arco meridiano

Distancia a lo largo de una porción de un meridiano, para uso en geodesia

En geodesia y navegación , un arco meridiano es la curva entre dos puntos de la superficie terrestre que tienen la misma longitud . El término puede referirse a un segmento del meridiano o a su longitud .

La finalidad de medir los arcos de meridianos es determinar una figura de la Tierra . Se pueden usar una o más mediciones de arcos de meridianos para inferir la forma del elipsoide de referencia que mejor se aproxima al geoide en la región de las mediciones. Las mediciones de arcos de meridianos en varias latitudes a lo largo de muchos meridianos de todo el mundo se pueden combinar para aproximar un elipsoide geocéntrico destinado a adaptarse al mundo entero.

Las primeras determinaciones del tamaño de una Tierra esférica requirieron un solo arco. Los trabajos topográficos precisos que comenzaron en el siglo XIX requirieron varias mediciones de arco en la región donde se iba a realizar el estudio, lo que llevó a una proliferación de elipsoides de referencia en todo el mundo. Las últimas determinaciones utilizan mediciones astrogeodésicas y métodos de geodesia satelital para determinar elipsoides de referencia, especialmente los elipsoides geocéntricos que ahora se utilizan para sistemas de coordenadas globales como WGS 84 (ver expresiones numéricas).

Historia de la medición

Las primeras estimaciones del tamaño de la Tierra se registran en Grecia en el siglo IV a.C., y por eruditos de la Casa de la Sabiduría del califa en Bagdad en el siglo IX. El primer valor realista fue calculado por el científico alejandrino Eratóstenes alrededor del año 240 a.C. Estimó que el meridiano tiene una longitud de 252.000 estadios , con un error sobre el valor real entre -2,4% y +0,8% (suponiendo un valor para el estadio entre 155 y 160 metros). ^[1] Eratóstenes describió su técnica en un libro titulado Sobre la medida de la Tierra , que no se ha conservado. Posidonio utilizó un método similar unos 150 años después, y en 827 se calcularon resultados ligeramente mejores mediante el método de medición del arco , ^[2] atribuido al califa Al-Ma'mun . ^{[ cita necesaria ]}

Tierra elipsoidal

La literatura antigua utiliza el término esferoide achatado para describir una esfera "aplastada en los polos". La literatura moderna utiliza el término elipsoide de revolución en lugar de esferoide , aunque las palabras calificativas "de revolución" generalmente se omiten. Un elipsoide que no es un elipsoide de revolución se llama elipsoide triaxial. Esferoide y elipsoide se usan indistintamente en este artículo, y se implica achatado si no se indica.

Siglos XVII y XVIII

Aunque se sabía desde la antigüedad clásica que la Tierra era esférica , en el siglo XVII se acumulaba evidencia de que no era una esfera perfecta. En 1672, Jean Richer encontró la primera evidencia de que la gravedad no era constante sobre la Tierra (como lo sería si la Tierra fuera una esfera); llevó un reloj de péndulo a Cayena , Guayana Francesa y descubrió que perdía 2+1 ⁄ 2 minutos por día en comparación con su tarifa en París . ^{[3] [4]} Esto indicó que la aceleración de la gravedad era menor en Cayena que en París. Se empezaron a llevar gravímetros de péndulo en viajes a partes remotas del mundo, y poco a poco se descubrió que la gravedad aumenta suavemente al aumentar la latitud , siendo la aceleración gravitacional aproximadamente un 0,5% mayor en los polos geográficos que en el ecuador .

En 1687, Isaac Newton había publicado en los Principia una prueba de que la Tierra era un esferoide achatado de aplanamiento igual a1/230. ^[5] Esto fue cuestionado por algunos, pero no todos, los científicos franceses. Giovanni Domenico Cassini y su hijo Jacques Cassini ampliaron un arco meridiano de Jean Picard a un arco más largo durante el período 1684-1718. ^[6] El arco se midió con al menos tres determinaciones de latitud, por lo que pudieron deducir curvaturas medias para las mitades norte y sur del arco, lo que permitió determinar la forma general. Los resultados indicaron que la Tierra era un esferoide alargado (con un radio ecuatorial menor que el radio polar). Para resolver la cuestión, la Academia de Ciencias de Francia (1735) emprendió expediciones al Perú ( Bouguer , Louis Godin , de La Condamine , Antonio de Ulloa , Jorge Juan ) y a Laponia ( Maupertuis , Clairaut , Camus , Le Monnier , Abbe Outhier , Anders Celsius ). Las mediciones resultantes en latitudes ecuatoriales y polares confirmaron que la mejor manera de modelar la Tierra era mediante un esferoide achatado que sustentara a Newton. ^[6] Sin embargo, en 1743, el teorema de Clairaut había suplantado por completo el enfoque de Newton.

A finales de siglo, Jean Baptiste Joseph Delambre había vuelto a medir y ampliado el arco francés desde Dunkerque hasta el mar Mediterráneo (el arco meridiano de Delambre y Méchain ). Estaba dividido en cinco partes por cuatro determinaciones intermedias de latitud. Combinando las mediciones con las del arco de Perú, se determinaron los parámetros de forma del elipsoide y se calculó la distancia entre el Ecuador y el polo a lo largo del Meridiano de París como5.130.762 toises  según lo especificado por la barra de toises estándar de París. Definiendo esta distancia como exactamente10.000.000  m llevaron a la construcción de una nueva barra de metros estándar como0,513 0762  toesas. ^{[6] : 22}

Siglo 19

En el siglo XIX, muchos astrónomos y geodesistas se dedicaron a estudios detallados de la curvatura de la Tierra a lo largo de diferentes arcos meridianos. Los análisis dieron como resultado una gran cantidad de elipsoides modelo, como Plessis 1817, Airy 1830, Bessel 1841 , Everest 1830 y Clarke 1866 . ^[7] Se proporciona una lista completa de elipsoides en Elipsoide terrestre .

La milla náutica

Históricamente, una milla náutica se definía como la longitud de un minuto de arco a lo largo de un meridiano de una Tierra esférica. Un modelo elipsoide conduce a una variación de la milla náutica con la latitud. Esto se resolvió definiendo la milla náutica en exactamente 1.852 metros. Sin embargo, a todos los efectos prácticos, las distancias se miden a partir de la escala de latitud de las cartas. Como dice la Royal Yachting Association en su manual para navegantes diurnos : "1 (minuto) de latitud = 1 milla marina", seguido de "Para la mayoría de los fines prácticos, la distancia se mide a partir de la escala de latitud, suponiendo que un minuto de latitud equivale a un minuto náutico". milla". ^[8]

Cálculo

En una esfera, la longitud del arco del meridiano es simplemente la longitud del arco circular . En un elipsoide de revolución, para arcos meridianos cortos, su longitud se puede aproximar utilizando el radio de curvatura meridional de la Tierra y la formulación del arco circular. Para arcos más largos, la longitud se obtiene de la resta de dos distancias de meridianos , la distancia desde el ecuador hasta un punto en una latitud φ . Este es un problema importante en la teoría de las proyecciones cartográficas, particularmente la proyección transversal de Mercator .

Los principales parámetros elipsoidales son a , b , f , pero en el trabajo teórico es útil definir parámetros adicionales, particularmente la excentricidad , e , y el tercer aplanamiento n . Sólo dos de estos parámetros son independientes y existen muchas relaciones entre ellos:

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {a-b}{a}}\,,\qquad e^{2}=f(2-f)\,,\qquad n={\frac {a-b}{a+b}}={\frac {f}{2-f}}\,,\\b&=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,,\qquad e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.\end{aligned}}}$

Definición

Se puede demostrar que el radio de curvatura del meridiano es igual a: ^{[9] [10]}

${\displaystyle M(\varphi )={\frac {a(1-e^{2})}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{\frac {3}{2}}}},}$

La longitud del arco de un elemento infinitesimal del meridiano es dm = M ( φ ) dφ (con φ en radianes). Por lo tanto, la distancia del meridiano desde el ecuador hasta la latitud φ es

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\int _{0}^{\varphi }M(\varphi )\,d\varphi \\&=a(1-e^{2})\int _{0}^{\varphi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\varphi \,.\end{aligned}}}$

La fórmula de la distancia es más simple cuando se escribe en términos de latitud paramétrica ,

${\displaystyle m(\varphi )=b\int _{0}^{\beta }{\sqrt {1+e'^{2}\sin ^{2}\beta }}\,d\beta \,,}$

donde tan β = (1 − f )tan φ y e ′ ² =mi ²/1 - mi ².

Aunque la latitud normalmente se limita al rango [-π/2,π/2] , todas las fórmulas dadas aquí se aplican para medir la distancia alrededor de la elipse del meridiano completo (incluido el antimeridiano). Por lo tanto, los rangos de φ , β y la latitud rectificadora μ no están restringidos.

Relación con integrales elípticas

La integral anterior está relacionada con un caso especial de integral elíptica incompleta de tercer tipo . En la notación del manual del NIST en línea ^[11] (Sección 19.2(ii)),

${\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\,\Pi (\varphi ,e^{2},e)\,.}$

También puede escribirse en términos de integrales elípticas incompletas de segundo tipo (consulte la Sección 19.6(iv) del manual del NIST),

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=a\left(E(\varphi ,e)-{\frac {e^{2}\sin \varphi \cos \varphi }{\sqrt {1-e^{2}\sin {}^{\!2}\varphi }}}\right)\\&=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right)\\&=bE(\beta ,ie')\,.\end{aligned}}}$

El cálculo (con precisión arbitraria) de las integrales elípticas y las aproximaciones también se analizan en el manual del NIST. Estas funciones también se implementan en programas informáticos de álgebra como Mathematica ^[12] y Maxima. ^[13]

Expansiones de serie

La integral anterior se puede expresar como una serie truncada infinita expandiendo el integrando en una serie de Taylor, realizando las integrales resultantes término por término y expresando el resultado como una serie trigonométrica. En 1755, Leonhard Euler dedujo una expansión en la tercera excentricidad al cuadrado. ^[14]

Expansiones en la excentricidad ( e )

Delambre en 1799 ^[15] derivó una expansión ampliamente utilizada en e ² ,

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {b^{2}}{a}}\left(D_{0}\varphi +D_{2}\sin 2\varphi +D_{4}\sin 4\varphi +D_{6}\sin 6\varphi +D_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\,,}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{0}&=1+{\tfrac {3}{4}}e^{2}+{\tfrac {45}{64}}e^{4}+{\tfrac {175}{256}}e^{6}+{\tfrac {11025}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\[5mu]D_{2}&=-{\tfrac {3}{8}}e^{2}-{\tfrac {15}{32}}e^{4}-{\tfrac {525}{1024}}e^{6}-{\tfrac {2205}{4096}}e^{8}-\cdots ,\\[5mu]D_{4}&={\tfrac {15}{256}}e^{4}+{\tfrac {105}{1024}}e^{6}+{\tfrac {2205}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\[5mu]D_{6}&=-{\tfrac {35}{3072}}e^{6}-{\tfrac {105}{4096}}e^{8}-\cdots ,\\[5mu]D_{8}&={\tfrac {315}{131072}}e^{8}+\cdots .\end{aligned}}}$

Richard Rapp ofrece una derivación detallada de este resultado. ^[dieciséis]

Expansiones en el tercer aplanamiento ( n )

Se pueden obtener series con una convergencia considerablemente más rápida expandiendo en términos del tercer aplanamiento n en lugar de la excentricidad. Están relacionados por

${\displaystyle e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.}$

En 1837, Friedrich Bessel obtuvo una de esas series, ^{[17] que} Helmert puso en una forma más simple , ^{[18] [19]}

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(H_{0}\varphi +H_{2}\sin 2\varphi +H_{4}\sin 4\varphi +H_{6}\sin 6\varphi +H_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\,,}$

con

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\\H_{2}&=-{\tfrac {3}{2}}n+{\tfrac {3}{16}}n^{3}+\cdots ,&H_{6}&=-{\tfrac {35}{48}}n^{3}+\cdots ,\\H_{4}&={\tfrac {15}{16}}n^{2}-{\tfrac {15}{64}}n^{4}-\cdots ,\qquad &H_{8}&={\tfrac {315}{512}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

Porque n cambia de signo cuando se intercambian a y b , y porque el factor inicial1/2( a + b ) es constante bajo este intercambio, la mitad de los términos en las expansiones de H _{2 k} desaparecen.

La serie se puede expresar con a o b como factor inicial escribiendo, por ejemplo,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {a}{1+n}}=a(1-n+n^{2}-n^{3}+n^{4}-\cdots )\,,}$

y expandir el resultado como una serie en n . Aunque esto da como resultado series que convergen más lentamente, dichas series se utilizan en la especificación para la proyección transversal de Mercator de la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial ^[20] y el Ordnance Survey de Gran Bretaña . ^[21]

Series en términos de latitud paramétrica.

En 1825, Bessel ^[22] dedujo una expansión de la distancia del meridiano en términos de la latitud paramétrica β en relación con su trabajo sobre geodésicas .

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\sin 6\beta +B_{8}\sin 8\beta +\cdots \right),}$

con

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots =H_{0}\,,\\B_{2}&=-{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{16}}n^{3}+\cdots ,&B_{6}&=-{\tfrac {1}{48}}n^{3}+\cdots ,\\B_{4}&=-{\tfrac {1}{16}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B_{8}&=-{\tfrac {5}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

Debido a que esta serie proporciona una expansión para la integral elíptica de segundo tipo, se puede usar para escribir la longitud del arco en términos de la latitud geodésica como

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}{\Biggl (}&B_{0}\varphi -B_{2}\sin 2\varphi +B_{4}\sin 4\varphi -B_{6}\sin 6\varphi +B_{8}\sin 8\varphi -\cdots \\[-3mu]&\quad -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}{\Biggr )}.\end{aligned}}}$

Serie generalizada

La serie anterior, de octavo orden en excentricidad o de cuarto orden en tercer aplanamiento, proporciona una precisión milimétrica. Con la ayuda de sistemas de álgebra simbólica, se pueden extender fácilmente al sexto orden en el tercer aplanamiento, lo que proporciona precisión doble total para aplicaciones terrestres.

Delambre ^[15] y Bessel ^[22] escribieron sus series de una forma que les permite generalizarse en un orden arbitrario. Los coeficientes de la serie de Bessel se pueden expresar de forma particularmente sencilla

${\displaystyle B_{2k}={\begin{cases}c_{0}\,,&{\text{if }}k=0\,,\\[5px]{\dfrac {c_{k}}{k}}\,,&{\text{if }}k>0\,,\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle c_{k}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(2j-3)!!\,(2j+2k-3)!!}{(2j)!!\,(2j+2k)!!}}n^{k+2j}}$

yk !!​ es el factorial doble , extendido a valores negativos mediante la relación de recursividad: (−1)!! = 1 y (−3)!! = −1 .

Los coeficientes de la serie de Helmert pueden expresarse de manera similar en general mediante

${\displaystyle H_{2k}=(-1)^{k}(1-2k)(1+2k)B_{2k}\,.}$

Este resultado fue conjeturado por Friedrich Helmert ^[23] y demostrado por Kazushige Kawase. ^[24]

El factor extra (1 − 2 k )(1 + 2 k ) se origina en la expansión adicional que aparece en la fórmula anterior y da como resultado una convergencia más pobre de la serie en términos de φ en comparación con la de β . ${\displaystyle {\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}}$

Expresiones numéricas

La serie trigonométrica dada anteriormente se puede evaluar convenientemente utilizando la suma de Clenshaw . Este método evita el cálculo de la mayoría de las funciones trigonométricas y permite sumar las series de forma rápida y precisa. La técnica también se puede utilizar para evaluar la diferencia m ( φ ₁ ) - m ( φ ₂ ) manteniendo una alta precisión relativa.

Sustituyendo los valores del semieje mayor y la excentricidad del elipsoide WGS84 se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\left(111\,132.952\,55\,\varphi ^{(\circ )}-16\,038.509\,\sin 2\varphi +16.833\,\sin 4\varphi -0.022\,\sin 6\varphi +0.000\,03\,\sin 8\varphi \right){\mbox{ metres}}\\&=\left(111\,132.952\,55\,\beta ^{(\circ )}-5\,346.170\,\sin 2\beta -1.122\,\sin 4\beta -0.001\,\sin 6\beta -0.5\times 10^{-6}\,\sin 8\beta \right){\mbox{ metres,}}\end{aligned}}}$

donde φ ⁽ ° ⁾ =φ/1°es φ expresado en grados (y de manera similar para β ⁽ ° ⁾ ).

En el elipsoide, la distancia exacta entre los paralelos en φ ₁ y φ ₂ es m ( φ ₁ ) − m ( φ ₂ ) . Para WGS84, una expresión aproximada para la distancia Δ m entre los dos paralelos a ±0,5° del círculo en la latitud φ viene dada por

${\displaystyle \Delta m=(111\,133-560\cos 2\varphi ){\mbox{ metres.}}}$

Cuarto de meridiano

Un cuarto de meridiano o cuadrante terrestre.

La distancia del ecuador al polo, el cuarto meridiano (análogo al cuarto de círculo ), también conocido como cuadrante de la Tierra , es

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.}$

Formó parte de la definición histórica del metro y de la milla náutica , y se utilizó en la definición del hebdomómetro .

El cuarto de meridiano se puede expresar en términos de la integral elíptica completa de segundo tipo ,

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=aE(e)=bE(ie').}$

¿Dónde están la primera y la segunda excentricidad ? ${\displaystyle e,e'}$

El cuarto de meridiano también viene dado por la siguiente serie generalizada:

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }={\frac {\pi (a+b)}{4}}c_{0}={\frac {\pi (a+b)}{4}}\sum _{j=0}^{\infty }\left({\frac {(2j-3)!!}{(2j)!!}}\right)^{2}n^{2j}\,,}$

(Para conocer la fórmula de c ₀ , consulte la sección #Serie generalizada más arriba). Este resultado fue obtenido por primera vez por James Ivory . ^[25]

La expresión numérica para el cuarto de meridiano en el elipsoide WGS84 es

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\mathrm {p} }&=0.9983242984312529\ {\frac {\pi }{2}}\ a\\&=10\,001\,965.729{\mbox{ m.}}\end{aligned}}}$

La circunferencia polar de la Tierra es simplemente cuatro veces un cuarto de meridiano:

${\displaystyle C_{p}=4m_{p}}$

El perímetro de una elipse meridiana también se puede reescribir en forma de perímetro de un círculo rectificador, C _p = 2π M _r . Por tanto, el radio rectificador de la Tierra es:

${\displaystyle M_{r}=0.5(a+b)/c_{0}}$

Se puede evaluar como6 367 449 , 146 m .

El problema del meridiano inverso del elipsoide

En algunos problemas, debemos poder resolver el problema inverso: dado m , determine φ . Esto puede resolverse mediante el método de Newton , iterando

${\displaystyle \varphi _{i+1}=\varphi _{i}-{\frac {m(\varphi _{i})-m}{M(\varphi _{i})}}\,,}$

hasta la convergencia. Una estimación inicial adecuada viene dada por φ ₀ = μ donde

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{2}}{\frac {m}{m_{\mathrm {p} }}}}$

es la latitud rectificadora . Tenga en cuenta que no es necesario diferenciar la serie para m ( φ ) , ya que en su lugar se puede utilizar la fórmula para el radio de curvatura del meridiano M ( φ ) .

Alternativamente, la serie de Helmert para la distancia del meridiano se puede revertir para dar ^{[26] [27]}

${\displaystyle \varphi =\mu +H'_{2}\sin 2\mu +H'_{4}\sin 4\mu +H'_{6}\sin 6\mu +H'_{8}\sin 8\mu +\cdots }$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}H'_{2}&={\tfrac {3}{2}}n-{\tfrac {27}{32}}n^{3}+\cdots ,&H'_{6}&={\tfrac {151}{96}}n^{3}+\cdots ,\\H'_{4}&={\tfrac {21}{16}}n^{2}-{\tfrac {55}{32}}n^{4}+\cdots ,\qquad &H'_{8}&={\tfrac {1097}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

De manera similar, la serie de Bessel para m en términos de β puede revertirse para dar ^[28]

${\displaystyle \beta =\mu +B'_{2}\sin 2\mu +B'_{4}\sin 4\mu +B'_{6}\sin 6\mu +B'_{8}\sin 8\mu +\cdots ,}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}B'_{2}&={\tfrac {1}{2}}n-{\tfrac {9}{32}}n^{3}+\cdots ,&B'_{6}&={\tfrac {29}{96}}n^{3}-\cdots ,\\B'_{4}&={\tfrac {5}{16}}n^{2}-{\tfrac {37}{96}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B'_{8}&={\tfrac {539}{1536}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

Adrien-Marie Legendre demostró que la distancia a lo largo de una geodésica sobre un esferoide es la misma que la distancia a lo largo del perímetro de una elipse. ^[29] Por esta razón, la expresión para m en términos de β y su inversa dada anteriormente juega un papel clave en la solución del problema geodésico con m reemplazado por s , la distancia a lo largo de la geodésica, y β reemplazado por σ , la longitud del arco en la esfera auxiliar. ^{[22] [30]} Las series requeridas extendidas al sexto orden las proporciona Charles Karney, ^[31] Ecs. (17) y (21), con ε desempeñando el papel de n y τ desempeñando el papel de μ .

Ver también

• Historia de la geodesia
• Geodesia
• Elipsoide de referencia
• Meridiano de París (arco del meridiano de Europa Occidental y África)
• Misión geodésica francesa a Laponia
• Misión geodésica francesa
• Arco geodésico de Struve
• Rectificando latitud
• Geodésicas sobre un elipsoide

Referencias

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enlaces externos

• Cálculo en línea de arcos de meridianos en diferentes elipsoides de referencia geodésica