problema inverso

Proceso de cálculo de los factores causales que produjeron un conjunto de observaciones.

Un problema inverso en ciencia es el proceso de calcular a partir de un conjunto de observaciones los factores causales que las produjeron: por ejemplo, calcular una imagen en tomografía computarizada de rayos X , reconstrucción de fuentes en acústica, o calcular la densidad de la Tierra a partir de mediciones de su campo de gravedad . Se llama problema inverso porque comienza con los efectos y luego calcula las causas. Es lo inverso de un problema directo, que comienza con las causas y luego calcula los efectos.

Los problemas inversos son algunos de los problemas matemáticos más importantes en ciencias y matemáticas porque nos informan sobre parámetros que no podemos observar directamente. Tienen una amplia aplicación en identificación de sistemas , óptica , radar , acústica , teoría de la comunicación , procesamiento de señales , imágenes médicas , visión por computadora , ^{[1] [2]} geofísica , oceanografía , astronomía , teledetección , procesamiento del lenguaje natural , aprendizaje automático , ^{[3 ]} ensayos no destructivos , análisis de estabilidad de taludes ^[4] y muchos otros campos. ^{[ cita necesaria ]}

Historia

Empezar por los efectos para descubrir las causas preocupa a los físicos desde hace siglos. Un ejemplo histórico son los cálculos de Adams y Le Verrier que llevaron al descubrimiento de Neptuno a partir de la trayectoria perturbada de Urano . Sin embargo, no se inició un estudio formal de los problemas inversos hasta el siglo XX.

Uno de los primeros ejemplos de solución a un problema inverso fue descubierto por Hermann Weyl y publicado en 1911, describiendo el comportamiento asintótico de los valores propios del operador de Laplace-Beltrami . ^[5] Hoy en día, conocida como ley de Weyl , quizás se entienda más fácilmente como una respuesta a la pregunta de si es posible escuchar la forma de un tambor . Weyl conjeturó que las frecuencias propias de un tambor estarían relacionadas con el área y el perímetro del tambor mediante una ecuación particular, un resultado mejorado por matemáticos posteriores.

El campo de los problemas inversos fue abordado más tarde por el físico armenio soviético Viktor Ambartsumian . ^{[6] [7]}

Cuando aún era estudiante, Ambartsumian estudió a fondo la teoría de la estructura atómica, la formación de niveles de energía y la ecuación de Schrödinger y sus propiedades, y cuando dominó la teoría de los valores propios de ecuaciones diferenciales , señaló la aparente analogía entre niveles de energía discretos. y los valores propios de ecuaciones diferenciales. Luego preguntó: dada una familia de valores propios, ¿es posible encontrar la forma de las ecuaciones cuyos valores propios son? Esencialmente, Ambartsumian estaba examinando el problema inverso de Sturm-Liouville , que trataba de determinar las ecuaciones de una cuerda vibrante. Este artículo se publicó en 1929 en la revista alemana de física Zeitschrift für Physik y permaneció en el olvido durante bastante tiempo. Al describir esta situación después de muchas décadas, Ambartsumian dijo: "Si un astrónomo publica un artículo con contenido matemático en una revista de física, lo más probable es que le suceda el olvido".

Sin embargo, hacia el final de la Segunda Guerra Mundial, este artículo, escrito por Ambartsumian, de 20 años, fue encontrado por matemáticos suecos y constituyó el punto de partida de toda una área de investigación sobre problemas inversos, convirtiéndose en la base de toda una disciplina.

Luego se han dedicado importantes esfuerzos a una "solución directa" del problema de la dispersión inversa, especialmente por parte de Gelfand y Levitan en la Unión Soviética. ^[8] Propusieron un método analítico constructivo para determinar la solución. Cuando las computadoras estuvieron disponibles, algunos autores investigaron la posibilidad de aplicar su enfoque a problemas similares, como el problema inverso en la ecuación de onda 1D. Pero rápidamente resultó que la inversión es un proceso inestable: el ruido y los errores pueden amplificarse enormemente haciendo que una solución directa sea difícilmente practicable. Luego, alrededor de los años setenta, aparecieron los enfoques probabilísticos y de mínimos cuadrados que resultaron muy útiles para la determinación de parámetros involucrados en diversos sistemas físicos. Este enfoque tuvo mucho éxito. Hoy en día, los problemas inversos también se investigan en campos ajenos a la física, como la química, la economía y la informática. Con el tiempo, a medida que los modelos numéricos prevalezcan en muchas partes de la sociedad, podemos esperar un problema inverso asociado con cada uno de estos modelos numéricos.

Comprensión conceptual

Desde Newton, los científicos han intentado extensamente modelar el mundo. En particular, cuando se dispone de un modelo matemático (por ejemplo, la ley gravitacional de Newton o la ecuación de Coulomb para la electrostática), podemos prever, dados algunos parámetros que describen un sistema físico (como una distribución de masa o una distribución de cargas eléctricas), el comportamiento del sistema. Este enfoque se conoce como modelado matemático y los parámetros físicos mencionados anteriormente se denominan parámetros del modelo o simplemente modelo . Para ser precisos, introducimos la noción de estado del sistema físico : es la solución de la ecuación del modelo matemático. En la teoría del control óptimo , estas ecuaciones se denominan ecuaciones de estado . En muchas situaciones no estamos realmente interesados ​​en conocer el estado físico sino sólo sus efectos sobre algunos objetos (por ejemplo, los efectos que tiene el campo gravitacional sobre un planeta específico). Por tanto, tenemos que introducir otro operador, llamado operador de observación , que convierte el estado del sistema físico (aquí el campo gravitacional predicho) en lo que queremos observar (aquí los movimientos del planeta considerado). Ahora podemos introducir el llamado problema directo , que consta de dos pasos:

• determinación del estado del sistema a partir de los parámetros físicos que lo describen
• Aplicación del operador de observación al estado estimado del sistema para predecir el comportamiento de lo que queremos observar.

Esto lleva a introducir otro operador ( F significa "adelante") que asigna los parámetros del modelo a los datos que el modelo predice y que son el resultado de este procedimiento de dos pasos. El operador se llama operador directo o mapa directo . En este enfoque básicamente intentamos predecir los efectos conociendo las causas. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F}$

La siguiente tabla muestra, considerando la Tierra como sistema físico y para diferentes fenómenos físicos, los parámetros del modelo que describen el sistema, la cantidad física que describe el estado del sistema físico y las observaciones comúnmente realizadas sobre el estado del sistema.

En el enfoque del problema inverso, en términos generales, intentamos conocer las causas dados los efectos.

Enunciado general del problema inverso.

El problema inverso es el "inverso" del problema directo: en lugar de determinar los datos producidos por parámetros particulares del modelo, queremos determinar los parámetros del modelo que producen los datos que son la observación que hemos registrado (el subíndice obs significa observado) . Nuestro objetivo, en otras palabras, es determinar los parámetros del modelo tales que (al menos aproximadamente) ${\displaystyle d_{\text{obs}}}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle d_{\text{obs}}=F(p)}$$

${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

• El espacio de modelos denotado por : el espacio vectorial abarcado por los parámetros del modelo; tiene dimensiones; ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$
• El espacio de datos denotamos por : si organizamos las muestras medidas en un vector con componentes (si nuestras medidas constan de funciones, es un espacio vectorial con infinitas dimensiones); ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D=\mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle F(p)}$: la respuesta del modelo ; consta de los datos predichos por el modelo ; ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle F(P)}$: la imagen de por el mapa directo, es un subconjunto de (pero no un subespacio a menos que sea lineal) formado por respuestas de todos los modelos; ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle d_{\text{obs}}-F(p)}$: los datos inadaptados (o residuales) asociados con el modelo : se pueden organizar como un vector, un elemento de . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$

El concepto de residuos es muy importante: a la hora de encontrar un modelo que coincida con los datos, su análisis revela si el modelo considerado puede considerarse realista o no . Las discrepancias sistemáticas y poco realistas entre los datos y las respuestas del modelo también revelan que el mapa de avance es inadecuado y puede brindar información sobre un mapa de avance mejorado.

Cuando el operador es lineal, el problema inverso es lineal. De lo contrario, lo más frecuente es que el problema inverso sea no lineal. Además, los modelos no siempre pueden describirse mediante un número finito de parámetros. Este es el caso cuando buscamos parámetros distribuidos (una distribución de velocidades de onda, por ejemplo): en tales casos, el objetivo del problema inverso es recuperar una o varias funciones. Estos problemas inversos son problemas inversos de dimensión infinita. ${\displaystyle F}$

Problemas lineales inversos

En el caso de un mapa directo lineal y cuando tratamos con un número finito de parámetros del modelo, el mapa directo se puede escribir como un sistema lineal.

$${\displaystyle d=Fp}$$

matriz ${\displaystyle F}$

Un ejemplo elemental: el campo gravitacional de la Tierra

Sólo unos pocos sistemas físicos son realmente lineales con respecto a los parámetros del modelo. Uno de esos sistemas de la geofísica es el del campo gravitacional de la Tierra . El campo gravitacional de la Tierra está determinado por la distribución de densidad de la Tierra en el subsuelo. Debido a que la litología de la Tierra cambia de manera bastante significativa, podemos observar diferencias mínimas en el campo gravitacional de la Tierra en la superficie de la Tierra. Según nuestra comprensión de la gravedad (Ley de gravitación de Newton), sabemos que la expresión matemática de la gravedad es:

$${\displaystyle d={\frac {Gp}{r^{2}}};}$$

constante gravitacional universal ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$

Al discretizar la expresión anterior, podemos relacionar las observaciones de datos discretos en la superficie de la Tierra con los parámetros del modelo discreto (densidad) en el subsuelo sobre el que deseamos saber más. Por ejemplo, consideremos el caso en el que realizamos mediciones en cinco lugares de la superficie de la Tierra. En este caso, nuestro vector de datos es un vector de columna de dimensión (5×1): su -ésimo componente está asociado con la -ésima ubicación de observación. También sabemos que solo tenemos cinco masas desconocidas en el subsuelo (poco realista pero usada para demostrar el concepto) con ubicación conocida: lo denotamos por la distancia entre la -ésima ubicación de observación y la -ésima masa. Por lo tanto, podemos construir el sistema lineal que relaciona las cinco masas desconocidas con los cinco puntos de datos de la siguiente manera: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle r_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle d=Fp,}$$

$${\displaystyle d={\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\\d_{4}\\d_{5}\end{bmatrix}},\quad p={\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\p_{4}\\p_{5}\end{bmatrix}},}$$

$${\displaystyle F={\begin{bmatrix}{\frac {G}{r_{11}^{2}}}&{\frac {G}{r_{12}^{2}}}&{\frac {G}{r_{13}^{2}}}&{\frac {G}{r_{14}^{2}}}&{\frac {G}{r_{15}^{2}}}\\{\frac {G}{r_{21}^{2}}}&{\frac {G}{r_{22}^{2}}}&{\frac {G}{r_{23}^{2}}}&{\frac {G}{r_{24}^{2}}}&{\frac {G}{r_{25}^{2}}}\\{\frac {G}{r_{31}^{2}}}&{\frac {G}{r_{32}^{2}}}&{\frac {G}{r_{33}^{2}}}&{\frac {G}{r_{34}^{2}}}&{\frac {G}{r_{35}^{2}}}\\{\frac {G}{r_{41}^{2}}}&{\frac {G}{r_{42}^{2}}}&{\frac {G}{r_{43}^{2}}}&{\frac {G}{r_{44}^{2}}}&{\frac {G}{r_{45}^{2}}}\\{\frac {G}{r_{51}^{2}}}&{\frac {G}{r_{52}^{2}}}&{\frac {G}{r_{53}^{2}}}&{\frac {G}{r_{54}^{2}}}&{\frac {G}{r_{55}^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

Para resolver los parámetros del modelo que se ajustan a nuestros datos, es posible que podamos invertir la matriz para convertir directamente las mediciones en los parámetros de nuestro modelo. Por ejemplo: ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle p=F^{-1}d_{\text{obs}}}$$

${\displaystyle F}$

Sin embargo, incluso una matriz cuadrada no puede tener inversa: la matriz puede tener un rango deficiente (es decir, tener cero valores propios) y la solución del sistema no es única. Entonces la solución del problema inverso será indeterminada. Esta es una primera dificultad. Los sistemas sobredeterminados (más ecuaciones que incógnitas) tienen otros problemas. Además, el ruido puede corromper nuestras observaciones, posiblemente fuera del espacio de posibles respuestas a los parámetros del modelo, de modo que la solución del sistema puede no existir. Ésta es otra dificultad. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p=F^{-1}d_{\text{obs}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle F(P)}$ ${\displaystyle p=F^{-1}d_{\text{obs}}}$

Herramientas para superar la primera dificultad

La primera dificultad refleja un problema crucial: nuestras observaciones no contienen suficiente información y se necesitan datos adicionales. Los datos adicionales pueden provenir de información física previa sobre los valores de los parámetros, sobre su distribución espacial o, más generalmente, sobre su dependencia mutua. También puede surgir de otros experimentos: por ejemplo, podemos pensar en integrar los datos registrados por gravímetros y sismógrafos para una mejor estimación de las densidades. La integración de esta información adicional es básicamente un problema de estadística . Esta disciplina es la que puede responder a la pregunta: ¿Cómo mezclar cantidades de diferente naturaleza? Seremos más precisos en la sección "Enfoque bayesiano" a continuación.

En cuanto a los parámetros distribuidos, la información previa sobre su distribución espacial a menudo consiste en información sobre algunas derivadas de estos parámetros distribuidos. Además, es una práctica común, aunque algo artificial, buscar el modelo "más simple" que coincida razonablemente con los datos. Esto generalmente se logra penalizando la norma del gradiente (o la variación total ) de los parámetros (este enfoque también se conoce como maximización de la entropía). También se puede simplificar el modelo mediante una parametrización que introduzca grados de libertad sólo cuando sea necesario. ${\displaystyle L^{1}}$

También se puede integrar información adicional a través de restricciones de desigualdad en los parámetros del modelo o algunas funciones de ellos. Estas restricciones son importantes para evitar valores poco realistas para los parámetros (valores negativos, por ejemplo). En este caso, el espacio abarcado por los parámetros del modelo ya no será un espacio vectorial sino un subconjunto de modelos admisibles indicados por en la secuela. ${\displaystyle P_{\text{adm}}}$

Herramientas para superar la segunda dificultad

Como se mencionó anteriormente, el ruido puede ser tal que nuestras mediciones no sean la imagen de ningún modelo, de modo que no podamos buscar un modelo que produzca los datos sino buscar el mejor (u óptimo) : es decir, el que mejor coincide con los datos. Esto nos lleva a minimizar una función objetivo , es decir, una funcional que cuantifica qué tan grandes son los residuos o qué tan lejos están los datos predichos de los datos observados. Por supuesto, cuando tenemos datos perfectos (es decir, sin ruido), el modelo recuperado debería ajustarse perfectamente a los datos observados. Una función objetivo estándar, , tiene la forma: donde es la norma euclidiana (será la norma cuando las mediciones sean funciones en lugar de muestras) de los residuos. Este enfoque equivale a utilizar mínimos cuadrados ordinarios , un enfoque ampliamente utilizado en estadística. Sin embargo, se sabe que la norma euclidiana es muy sensible a los valores atípicos: para evitar esta dificultad podemos pensar en utilizar otras distancias, por ejemplo la norma, en reemplazo de la norma. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (p)=\|Fp-d_{\text{obs}}\|^{2}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Enfoque bayesiano

Muy similar al enfoque de mínimos cuadrados es el enfoque probabilístico: si conocemos las estadísticas del ruido que contamina los datos, podemos pensar en buscar el modelo m más probable, que es el modelo que coincide con el criterio de máxima verosimilitud . Si el ruido es gaussiano , el criterio de máxima verosimilitud aparece como un criterio de mínimos cuadrados, siendo reemplazado el producto escalar euclidiano en el espacio de datos por un producto escalar que involucra la covarianza del ruido. Además, si se dispusiera de información previa sobre los parámetros del modelo, podríamos pensar en utilizar la inferencia bayesiana para formular la solución del problema inverso. Este enfoque se describe en detalle en el libro de Tarantola. ^[9]

Solución numérica de nuestro ejemplo elemental.

Aquí utilizamos la norma euclidiana para cuantificar los desajustes de los datos. Como trabajamos con un problema lineal inverso, la función objetivo es cuadrática. Para su minimización, es clásico calcular su gradiente usando el mismo razonamiento (como lo haríamos para minimizar una función de una sola variable). En el modelo óptimo , este gradiente desaparece y puede escribirse como: ${\displaystyle p_{\text{opt}}}$

$${\displaystyle \nabla _{p}\varphi =2(F^{\mathrm {T} }Fp_{\text{opt}}-F^{\mathrm {T} }d_{\text{obs}})=0}$$

F ^Ttranspuesta de matrizF

$${\displaystyle F^{\mathrm {T} }Fp_{\text{opt}}=F^{\mathrm {T} }d_{\text{obs}}}$$

Esta expresión se conoce como ecuación normal y nos da una posible solución al problema inverso. En nuestro ejemplo, la matriz generalmente tiene rango completo, por lo que la ecuación anterior tiene sentido y determina de forma única los parámetros del modelo: no necesitamos integrar información adicional para terminar con una solución única. ${\displaystyle F^{\mathrm {T} }F}$

Aspectos matemáticos y computacionales.

Los problemas inversos suelen estar mal planteados, a diferencia de los problemas bien planteados que suelen encontrarse en el modelado matemático. De las tres condiciones para un problema bien planteado sugeridas por Jacques Hadamard (existencia, unicidad y estabilidad de la solución o soluciones), la condición de estabilidad es la que con mayor frecuencia se viola. En el sentido del análisis funcional , el problema inverso está representado por un mapeo entre espacios métricos . Si bien los problemas inversos a menudo se formulan en espacios de dimensiones infinitas, las limitaciones a un número finito de mediciones y la consideración práctica de recuperar solo un número finito de parámetros desconocidos pueden llevar a que los problemas se reformulen en forma discreta. En este caso, el problema inverso normalmente estará mal condicionado . En estos casos, se puede utilizar la regularización para introducir suposiciones leves en la solución y evitar el sobreajuste . Muchos casos de problemas inversos regularizados pueden interpretarse como casos especiales de inferencia bayesiana . ^[10]

Solución numérica del problema de optimización.

Algunos problemas inversos tienen una solución muy simple, por ejemplo, cuando se tiene un conjunto de funciones unsolventes , es decir, un conjunto de funciones tales que al evaluarlas en distintos puntos se obtiene un conjunto de vectores linealmente independientes . Esto significa que dada una combinación lineal de estas funciones, los coeficientes se pueden calcular ordenando los vectores como columnas de una matriz y luego invirtiendo esta matriz. El ejemplo más simple de funciones unisolventes son los polinomios construidos, utilizando el teorema de unisolvencia , para que sean unisolventes. En concreto, esto se hace invirtiendo la matriz de Vandermonde . Pero ésta es una situación muy específica. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

En general, la solución de un problema inverso requiere algoritmos de optimización sofisticados. Cuando el modelo se describe mediante una gran cantidad de parámetros (el número de incógnitas involucradas en algunas aplicaciones de tomografía de difracción puede llegar a mil millones), resolver el sistema lineal asociado con las ecuaciones normales puede resultar engorroso. El método numérico que se utilizará para resolver el problema de optimización depende en particular del coste requerido para calcular la solución del problema directo. Una vez elegido el algoritmo apropiado para resolver el problema directo (una multiplicación directa de matriz por vector puede no ser adecuada cuando la matriz es grande), el algoritmo apropiado para llevar a cabo la minimización se puede encontrar en libros de texto que tratan sobre métodos numéricos para la solución de sistemas lineales. y para la minimización de funciones cuadráticas (ver, por ejemplo, Ciarlet ^[11] o Nocedal ^[12] ). ${\displaystyle Fp}$ ${\displaystyle F}$

Además, es posible que el usuario desee agregar restricciones físicas a los modelos: en este caso, debe estar familiarizado con los métodos de optimización con restricciones , un tema en sí mismo. En todos los casos, calcular el gradiente de la función objetivo suele ser un elemento clave para la solución del problema de optimización. Como se mencionó anteriormente, la información sobre la distribución espacial de un parámetro distribuido se puede introducir mediante la parametrización. También se puede pensar en adaptar esta parametrización durante la optimización. ^[13]

Si la función objetivo se basa en una norma distinta a la norma euclidiana, debemos abandonar el área de optimización cuadrática. Como resultado, el problema de optimización se vuelve más difícil. En particular, cuando se utiliza la norma para cuantificar el desajuste de los datos, la función objetivo ya no es diferenciable: su gradiente ya no tiene sentido. Entran en juego métodos dedicados (ver, por ejemplo, Lemaréchal ^{[14] ) de optimización no diferenciable.} ${\displaystyle L^{1}}$

Una vez calculado el modelo óptimo, debemos abordar la pregunta: "¿Podemos confiar en este modelo?" La pregunta se puede formular de la siguiente manera: ¿Qué tan grande es el conjunto de modelos que coinciden con los datos "casi tan bien" como este modelo? En el caso de funciones objetivo cuadráticas, este conjunto está contenido en un hiperelipsoide, un subconjunto de ( es el número de incógnitas), cuyo tamaño depende de lo que queremos decir con "casi también", es decir, del nivel de ruido. La dirección del eje mayor de este elipsoide ( vector propio asociado con el valor propio más pequeño de la matriz ) es la dirección de componentes mal determinados: si seguimos esta dirección, podemos traer una fuerte perturbación al modelo sin cambiar significativamente el valor del objetivo. funcionan y, por lo tanto, terminan con un modelo cuasi óptimo significativamente diferente. Vemos claramente que la respuesta a la pregunta "¿podemos confiar en este modelo" se rige por el nivel de ruido y por los valores propios del hessiano de la función objetivo o equivalentemente, en el caso de que no se haya integrado ninguna regularización, por los valores singulares de matriz . Por supuesto, el uso de regularización (u otros tipos de información previa) reduce el tamaño del conjunto de soluciones casi óptimas y, a su vez, aumenta la confianza que podemos depositar en la solución calculada. ${\displaystyle R^{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F^{T}F}$ ${\displaystyle F}$

Estabilidad, regularización y discretización de modelos en dimensión infinita.

Nos centramos aquí en la recuperación de un parámetro distribuido. Cuando buscamos parámetros distribuidos tenemos que discretizar estas funciones desconocidas. Al hacerlo, reducimos la dimensión del problema a algo finito. Pero ahora la pregunta es: ¿existe algún vínculo entre la solución que calculamos y la del problema inicial? Luego otra pregunta: ¿a qué nos referimos con la solución del problema inicial? Dado que un número finito de datos no permite la determinación de una infinidad de incógnitas, la función de desajuste de datos original debe regularizarse para garantizar la unicidad de la solución. Muchas veces, reducir las incógnitas a un espacio de dimensión finita proporcionará una regularización adecuada: la solución calculada parecerá una versión discreta de la solución que estábamos buscando. Por ejemplo, una discretización ingenua a menudo funcionará para resolver el problema de deconvolución : funcionará siempre y cuando no permitamos que aparezcan frecuencias faltantes en la solución numérica. Pero muchas veces, la regularización debe integrarse explícitamente en la función objetivo.

Para entender lo que puede suceder, debemos tener en cuenta que resolver un problema lineal inverso equivale a resolver una ecuación integral de Fredholm del primer tipo:

$${\displaystyle d(x)=\int _{\Omega }K(x,y)p(y)dy}$$

donde es el núcleo, y son vectores de , y es un dominio en . Esto es válido para una aplicación 2D. Para una aplicación 3D, consideramos . Tenga en cuenta que aquí los parámetros del modelo constan de una función y que la respuesta de un modelo también consta de una función denotada por . Esta ecuación es una extensión a dimensión infinita de la ecuación matricial dada en el caso de problemas discretos. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle x,y\in R^{3}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d(x)}$ ${\displaystyle d=Fp}$

Para que sea suficientemente suave, el operador definido anteriormente es compacto en espacios de Banach razonables , como . La teoría de F. Riesz establece que el conjunto de valores singulares de dicho operador contiene cero (de ahí la existencia de un espacio nulo), es finito o, como máximo, contable y, en este último caso, constituyen una secuencia que tiende a cero. . En el caso de un núcleo simétrico, tenemos una infinidad de valores propios y los vectores propios asociados constituyen una base hilbertiana de . Por lo tanto, cualquier solución de esta ecuación se determina hasta una función aditiva en el espacio nulo y, en el caso de una infinidad de valores singulares, la solución (que involucra el recíproco de valores propios pequeños arbitrarios) es inestable: dos ingredientes que hacen que la solución de esta ecuación integral ¡un típico problema mal planteado! Sin embargo, podemos definir una solución a través de la pseudoinversa del mapa directo (nuevamente hasta una función aditiva arbitraria). Cuando el mapa directo es compacto, la regularización clásica de Tikhonov funcionará si la usamos para integrar información previa que indique que la norma de la solución debe ser lo más pequeña posible: esto hará que el problema inverso esté bien planteado. Sin embargo, como en el caso de la dimensión finita, tenemos que cuestionar la confianza que podemos depositar en la solución calculada. Nuevamente, básicamente, la información reside en los valores propios del operador de Hesse. Si se exploran subespacios que contienen vectores propios asociados con valores propios pequeños para calcular la solución, entonces difícilmente se puede confiar en la solución: algunos de sus componentes estarán mal determinados. El valor propio más pequeño es igual al peso introducido en la regularización de Tikhonov. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Los núcleos irregulares pueden producir un mapa directo que no es compacto e incluso ilimitado si ingenuamente equipamos el espacio de modelos con la norma. En tales casos, el hessiano no es un operador acotado y la noción de valor propio ya no tiene sentido. Se requiere un análisis matemático para convertirlo en un operador acotado y diseñar un problema bien planteado: se puede encontrar una ilustración en ^[15] Nuevamente, tenemos que cuestionar la confianza que podemos poner en la solución calculada y tenemos que generalizar la noción de valor propio para obtener la respuesta. ^[dieciséis] ${\displaystyle L^{2}}$

Por tanto, el análisis del espectro del operador de Hesse es un elemento clave para determinar qué tan confiable es la solución calculada. Sin embargo, un análisis de este tipo suele ser una tarea muy ardua. Esto ha llevado a varios autores a investigar enfoques alternativos en el caso en el que no estamos interesados ​​en todos los componentes de la función desconocida sino solo en las subincógnitas que son las imágenes de la función desconocida mediante un operador lineal. Estos enfoques se conocen como el "método Backus y Gilbert ^[17] ", el enfoque de los centinelas de Lions , ^[18] y el método SOLA: ^[19] estos enfoques resultaron estar fuertemente relacionados entre sí como se explica en Chavent ^{[ 20]} Finalmente, el concepto de resolución limitada , a menudo invocado por los físicos, no es más que una visión específica del hecho de que algunos componentes mal determinados pueden corromper la solución. Pero, en términos generales, estos componentes del modelo mal determinados no están necesariamente asociados con altas frecuencias.

Algunos problemas clásicos de inversa lineal para la recuperación de parámetros distribuidos.

Los problemas que se mencionan a continuación corresponden a diferentes versiones de la integral de Fredholm: cada una de estas está asociada a un núcleo específico . ${\displaystyle K}$

Deconvolución

El objetivo de la deconvolución es reconstruir la imagen o señal original que aparece ruidosa y borrosa en los datos . ^[21] Desde un punto de vista matemático, el núcleo aquí solo depende de la diferencia entre y . ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle d(x)}$ ${\displaystyle K(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Métodos tomográficos

En estos métodos se intenta recuperar un parámetro distribuido, cuya observación consiste en la medición de las integrales de este parámetro realizada a lo largo de una familia de líneas. Lo denotamos por la línea en esta familia asociada con el punto de medición . Por tanto , la observación en puede escribirse como: ${\displaystyle \Gamma _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle d(x)=\int _{\Gamma _{x}}w(x,y)p(y)\,dy}$$

función delta ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\Gamma _{x}}}$ ${\displaystyle w(x,y)}$ ${\displaystyle K(x,y)}$ ${\displaystyle {\Gamma _{x}}}$

Tomografía computarizada

En la tomografía computarizada de rayos X las líneas sobre las que se integra el parámetro son rectas: la reconstrucción tomográfica de la distribución del parámetro se basa en la inversión de la transformada de radón . Aunque desde un punto de vista teórico muchos problemas lineales inversos se comprenden bien, los problemas que involucran la transformada de radón y sus generalizaciones todavía presentan muchos desafíos teóricos con cuestiones de suficiencia de datos aún sin resolver. Dichos problemas incluyen datos incompletos para la transformada de rayos X en tres dimensiones y problemas que implican la generalización de la transformada de rayos X a campos tensoriales. Las soluciones exploradas incluyen la técnica de reconstrucción algebraica , la retroproyección filtrada y, a medida que ha aumentado la potencia informática, métodos de reconstrucción iterativos como la varianza mínima asintótica dispersa iterativa . ^[22]

Tomografía de difracción

La tomografía de difracción es un problema lineal inverso clásico en sismología de exploración: la amplitud registrada en un momento dado para un par fuente-receptor determinado es la suma de las contribuciones que surgen de puntos tales que la suma de las distancias, medidas en tiempos de viaje, desde la fuente y el receptor, respectivamente, es igual al tiempo de grabación correspondiente. En 3D el parámetro no se integra a lo largo de líneas sino sobre superficies. Si la velocidad de propagación es constante, dichos puntos se distribuyen en un elipsoide. El problema inverso consiste en recuperar la distribución de los puntos de difracción a partir de los sismogramas registrados a lo largo del estudio, siendo conocida la distribución de velocidades. Beylkin y Lambaré et al. ^[23] propusieron originalmente una solución directa: estos trabajos fueron los puntos de partida de enfoques conocidos como migración de amplitud preservada (ver Beylkin ^{[24] [25]} y Bleistein ^[26] ). Si se utilizan técnicas de óptica geométrica (es decir, rayos) para resolver la ecuación de onda, estos métodos resultan estar estrechamente relacionados con los llamados métodos de migración de mínimos cuadrados ^[27] derivados del enfoque de mínimos cuadrados (ver Lailly, ^{[ 28]} Tarántola ^[29] ).

Tomografía Doppler (astrofísica)

Si consideramos un objeto estelar en rotación, las líneas espectrales que podemos observar en un perfil espectral se desplazarán debido al efecto Doppler. La tomografía Doppler tiene como objetivo convertir la información contenida en el seguimiento espectral del objeto en una imagen bidimensional de la emisión (en función de la velocidad radial y de la fase en el movimiento de rotación periódico) de la atmósfera estelar. Como explica Tom Marsh ^[30] este problema lineal inverso es parecido a la tomografía: tenemos que recuperar un parámetro distribuido que se ha integrado a lo largo de líneas para producir sus efectos en las grabaciones.

Conducción de calor inversa

Las primeras publicaciones sobre la conducción inversa de calor surgieron de la determinación del flujo de calor en la superficie durante el reingreso a la atmósfera desde sensores de temperatura enterrados. ^{[31] [32]} Otras aplicaciones donde se necesita el flujo de calor en la superficie pero los sensores de superficie no son prácticos incluyen: dentro de motores alternativos, dentro de motores de cohetes; y pruebas de componentes de reactores nucleares. ^[33] Se ha desarrollado una variedad de técnicas numéricas para abordar la mala postura y la sensibilidad al error de medición causado por la amortiguación y el retraso en la señal de temperatura. ^{[34] [35] [36]}

Problemas inversos no lineales

Los problemas inversos no lineales constituyen una familia de problemas inversos inherentemente más difícil. Aquí el mapa directo es un operador no lineal. El modelado de fenómenos físicos a menudo se basa en la solución de una ecuación diferencial parcial (consulte la tabla anterior excepto la ley de gravedad): aunque estas ecuaciones diferenciales parciales suelen ser lineales, los parámetros físicos que aparecen en estas ecuaciones dependen de forma no lineal de la estado del sistema y por tanto de las observaciones que hagamos sobre él. ${\displaystyle F}$

Algunos problemas inversos no lineales clásicos

Problemas de dispersión inversa

Mientras que los problemas inversos lineales se resolvieron completamente desde el punto de vista teórico a finales del siglo XIX ^{[ cita necesaria ]} , solo una clase de problemas inversos no lineales lo fue antes de 1970, la de los problemas espectrales inversos y (una dimensión espacial) de dispersión inversa . , según el trabajo fundamental de la escuela matemática rusa ( Kerin , Gelfand , Levitan, Marchenko ). Chadan y Sabatier han realizado una amplia reseña de los resultados en su libro "Inverse Problems of Quantum Scattering Theory" (dos ediciones en inglés, una en ruso).

En este tipo de problemas, los datos son propiedades del espectro de un operador lineal que describen la dispersión. El espectro está formado por valores propios y funciones propias , formando juntos el "espectro discreto", y generalizaciones, llamadas espectro continuo. El punto físico más notable es que los experimentos de dispersión dan información sólo sobre el espectro continuo, y que conocer su espectro completo es necesario y suficiente para recuperar el operador de dispersión. Por tanto tenemos parámetros invisibles, mucho más interesantes que el espacio nulo que tiene una propiedad similar en problemas lineales inversos. Además, existen movimientos físicos en los que el espectro de dicho operador se conserva como consecuencia de dicho movimiento. Este fenómeno se rige por ecuaciones especiales de evolución diferencial parcial no lineales, por ejemplo, la ecuación de Korteweg-de Vries . Si el espectro del operador se reduce a un solo valor propio, su movimiento correspondiente es el de un solo golpe que se propaga a velocidad constante y sin deformación, una onda solitaria llamada " solitón ".

Una señal perfecta y sus generalizaciones para la ecuación de Korteweg-de Vries u otras ecuaciones diferenciales parciales no lineales integrables son de gran interés, con muchas aplicaciones posibles. Esta área ha sido estudiada como una rama de la física matemática desde la década de 1970. Los problemas inversos no lineales también se estudian actualmente en muchos campos de las ciencias aplicadas (acústica, mecánica, mecánica cuántica, dispersión electromagnética, en particular sondeos de radar, sondeos sísmicos y casi todas las modalidades de obtención de imágenes).

Wu y Sprung dieron un ejemplo final relacionado con la hipótesis de Riemann , la idea es que en la antigua teoría cuántica semiclásica la inversa del potencial dentro del hamiltoniano es proporcional a la semiderivada de los valores propios (energías) de la función de conteo  n ( X ).

Coincidencia de permeabilidad en yacimientos de petróleo y gas.

El objetivo es recuperar el coeficiente de difusión en la ecuación diferencial parcial parabólica que modela flujos de fluidos monofásicos en medios porosos. Este problema ha sido objeto de numerosos estudios desde un trabajo pionero realizado a principios de los años setenta. ^[37] En lo que respecta a los flujos de dos fases, un problema importante es estimar las permeabilidades relativas y las presiones capilares. ^[38]

Problemas inversos en las ecuaciones de onda.

El objetivo es recuperar las velocidades de las ondas (ondas P y S) y las distribuciones de densidad a partir de sismogramas . Estos problemas inversos son de gran interés en sismología y geofísica de exploración . Básicamente podemos considerar dos modelos matemáticos:

• La ecuación de la onda acústica (en la que las ondas S se ignoran cuando las dimensiones del espacio son 2 o 3)
• La ecuación elastodinámica en la que las velocidades de las ondas P y S se puede derivar de los parámetros de Lamé y la densidad.

Estas ecuaciones hiperbólicas básicas se pueden mejorar incorporando atenuación , anisotropía , ...

La solución del problema inverso en la ecuación de onda 1D ha sido objeto de muchos estudios. Es uno de los pocos problemas inversos no lineales para los cuales podemos demostrar la unicidad de la solución. ^[8] El análisis de la estabilidad de la solución fue otro desafío. ^[39] Se desarrollaron aplicaciones prácticas utilizando el método de mínimos cuadrados. ^{[39] [40]} La extensión a problemas 2D o 3D y a las ecuaciones de elastodinámica se intentó desde los años 80, ¡pero resultó ser muy difícil! Este problema, a menudo denominado inversión de forma de onda completa (FWI), aún no está completamente resuelto: entre las principales dificultades se encuentran la existencia de ruido no gaussiano en los sismogramas, problemas de salto de ciclo (también conocido como ambigüedad de fase) y la caótica comportamiento de la función de desajuste de datos. ^[41] Algunos autores han investigado la posibilidad de reformular el problema inverso para hacer que la función objetivo sea menos caótica que la función de desajuste de datos. ^{[42] [43]}

Tomografía en tiempo de viaje

Al darse cuenta de lo difícil que es el problema inverso en la ecuación de onda, los sismólogos investigaron un enfoque simplificado utilizando la óptica geométrica. En particular, su objetivo era invertir la distribución de la velocidad de propagación, conociendo los tiempos de llegada de los frentes de onda observados en los sismogramas. Estos frentes de onda pueden estar asociados a llegadas directas o a reflexiones asociadas a reflectores cuya geometría se va a determinar, junto con la distribución de velocidades.

La distribución del tiempo de llegada ( es un punto en el espacio físico) de un frente de onda emitido desde una fuente puntual satisface la ecuación de Eikonal : ${\displaystyle {\tau }(x)}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \|\nabla \tau (x)\|=s(x),}$$

de lentitudrayos ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

Este problema es similar a la tomografía: los tiempos de llegada medidos son la integral a lo largo de la trayectoria del rayo de la lentitud. Pero este problema similar a la tomografía no es lineal, principalmente porque la geometría desconocida de la trayectoria del rayo depende de la distribución de la velocidad (o lentitud). A pesar de su carácter no lineal, la tomografía en tiempo de viaje resultó ser muy eficaz para determinar la velocidad de propagación en la Tierra o en el subsuelo, siendo este último aspecto un elemento clave para la obtención de imágenes sísmicas, en particular utilizando los métodos mencionados en la sección "Difracción". tomografía".

Aspectos matemáticos: las preguntas de Hadamard

Las preguntas se refieren a la buena formulación: ¿Tiene el problema de mínimos cuadrados una solución única que depende continuamente de los datos (problema de estabilidad)? Es la primera pregunta, pero también es difícil debido a la no linealidad de . Para ver de dónde surgen las dificultades, Chavent ^[44] propuso dividir conceptualmente la minimización de la función de desajuste de datos en dos pasos consecutivos ( es el subconjunto de modelos admisibles): ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P_{\text{adm}}}$

• paso de proyección: dado encontrar una proyección en (punto más cercano según la distancia involucrada en la definición de la función objetivo) ${\displaystyle d_{\text{obs}}}$ ${\displaystyle F(P_{\text{adm}})}$ ${\displaystyle F(P_{\text{adm}})}$
• Dada esta proyección, encuentre una preimagen que sea un modelo cuya imagen por operador sea esta proyección. ${\displaystyle F}$

Pueden surgir dificultades (y normalmente surgirán) en ambos pasos:

1. No es probable que el operador sea uno a uno, por lo tanto puede haber más de una imagen previa, ${\displaystyle F}$
2. incluso cuando es uno a uno, su inverso puede no ser continuo , ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(P)}$
3. la proyección puede no existir, si este conjunto no está cerrado, ${\displaystyle F(P_{\text{adm}})}$
4. la proyección en puede ser no única y no continua, ya que puede no ser convexa debido a la no linealidad de . ${\displaystyle F(P_{\text{adm}})}$ ${\displaystyle F}$

Nos remitimos a Chavent ^[44] para un análisis matemático de estos puntos.

Aspectos computacionales

Una función de desajuste de datos no convexa

Como el mapa directo no es lineal, es probable que la función de desajuste de datos no sea convexa, lo que hace que las técnicas de minimización local sean ineficientes. Se han investigado varios enfoques para superar esta dificultad:

• uso de técnicas de optimización global como el muestreo de la función de densidad posterior y el algoritmo de Metropolis en el marco probabilístico del problema inverso, ^[45] algoritmos genéticos (solos o en combinación con el algoritmo de Metropolis: ver ^[46] para una aplicación a la determinación de permeabilidades que coincidir con los datos de permeabilidad existentes), redes neuronales, técnicas de regularización que incluyen análisis multiescala;
• reformulación de la función objetivo de mínimos cuadrados para hacerla más suave (consulte ^{[42] [43]} para el problema inverso en las ecuaciones de onda).

Cálculo del gradiente de la función objetivo.

Los problemas inversos, especialmente en dimensiones infinitas, pueden ser de gran tamaño, por lo que requieren un tiempo de cálculo importante. Cuando el mapa directo no es lineal, las dificultades computacionales aumentan y minimizar la función objetivo puede resultar difícil. A diferencia de la situación lineal, aquí no tiene sentido un uso explícito de la matriz de Hesse para resolver ecuaciones normales: la matriz de Hesse varía según los modelos. Mucho más eficaz es la evaluación del gradiente de la función objetivo para algunos modelos. Se puede ahorrar un esfuerzo computacional importante cuando podemos evitar el cálculo muy pesado del jacobiano (a menudo llamado " derivadas de Fréchet "): el método de estado adjunto, propuesto por Chavent y Lions, ^[47] tiene como objetivo evitar este cálculo tan pesado. Ahora es muy utilizado. ^[48]

Un algoritmo de inversión (publicado bajo licencia Creative Commons, CC BY-NC-ND por Elsevier) ^[49]

Aplicaciones

La teoría del problema inverso se utiliza ampliamente en predicciones meteorológicas, oceanografía, hidrología e ingeniería petrolera. ^{[50] [51] [52]} Otra aplicación es la inversión de ondas elásticas para la caracterización no destructiva de estructuras de ingeniería. ^[49]

También se encuentran problemas inversos en el campo de la transferencia de calor, donde se estima un flujo de calor superficial ^[53] que sale de datos de temperatura medidos dentro de un cuerpo rígido; y en la comprensión de los controles sobre la descomposición de la materia vegetal. ^[54] El problema inverso lineal es también fundamental en la estimación espectral y la estimación de la dirección de llegada (DOA) en el procesamiento de señales .

La litografía inversa se utiliza en el diseño de fotomáscaras para la fabricación de dispositivos semiconductores .

Ver también

• Problema inverso atmosférico
• Método Backus-Gilbert
• Tomografía computarizada
  • Técnica de reconstrucción algebraica
  • Retroproyección filtrada
  • Reconstrucción iterativa
• Asimilación de datos
• Optimización de ingeniería
• Modelo de caja gris
• Geofísica matemática
• Estimación óptima
• inversión sísmica
• Regularización de Tikhonov
• Detección comprimida

Publicaciones académicas

Cuatro revistas académicas principales cubren problemas inversos en general:

• Problemas inversos
• Revista de problemas inversos y mal planteados ^[55]
• Problemas inversos en ciencia e ingeniería ^[56]
• Problemas inversos e imágenes ^[57]

Muchas revistas sobre imágenes médicas, geofísica, pruebas no destructivas, etc. están dominadas por problemas inversos en esas áreas.

Referencias

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enlaces externos

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• Página de problemas inversos en la Universidad de Alabama Archivado el 5 de abril de 2014 en Wayback Machine.
• Proyecto de problemas inversos y geoestadística Archivado el 2 de noviembre de 2017 en Wayback Machine , Instituto Niels Bohr, Universidad de Copenhague
• Página de recursos de la teoría geofísica inversa de Andy Ganse
• Centro finlandés de excelencia en investigación de problemas inversos