problema bien planteado

Término relativo a las propiedades que deben tener los modelos matemáticos de fenómenos físicos.

En matemáticas , un problema bien planteado es aquel en el que se cumplen las siguientes propiedades: ^[a]

1. El problema tiene solución.
2. La solución es única.
3. El comportamiento de la solución cambia continuamente con las condiciones iniciales.

Ejemplos de problemas arquetípicos bien planteados incluyen el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace y la ecuación del calor con condiciones iniciales específicas. Estos podrían considerarse problemas "naturales" en el sentido de que existen procesos físicos modelados por estos problemas.

Los problemas que no están bien planteados en el sentido anterior se denominan mal planteados . Los problemas inversos suelen estar mal planteados; por ejemplo, la ecuación inversa del calor, que deduce una distribución previa de temperatura a partir de los datos finales, no está bien planteada porque la solución es muy sensible a los cambios en los datos finales.

Los modelos continuos a menudo deben discretizarse para obtener una solución numérica. Si bien las soluciones pueden ser continuas con respecto a las condiciones iniciales, pueden sufrir inestabilidad numérica cuando se resuelven con precisión finita o con errores en los datos.

Acondicionamiento

Incluso si un problema está bien planteado, todavía puede estar mal condicionado , lo que significa que un pequeño error en los datos iniciales puede resultar en errores mucho mayores en las respuestas. Los problemas en sistemas complejos no lineales (los llamados sistemas caóticos ) proporcionan ejemplos bien conocidos de inestabilidad. Un problema mal acondicionado se indica con un número de condición grande .

Si el problema está bien planteado, entonces tiene buenas posibilidades de solución en una computadora utilizando un algoritmo estable . Si no está bien planteado, es necesario reformularlo para su tratamiento numérico. Normalmente, esto implica incluir suposiciones adicionales, como la fluidez de la solución. Este proceso se conoce como regularización . La regularización de Tikhonov es una de las más utilizadas para la regularización de problemas lineales mal planteados.

Método energético

El método de la energía es útil para establecer tanto la unicidad como la continuidad con respecto a las condiciones iniciales (es decir, no establece existencia). El método se basa en derivar un límite superior de un funcional similar a la energía para un problema determinado.

Ejemplo : Considere la ecuación de difusión en el intervalo unitario con condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas y datos iniciales adecuados (por ejemplo, para cuáles ). ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{t}&=Du_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\u(x,0)&=f(x),\\u(0,t)&=0,\\u(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

Multiplica la ecuación por e integra en el espacio sobre el intervalo unitario para obtener ${\displaystyle u_{t}=Du_{xx}}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\int _{0}^{1}uu_{t}dx&=D\int _{0}^{1}uu_{xx}dx\\\Longrightarrow &&\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\partial _{t}u^{2}dx&=Duu_{x}{\Big |}_{0}^{1}-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\\\Longrightarrow &&{\frac {1}{2}}\partial _{t}\|u\|_{2}^{2}&=0-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\leq 0\end{aligned}}}$$

Esto nos dice que ( p-norm ) no puede crecer en el tiempo. Multiplicando por dos e integrando en el tiempo, desde hasta , se encuentra ${\displaystyle \|u\|_{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \|u(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq \|f(\cdot )\|_{2}^{2}}$$

Este resultado es la estimación de energía para este problema.

Para mostrar la unicidad de las soluciones, suponga que hay dos soluciones distintas al problema, llámelas y , cada una de las cuales satisface los mismos datos iniciales. Al definir entonces, vía la linealidad de las ecuaciones, se encuentra que satisface ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w=u-v}$ ${\displaystyle w}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{t}&=Dw_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\w(x,0)&=0,\\w(0,t)&=0,\\w(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

La aplicación de la estimación de energía nos dice lo que implica ( casi en todas partes ). ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq 0}$ ${\displaystyle u=v}$

De manera similar, para mostrar continuidad con respecto a las condiciones iniciales, suponga que y son soluciones correspondientes a diferentes datos iniciales y . Considerando una vez más, se encuentra que satisface las mismas ecuaciones anteriores pero con . Esto conduce a la estimación de energía que establece la continuidad (es decir, a medida que y se acercan, medido por la norma de su diferencia, entonces ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$ ${\displaystyle v(x,0)=g(x)}$ ${\displaystyle w=u-v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w(x,0)=f(x)-g(x)}$ ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq D\|f(\cdot )-g(\cdot )\|_{2}^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}\to 0}$

El principio máximo es un enfoque alternativo para establecer la unicidad y continuidad de las soluciones con respecto a las condiciones iniciales para este ejemplo. La existencia de soluciones a este problema se puede establecer mediante series de Fourier .

Ver también

• Espectroscopia de absorción total : un ejemplo de un problema inverso o mal planteado en una situación de la vida real que se resuelve mediante el algoritmo de expectativa-maximización.

Notas

1. Esta definición de problema bien planteado proviene del trabajo de Jacques Hadamard sobre modelado matemático de fenómenos físicos .

Referencias

• Hadamard, Jacques (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique . Boletín de la Universidad de Princeton. págs. 49–52.
• Parker, Sybil B., ed. (1989) [1974]. Diccionario McGraw-Hill de términos científicos y técnicos (4ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-045270-9.
• Tikhonov, AN; Arsenin, VY (1977). Soluciones de Problemas Mal Planteados . Nueva York: Winston. ISBN 0-470-99124-0.
• Strauss, Walter A. (2008). Ecuaciones diferenciales parciales; Una introducción (2ª ed.). Hoboken: Wiley. ISBN 978-0470-05456-7.