Sistema de parámetros distribuidos

Sistema con un espacio de estados de dimensión infinita

En teoría del control , un sistema de parámetros distribuidos (a diferencia de un sistema de parámetros agrupados ) es un sistema cuyo espacio de estados es de dimensión infinita . Por lo tanto, estos sistemas también se denominan sistemas de dimensiones infinitas. Ejemplos típicos son sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales parciales o mediante ecuaciones diferenciales de retardo .

Sistemas lineales de parámetros distribuidos invariantes en el tiempo

Ecuaciones abstractas de evolución

Tiempo discreto

Con espacios de Hilbert U , X e Y y  ∈  L ( X ),  ∈  L ( U ,  X ),  ∈  L ( X ,  Y ) y  ∈  L ( U ,  Y ) las siguientes ecuaciones en diferencias determinan un tiempo lineal de tiempo discreto. sistema invariante : ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$ ${\displaystyle C\,}$ ${\displaystyle D\,}$

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)\,}$

con (el estado) una secuencia con valores en X , (la entrada o control) una secuencia con valores en U y (la salida) una secuencia con valores en Y . ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle u\,}$ ${\displaystyle y\,}$

Tiempo continuo

El caso de tiempo continuo es similar al caso de tiempo discreto, pero ahora se consideran ecuaciones diferenciales en lugar de ecuaciones en diferencias:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,}$,

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$.

Sin embargo, ahora una complicación adicional es que para incluir ejemplos físicos interesantes, como ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones diferenciales de retardo en este marco abstracto, uno se ve obligado a considerar operadores ilimitados . Por lo general, se supone que A genera un semigrupo fuertemente continuo en el espacio de estados X. Suponiendo que B , C y D sean operadores acotados, ya permite la inclusión de muchos ejemplos físicos interesantes, ^[1] pero la inclusión de muchos otros ejemplos físicos interesantes obliga también a que B y C sean ilimitados.

Ejemplo: una ecuación diferencial parcial

La ecuación diferencial parcial con y dada por ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle \xi \in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}w(t,\xi )=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}w(t,\xi )+u(t),}$

${\displaystyle w(0,\xi )=w_{0}(\xi ),}$

${\displaystyle w(t,0)=0,}$

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,}$

encaja en el marco de la ecuación de evolución abstracta descrito anteriormente de la siguiente manera. El espacio de entrada U y el espacio de salida Y se eligen como el conjunto de números complejos. Se elige que el espacio de estados X sea L ² (0, 1). El operador A se define como

${\displaystyle Ax=-x',~~~D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ absolutely continuous }},x'\in L^{2}(0,1){\text{ and }}x(0)=0\right\}.}$

Se puede demostrar ^[2] que A genera un semigrupo fuertemente continuo en X. Los operadores acotados B , C y D se definen como

${\displaystyle Bu=u,~~~Cx=\int _{0}^{1}x(\xi )\,d\xi ,~~~D=0.}$

Ejemplo: una ecuación diferencial de retardo

La ecuación diferencial de retardo.

${\displaystyle {\dot {w}}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),}$

${\displaystyle y(t)=w(t),}$

encaja en el marco de la ecuación de evolución abstracta descrito anteriormente de la siguiente manera. El espacio de entrada U y el espacio de salida Y se eligen como el conjunto de números complejos. El espacio de estados X se elige como el producto de los números complejos con L ² (− τ , 0). El operador A se define como

${\displaystyle A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}},~~~D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ absolutely continuous }},f'\in L^{2}([-\tau ,0]){\text{ and }}r=f(0)\right\}.}$

Se puede demostrar ^[3] que A genera un semigrupo fuertemente continuo en X. Los operadores acotados B , C y D se definen como

${\displaystyle Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}},~~~C{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}=r,~~~D=0.}$

Funciones de transferencia

Como en el caso de dimensión finita, la función de transferencia se define mediante la transformada de Laplace (tiempo continuo) o la transformada Z (tiempo discreto). Mientras que en el caso de dimensión finita la función de transferencia es una función racional propiamente dicha, la dimensión infinita del espacio de estados conduce a funciones irracionales (que, sin embargo, siguen siendo holomorfas ).

Tiempo discreto

En tiempo discreto, la función de transferencia está dada en términos de los parámetros del espacio de estados por y es holomorfa en un disco centrado en el origen. ^[4] En el caso de que 1/ z pertenezca al conjunto resolutivo de A (que es el caso de un disco posiblemente más pequeño centrado en el origen), la función de transferencia es igual a . Un hecho interesante es que cualquier función holomorfa en cero es la función de transferencia de algún sistema de tiempo discreto. ${\displaystyle D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}}$ ${\displaystyle D+Cz(I-zA)^{-1}B}$

Tiempo continuo

Si A genera un semigrupo fuertemente continuo y B , C y D son operadores acotados, entonces ^[5] la función de transferencia está dada en términos de los parámetros del espacio de estados por para s con parte real mayor que el límite de crecimiento exponencial del semigrupo generado por A . En situaciones más generales, esta fórmula tal como está puede que ni siquiera tenga sentido, pero una generalización apropiada de esta fórmula aún es válida. ^[6] Para obtener una expresión sencilla para la función de transferencia, a menudo es mejor tomar la transformada de Laplace en la ecuación diferencial dada que usar las fórmulas del espacio de estados como se ilustra a continuación en los ejemplos dados anteriormente. ${\displaystyle D+C(sI-A)^{-1}B}$

Función de transferencia para el ejemplo de ecuación diferencial parcial

Estableciendo la condición inicial igual a cero y denotando las transformadas de Laplace con respecto a t con letras mayúsculas, obtenemos de la ecuación diferencial parcial dada anteriormente ${\displaystyle w_{0}}$

${\displaystyle sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),}$

${\displaystyle W(s,0)=0,}$

${\displaystyle Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .}$

Esta es una ecuación diferencial lineal no homogénea con como variable, s como parámetro y condición inicial cero. La solucion es . Sustituyendo esto en la ecuación por Y e integrando se obtiene que la función de transferencia es . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s}$ ${\displaystyle Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}}$ ${\displaystyle (e^{-s}+s-1)/s^{2}}$

Función de transferencia para el ejemplo de ecuación diferencial de retardo

Procediendo de manera similar al ejemplo de la ecuación diferencial parcial, la función de transferencia para el ejemplo de la ecuación de retardo es ^[7] . ${\displaystyle 1/(s-1-e^{-s})}$

Controlabilidad

En el caso de dimensión infinita hay varias definiciones no equivalentes de controlabilidad que para el caso de dimensión finita colapsan en la noción habitual de controlabilidad. Los tres conceptos de controlabilidad más importantes son:

• Controlabilidad exacta,
• Controlabilidad aproximada,
• Controlabilidad nula.

Controlabilidad en tiempo discreto

Los mapas que asignan el conjunto de todas las secuencias con valores U a X y están dados por , desempeñan un papel importante . La interpretación es que es el estado que se alcanza aplicando la secuencia de entrada u cuando la condición inicial es cero. El sistema se llama ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}u}$

• exactamente controlable en el tiempo n si el rango de es igual a X , ${\displaystyle \Phi _{n}}$
• aproximadamente controlable en el tiempo n si el rango de es denso en X , ${\displaystyle \Phi _{n}}$
• nulo controlable en el tiempo n si el rango de incluye el rango de A ⁿ . ${\displaystyle \Phi _{n}}$

Controlabilidad en tiempo continuo

En la controlabilidad de los sistemas de tiempo continuo, el mapa dado por desempeña el papel que desempeña en el tiempo discreto. Sin embargo, el espacio de funciones de control sobre el que actúa este operador influye ahora en la definición. La elección habitual es L ² (0, ∞; U ), el espacio de (clases de equivalencia de) funciones cuadradas integrables valoradas en U en el intervalo (0, ∞), pero otras opciones como L ¹ (0, ∞; U ) es posible. Las diferentes nociones de controlabilidad se pueden definir una vez que se elige el dominio de. El sistema se llama ^[8] ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds}$ ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{t}}$

• exactamente controlable en el tiempo t si el rango de es igual a X , ${\displaystyle \Phi _{t}}$
• aproximadamente controlable en el tiempo t si el rango de es denso en X , ${\displaystyle \Phi _{t}}$
• nulo controlable en el tiempo t si el rango de incluye el rango de . ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle {\rm {e}}^{At}}$

Observabilidad

Como en el caso de dimensión finita, la observabilidad es la noción dual de controlabilidad. En el caso de dimensión infinita hay varias nociones diferentes de observabilidad que en el caso de dimensión finita coinciden. Los tres más importantes son:

• Observabilidad exacta (también conocida como observabilidad continua),
• Observabilidad aproximada,
• Observabilidad del estado final.

Observabilidad en tiempo discreto.

Los mapas que asignan X al espacio de todas las secuencias valoradas en Y juegan un papel importante y están dados por si k  ≤  n y cero si k  >  n . La interpretación es que es la salida truncada con condición inicial x y control cero. El sistema se llama ${\displaystyle \Psi _{n}}$ ${\displaystyle (\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x}$ ${\displaystyle \Psi _{n}x}$

• exactamente observable en el tiempo n si existe un k _n  > 0 tal que para todo x  ∈  X , ${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|}$
• aproximadamente observable en el tiempo n si es inyectivo , ${\displaystyle \Psi _{n}}$
• estado final observable en el tiempo n si existe un k _n  > 0 tal que para todo x  ∈  X . ${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|}$

Observabilidad en tiempo continuo.

En la observabilidad de sistemas de tiempo continuo, el mapa dado por para s∈[0,t] y cero para s>t juega el papel que desempeña en el tiempo discreto. Sin embargo, el espacio de funciones al que se asigna este operador ahora influye en la definición. La elección habitual es L ² (0, ∞,  Y ), el espacio de (clases de equivalencia de) funciones cuadradas integrables con valores Y en el intervalo (0,∞) , pero otras opciones como L ¹ (0, ∞,  Y ) es posible. Las diferentes nociones de observabilidad se pueden definir una vez que se elige el codominio de . El sistema se llama ^[9] ${\displaystyle \Psi _{t}}$ ${\displaystyle (\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x}$ ${\displaystyle \Psi _{n}}$ ${\displaystyle \Psi _{t}}$

• exactamente observable en el tiempo t si existe un k _t  > 0 tal que para todo x  ∈  X , ${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|}$
• aproximadamente observable en el tiempo t si es inyectivo , ${\displaystyle \Psi _{t}}$
• estado final observable en el tiempo t si existe un k _t  > 0 tal que para todo x  ∈  X . ${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|}$

Dualidad entre controlabilidad y observabilidad

Como en el caso de dimensión finita, controlabilidad y observabilidad son conceptos duales (al menos cuando se elige para el dominio de y el codominio de la habitual L ² ). La correspondencia bajo dualidad de los diferentes conceptos es: ^[10] ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$

• Controlabilidad exacta ↔ Observabilidad exacta,
• Controlabilidad aproximada ↔ Observabilidad aproximada,
• Controlabilidad nula ↔ Observabilidad del estado final.

Ver también

• Teoría del control
• Espacio de estados (controles)

Notas

1. Cortina y Zwart
2. Ejemplo de cortina y Zwart 2.2.4
3. Teorema de la cortina y Zwart 2.4.6
4. Ésta es la convención matemática, los ingenieros parecen preferir que las funciones de transferencia sean holomorfas en el infinito; esto se logra reemplazando z por 1/ z
5. Cortina y Zwart Lema 4.3.6
6. Teorema de Staffans 4.6.7
7. Ejemplo de cortina y Zwart 4.3.13
8. Definición de Tucsnak 11.1.1
9. Definición de Tucsnak 6.1.1
10. Teorema de Tucsnak 11.2.1

Referencias

• Cortina, Rut ; Zwart, Hans (1995), Introducción a la teoría de sistemas lineales de dimensiones infinitas , Springer
• Tucsnak, Marius; Weiss, George (2009), Observación y control de semigrupos de operadores , Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Sistemas lineales bien planteados , Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Estabilidad y estabilización de sistemas de dimensiones infinitas con aplicaciones , Springer
• Lasiecka, Irena ; Triggiani, Roberto (2000), Teoría de control de ecuaciones diferenciales parciales , Cambridge University Press
• Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy (2007), Representación y control de sistemas de dimensiones infinitas (segunda ed.), Birkhauser