lugar de sistemas mecánicos cuánticos, los dos sistemas A y B son clásicos. El espacio de observables para cada sistema son entonces C*-álgebras abelianas. Estas son de la forma C ( X ) y C ( Y ) respectivamente para espacios compactos X , Y . El espacio de estados del sistema compuesto es simplemente

${\displaystyle C(X)\otimes C(Y)=C(X\times Y).}$

Un estado en el sistema compuesto es un elemento positivo ρ del dual de C( X × Y ), que por el teorema de Riesz-Markov corresponde a una medida regular de Borel en X × Y . El estado reducido correspondiente se obtiene proyectando la medida ρ a X . Por lo tanto, la traza parcial es el equivalente mecánico cuántico de esta operación.

Referencias