Categoría monoidal trazada

En la teoría de categorías , una categoría monoidal trazada es una categoría con alguna estructura adicional que proporciona una noción razonable de retroalimentación.

Una categoría monoidal simétrica trazada es una categoría monoidal simétrica C junto con una familia de funciones

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}:\mathbf {C} (X\otimes U,Y\otimes U)\to \mathbf {C} (X,Y)}$

llamado rastro , que satisface las siguientes condiciones:

• naturalidad en : para cada y , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U}$ ${\displaystyle g:X'\to X}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X',Y}^{U}(f\circ (g\otimes \mathrm {id} _{U}))=\mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(f)\circ g}$

Naturalidad en X

• naturalidad en : para cada y , ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U}$ ${\displaystyle g:Y\to Y'}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y'}^{U}((g\otimes \mathrm {id} _{U})\circ f)=g\circ \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(f)}$

Naturalidad en Y

• dinaturalidad en : para cada y ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U'}$ ${\displaystyle g:U'\to U}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}((\mathrm {id} _{Y}\otimes g)\circ f)=\mathrm {Tr} _{X,Y}^{U'}(f\circ (\mathrm {id} _{X}\otimes g))}$

Dinaturalidad en U

• yo desapareciendo: para cada , (siendo el unitor correcto), ${\displaystyle f:X\otimes I\to Y\otimes I}$ ${\displaystyle \rho _{X}\colon X\otimes I\cong X}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{I}(f)=\rho _{Y}\circ f\circ \rho _{X}^{-1}}$

Desapareciendo yo

• Desapareciendo II: por cada ${\displaystyle f:X\otimes U\otimes V\to Y\otimes U\otimes V}$

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(\mathrm {Tr} _{X\otimes U,Y\otimes U}^{V}(f))=\mathrm {Tr} _{X,Y}^{U\otimes V}(f)}$

Desaparición II

• superposición: para cada y , ${\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U}$ ${\displaystyle g:W\to Z}$

${\displaystyle g\otimes \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(f)=\mathrm {Tr} _{W\otimes X,Z\otimes Y}^{U}(g\otimes f)}$

Superposición

• tirando:

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,X}^{X}(\gamma _{X,X})=\mathrm {id} _{X}}$

(donde es la simetría de la categoría monoidal). ${\displaystyle \gamma }$

Tirón

Propiedades

• Toda categoría compacta y cerrada admite una traza.
• Dada una categoría monoidal trazada C , la construcción Int genera el cierre compacto libre (en algún sentido bicategórico) Int( C ) de C .

Referencias

• Joyal, André ; Street, Ross ; Verity, Dominic (1996). "Categorías monoidales trazadas". Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge . 119 (3): 447–468. Código Bibliográfico :1996MPCPS.119..447J. doi :10.1017/S0305004100074338. S2CID  50511333.