Ecuación diferencial de matrices

Una ecuación diferencial matricial es una ecuación diferencial en la que el valor de un vector (o, a veces, una matriz) de variables en un punto en el tiempo se relaciona con su propio valor en uno o más puntos anteriores en el tiempo, utilizando matrices . ^[1]^[2] El orden de la ecuación es el intervalo de tiempo máximo entre dos valores indicados del vector variable. Por ejemplo,

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}

es un ejemplo de una ecuación diferencial de matrices de segundo orden, en la que $x$ es un vector de variables $n \times 1 y$ $A$ y $B$ son matrices $n \times n$ . Esta ecuación es homogénea porque no hay ningún término constante vectorial añadido al final de la ecuación. La misma ecuación también podría escribirse como

\mathbf {x}_{t+2}=\mathbf {Ax}_{t+1}+\mathbf {Bx}_{t}

o como

\mathbf {x} _{n}=\mathbf {Ax} _{n-1}+\mathbf {Bx} _{n-2}

Las ecuaciones diferenciales matriciales que se encuentran con mayor frecuencia son las de primer orden.

Caso no homogéneo de primer orden y estado estacionario

Un ejemplo de una ecuación diferencial de matriz de primer orden no homogénea es

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {b}

con un vector constante aditivo $b$ . El estado estacionario de este sistema es un valor $x *$ del vector $x$ que, si se alcanza, no se desviará posteriormente de él. $x *$ se encuentra estableciendo $x t = x t -1 = x *$ en la ecuación diferencial y despejando $x *$ para obtener

\mathbf {x} ^{*}=[\mathbf {I} -\mathbf {A} ]^{-1}\mathbf {b}

donde $I$ es la matriz identidad $n \times n$ y donde se supone que $[$ $I$ $-$ $A$ $]$ es invertible . Entonces la ecuación no homogénea se puede reescribir en forma homogénea en términos de desviaciones del estado estacionario:

\left[\mathbf {x} _{t}-\mathbf {x} ^{*}\right]=\mathbf {A} \left[\mathbf {x} _{t-1}-\mathbf {x} ^{*}\right]

Estabilidad del caso de primer orden

La ecuación diferencial de matrices de primer orden $[x t - x *] = A [x t -1 - x *]$ es estable —es decir, $x t$ converge asintóticamente al estado estable $x *$ —si y solo si todos los valores propios de la matriz de transición $A$ (ya sea real o compleja) tienen un valor absoluto menor que 1.

Solución del caso de primer orden

Supongamos que la ecuación se ha puesto en la forma homogénea $y t = Ay t -1$ . Entonces podemos iterar y sustituir repetidamente a partir de la condición inicial $y 0$ , que es el valor inicial del vector $y$ y que debe conocerse para encontrar la solución:

{\begin{alineado}\mathbf {y} _{1}&=\mathbf {Ay} _{0}\\\mathbf {y} _{2}&=\mathbf {Ay} _{1 }=\mathbf {A} ^{2}\mathbf {y} _{0}\\\mathbf {y} _{3}&=\mathbf {Ay} _{2}=\mathbf {A} ^{ 3}\mathbf {y} _{0}\end{aligned}}

y así sucesivamente, de modo que por inducción matemática la solución en términos de $t$ es

\mathbf {y} _{t}=\mathbf {A} ^{t}\mathbf {y} _{0}

Además, si $A$ es diagonalizable, podemos reescribir $A$ en términos de sus valores propios y vectores propios , dando la solución como

\mathbf {y} _{t}=\mathbf {PD} ^{t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} _{0},

donde $P$ es una matriz $n \times n$ cuyas columnas son los vectores propios de $A$ (asumiendo que los valores propios son todos distintos) y $D$ es una matriz diagonal $n \times n$ cuyos elementos diagonales son los valores propios de $A.$ Esta solución motiva el resultado de estabilidad anterior: $A$ $t$ se encoge a la matriz cero con el tiempo si y solo si los valores propios de $A$ son todos menores que la unidad en valor absoluto.

Extracción de la dinámica de una única variable escalar de un sistema matricial de primer orden

Partiendo del sistema $n -dimensional$ $y t = Ay t -1$ , podemos extraer la dinámica de una de las variables de estado, digamos $y 1$ . La ecuación de solución anterior para $y t$ muestra que la solución para $y 1, t$ está en términos de los $n$ valores propios de $A$ . Por lo tanto, la ecuación que describe la evolución de $y 1$ por sí misma debe tener una solución que involucre esos mismos valores propios. Esta descripción motiva intuitivamente la ecuación de evolución de $y 1$ , que es

y_{1,t}=a_{1}y_{1,t-1}+a_{2}y_{1,t-2}+\puntos +a_{n}y_{1,tn}

donde los parámetros $a i$ son de la ecuación característica de la matriz $A$ :

\lambda ^{n}-a_{1}\lambda ^{n-1}-a_{2}\lambda ^{n-2}-\dots -a_{n}\lambda ^{0}=0.

De este modo, cada variable escalar individual de un sistema lineal de primer orden de $n dimensiones evoluciona de acuerdo con una ecuación diferencial univariante$ $de$ grado n, que tiene la misma propiedad de estabilidad (estable o inestable) que la ecuación diferencial matricial.

Solución y estabilidad de casos de orden superior

Las ecuaciones diferenciales matriciales de orden superior (es decir, con un desfase temporal mayor que un período) se pueden resolver y su estabilidad se puede analizar convirtiéndolas a la forma de primer orden utilizando una matriz de bloques (matriz de matrices). Por ejemplo, supongamos que tenemos la ecuación de segundo orden

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}

con el vector variable $x$ siendo $n \times 1$ y $A$ y $B$ siendo $n \times n$ . Esto se puede apilar en la forma

{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t}\\\mathbf {x} _{t-1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} y\mathbf {B} \\\mathbf {I} y\mathbf {0} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t-1}\\\mathbf {x} _{t-2}\end{bmatrix}}

donde $I$ es la matriz identidad $n \times n$ y $0$ es la matriz cero $n$ $\times$ $n$ . Luego, denotando el vector apilado $2$ $n$ $\times 1$ de las variables actuales y una vez rezagadas como $z$ $t$ y la matriz de bloques $2$ $n$ $\times 2$ $n$ como $L$ , tenemos como antes la solución

\mathbf {z} _{t}=\mathbf {L} ^{t}\mathbf {z} _{0}

También como antes, esta ecuación apilada, y por lo tanto la ecuación original de segundo orden, son estables si y sólo si todos los valores propios de la matriz $L$ son menores que la unidad en valor absoluto.

Ecuaciones diferenciales de matrices no lineales: ecuaciones de Riccati

En el control lineal-cuadrático-gaussiano , surge una ecuación matricial no lineal para la evolución inversa de una matriz de costos actual y futura , denotada a continuación como $H.$ Esta ecuación se denomina ecuación de Riccati dinámica discreta y surge cuando un vector variable que evoluciona según una ecuación de diferencia matricial lineal se controla manipulando un vector exógeno para optimizar una función de costo cuadrático . Esta ecuación de Riccati asume la siguiente forma o una similar:

\mathbf {H} _{t-1}=\mathbf {K} +\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} -\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} \izquierda[\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} +\mathbf {R} \derecha]^{-1}\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A}

donde $H$ , $K$ y $A$ son $n \times n$ , $C$ es $n \times k$ , $R$ es $k \times k$ , $n$ es el número de elementos del vector que se va a controlar y $k$ es el número de elementos del vector de control. Las matrices de parámetros $A$ y $C$ son de la ecuación lineal, y las matrices de parámetros $K$ y $R$ son de la función de costo cuadrático. Consulte aquí para obtener más detalles.

En general, esta ecuación no se puede resolver analíticamente para $H t$ en términos de $t$ ; más bien, la secuencia de valores para $H t$ se encuentra iterando la ecuación de Riccati. Sin embargo, se ha demostrado ^[3] que esta ecuación de Riccati se puede resolver analíticamente si $R =$ y $n = k + 1$ , reduciéndola a una ecuación diferencial racional escalar ; además, para cualquier $k$ y $n$ si la matriz de transición $A$ no es singular, entonces la ecuación de Riccati se puede resolver analíticamente en términos de los valores propios de una matriz, aunque estos pueden necesitar ser encontrados numéricamente. ^[4]

En la mayoría de los contextos, la evolución de $H$ hacia atrás a través del tiempo es estable, lo que significa que $H$ converge a una matriz fija particular $H *$ que puede ser irracional incluso si todas las demás matrices son racionales. Véase también Control estocástico § Tiempo discreto .

Una ecuación de Riccati relacionada ^[5] es

\mathbf {X} _{t+1}=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {B} \mathbf {X} _{t}\right]\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {X} _{t}\right]^{-1}

en la que las matrices $X, A, B, C, E$ son todas $n \times n$ . Esta ecuación se puede resolver explícitamente. Supongamos que ciertamente se cumple para $t$ $= 0$ con $N$ $0$ $=$ $X$ $0$ y con $D$ $0$ $=$ $I$ . Entonces, al usar esto en la ecuación diferencial, obtenemos $\mathbf {X}_{t}=\mathbf {N}_{t}\mathbf {D}_{t}^{-1},$

{\begin{aligned}\mathbf {X} _{t+1}&=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {BN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\mathbf {CD} _{t}+\mathbf {AN} _{t}\right]^{-1}\\&=\mathbf {N} _{t+1}\mathbf {D} _{t+1}^{-1}\end{aligned}}

Por inducción, la forma se cumple para todo $t$ . Entonces, la evolución de $N$ y $D$ se puede escribir como $\mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}$

{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t+1}\\\mathbf {D} _{t+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {B} &-\mathbf {E} \\\mathbf {A} &\mathbf {C} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}\equiv \mathbf {J} {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}

Así por inducción

{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} ^{t}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{0}\\\mathbf {D} _{0}\end{bmatrix}}

Véase también

Referencias

^ Cull, Paul; Flahive, Mary ; Robson, Robbie (2005). Ecuaciones diferenciales: de los conejos al caos . Springer. cap. 7. ISBN. 0-387-23234-6.
^ Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (3.ª ed.). McGraw-Hill. pp. 608–612. ISBN 9780070107809.
^ Balvers, Ronald J.; Mitchell, Douglas W. (2007). "Reducción de la dimensionalidad de problemas de control cuadrático lineal" (PDF) . Revista de dinámica económica y control . 31 (1): 141–159. doi :10.1016/j.jedc.2005.09.013. S2CID 121354131.
^ Vaughan, DR (1970). "Una solución algebraica no recursiva para la ecuación discreta de Riccati". IEEE Transactions on Automatic Control . 15 (5): 597–599. doi :10.1109/TAC.1970.1099549.
^ Martín, CF; Ammar, G. (1991). "La geometría de la ecuación matricial de Riccati y el método de valores propios asociado". En Bittani; laboratorio; Willems (eds.). La ecuación de Riccati . Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-642-58223-3_5. ISBN 978-3-642-63508-3.