Condición inicial

Parámetros en ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos

En matemáticas y particularmente en sistemas dinámicos , una condición inicial , en algunos contextos llamada valor semilla , ^{[1] : pp. 160} es un valor de una variable en evolución en algún punto en el tiempo designado como el tiempo inicial (típicamente denotado t  = 0). Para un sistema de orden k (el número de rezagos de tiempo en tiempo discreto , o el orden de la derivada más grande en tiempo continuo ) y dimensión n (es decir, con n variables en evolución diferentes, que juntas pueden denotarse por un vector de coordenadas n -dimensional ), generalmente se necesitan nk condiciones iniciales para rastrear las variables del sistema hacia adelante a través del tiempo.

En las ecuaciones diferenciales en tiempo continuo y en las ecuaciones diferenciales en tiempo discreto, las condiciones iniciales afectan el valor de las variables dinámicas ( variables de estado ) en cualquier momento futuro. En tiempo continuo, el problema de encontrar una solución en forma cerrada para las variables de estado en función del tiempo y de las condiciones iniciales se denomina problema del valor inicial . Existe un problema correspondiente para situaciones de tiempo discreto. Si bien no siempre es posible obtener una solución en forma cerrada, los valores futuros de un sistema de tiempo discreto se pueden encontrar iterando hacia adelante un período de tiempo por iteración, aunque el error de redondeo puede hacer que esto no sea práctico en horizontes largos.

Sistema lineal

Tiempo discreto

Una ecuación diferencial matricial lineal de forma homogénea (sin término constante) tiene una solución en forma cerrada basada en el vector de condiciones iniciales de las variables individuales que se apilan en el vector; se denomina vector de condiciones iniciales o simplemente condición inicial, y contiene nk piezas de información, donde n es la dimensión del vector X y k  = 1 es el número de rezagos temporales en el sistema. Las condiciones iniciales en este sistema lineal no afectan la naturaleza cualitativa del comportamiento futuro de la variable de estado X ; ese comportamiento es estable o inestable en función de los valores propios de la matriz A, pero no en función de las condiciones iniciales. ${\displaystyle X_{t+1}=AX_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}=A^{t}X_{0}}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{0}}$

Alternativamente, un proceso dinámico en una sola variable x que tiene múltiples rezagos de tiempo es

${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{t-k}.}$

Aquí la dimensión es n  = 1 y el orden es k , por lo que el número necesario de condiciones iniciales para rastrear el sistema a través del tiempo, ya sea de manera iterativa o mediante una solución en forma cerrada, es nk  =  k . Nuevamente, las condiciones iniciales no afectan la naturaleza cualitativa de la evolución a largo plazo de la variable. La solución de esta ecuación se encuentra utilizando su ecuación característica para obtener las k soluciones de esta última, que son los valores característicos para usar en la ecuación de solución. ${\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k},}$

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.}$

Aquí las constantes se encuentran resolviendo un sistema de k ecuaciones diferentes basadas en esta ecuación, cada una utilizando uno de los k valores diferentes de t para los que se conoce la condición inicial específica . ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle x_{t}}$

Tiempo continuo

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con n variables apiladas en un vector X es

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=AX.}$

Su comportamiento a través del tiempo puede rastrearse con una solución en forma cerrada condicional a un vector de condición inicial . El número de piezas iniciales de información requeridas es la dimensión n del sistema multiplicada por el orden k  = 1 del sistema, o n . Las condiciones iniciales no afectan el comportamiento cualitativo (estable o inestable) del sistema. ${\displaystyle X_{0}}$

Una única ecuación lineal ^{de orden} k en una única variable x es

${\displaystyle {\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.}$

Aquí, el número de condiciones iniciales necesarias para obtener una solución en forma cerrada es la dimensión n  = 1 multiplicada por el orden k , o simplemente k . En este caso, las k piezas iniciales de información normalmente no serán valores diferentes de la variable x en diferentes puntos del tiempo, sino más bien los valores de x y sus primeras k  – 1 derivadas, todas en algún punto del tiempo, como el tiempo cero. Las condiciones iniciales no afectan la naturaleza cualitativa del comportamiento del sistema. La ecuación característica de esta ecuación dinámica es cuyas soluciones son los valores característicos que se utilizan en la ecuación de solución. ${\displaystyle \lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k};}$

${\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+\cdots +c_{k}e^{\lambda _{k}t}.}$

Esta ecuación y sus primeras k – 1 derivadas forman un sistema de k ecuaciones que pueden resolverse para los k parámetros dadas las condiciones iniciales conocidas en x y los valores de sus k – 1 derivadas en algún momento t . ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k},}$

Sistemas no lineales

Los sistemas no lineales pueden exhibir una variedad de comportamiento sustancialmente más rica que los sistemas lineales. En particular, las condiciones iniciales pueden afectar si el sistema diverge hacia el infinito o si converge hacia uno u otro atractor del sistema. Cada atractor, una región (posiblemente desconectada) de valores a la que se aproximan algunos caminos dinámicos pero que nunca abandonan, tiene una cuenca de atracción (posiblemente desconectada) tal que las variables de estado con condiciones iniciales en esa cuenca (y en ningún otro lugar) evolucionarán hacia ese atractor. Incluso las condiciones iniciales cercanas podrían estar en cuencas de atracción de diferentes atractores (véase, por ejemplo, el método de Newton#Cuencas de atracción ).

Además, en aquellos sistemas no lineales que muestran un comportamiento caótico , la evolución de las variables exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales : los valores iterados de dos puntos muy cercanos cualesquiera en el mismo atractor extraño , mientras cada uno permanece en el atractor, divergirán entre sí con el tiempo. Por lo tanto, incluso en un solo atractor, los valores precisos de las condiciones iniciales hacen una diferencia sustancial para las posiciones futuras de los iterados. Esta característica hace que la simulación precisa de valores futuros sea difícil e imposible en horizontes largos, porque establecer las condiciones iniciales con precisión exacta rara vez es posible y porque el error de redondeo es inevitable incluso después de solo unas pocas iteraciones a partir de una condición inicial exacta.

Leyes empíricas y condiciones iniciales

Toda ley empírica tiene la inquietante cualidad de que no se conocen sus límites. Hemos visto que existen regularidades en los acontecimientos del mundo que nos rodea que pueden formularse en términos de conceptos matemáticos con una exactitud asombrosa. Hay, por otra parte, aspectos del mundo respecto de los cuales no creemos en la existencia de ninguna regularidad exacta. A estos los llamamos condiciones iniciales. ^[2]

Véase también

• Condición de contorno
• Vector de inicialización , en criptografía

Referencias

1. Baumol, William J. (1970). Dinámica económica: una introducción (3.ª ed.). Londres: Collier-Macmillan. ISBN 0-02-306660-1.
2. Wigner, Eugene P. (1960). «La irrazonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales. Conferencia de Richard Courant sobre ciencias matemáticas dictada en la Universidad de Nueva York, 11 de mayo de 1959». Communications on Pure and Applied Mathematics . 13 (1): 1–14. Bibcode :1960CPAM...13....1W. doi :10.1002/cpa.3160130102. Archivado desde el original (PDF) el 12 de febrero de 2021.

Enlaces externos

• Citas relacionadas con Condición inicial en Wikiquote