En estadística aplicada, la estimación óptima es un método inverso de matriz regularizada basado en el teorema de Bayes . Se utiliza muy comúnmente en las geociencias , particularmente para sondeos atmosféricos . Un problema de matriz inversa se ve así:
El concepto esencial es transformar la matriz, A , en una probabilidad condicional y las variables, y en distribuciones de probabilidad, asumiendo estadísticas gaussianas y utilizando matrices de covarianza determinadas empíricamente.
Derivación
Normalmente, se espera que las estadísticas de la mayoría de las mediciones sean gaussianas . Entonces, por ejemplo , podemos escribir:
donde m y n son los números de elementos en y respectivamente es la matriz a resolver (el modelo directo lineal o linealizado) y es la matriz de covarianza del vector . Esto se puede hacer de manera similar para :
Aquí se considera la denominada distribución "a priori": denota los valores a priori mientras es su matriz de covarianza.
Lo bueno de las distribuciones gaussianas es que sólo se necesitan dos parámetros para describirlas y, por tanto, todo el problema se puede convertir una vez más en matrices. Suponiendo que toma la siguiente forma:
puede despreciarse ya que, para un valor dado de , es simplemente un término de escala constante. Ahora es posible resolver tanto el valor esperado de , como su matriz de covarianza igualando y . Esto produce las siguientes ecuaciones:
Debido a que utilizamos gaussianos, el valor esperado es equivalente al valor máximo probable, por lo que esta también es una forma de estimación de máxima verosimilitud .
Normalmente, con la estimación óptima, además del vector de cantidades recuperadas, se devuelve una matriz adicional junto con la matriz de covarianza. A esto a veces se le llama matriz de resolución o núcleo promedio y se calcula de la siguiente manera:
Esto nos dice, para un elemento dado del vector recuperado, cuántos de los otros elementos del vector están mezclados. En el caso de una recuperación de información de perfil, normalmente indica la resolución de altitud para una altitud determinada. Por ejemplo, si los vectores de resolución para todas las altitudes contienen elementos distintos de cero (con una tolerancia numérica) en sus cuatro vecinos más cercanos, entonces la resolución de altitud es sólo una cuarta parte del tamaño real de la cuadrícula.
Referencias
- Clive D. Rodgers (1976). "Recuperación de la temperatura y composición atmosférica a partir de mediciones remotas de radiación térmica". Reseñas de Geofísica y Física Espacial . 14 (4): 609. doi :10.1029/RG014i004p00609.
- Clive D. Rodgers (2000). Métodos inversos de sondeo atmosférico: teoría y práctica . Científico mundial.
- Clive D. Rodgers (2002). "Percepción remota atmosférica: el problema inverso". Actas de la Cuarta Escuela de Primavera de Oxford / RAL sobre Observación Cuantitativa de la Tierra . Universidad de Oxford.
![{\displaystyle P({\vec {y}}|{\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{mn/2}|{\boldsymbol {S_{y}} }|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})^{T}{\ símbolo en negrita {S_ {y}}}^{-1}({\boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f191f37ccb7c58571658ce7baa6aa772b8d300)
![{\displaystyle P({\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{m/2}|{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}|}}\ exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x_{a}}})^{T}{\boldsymbol {S_{x_{a}} }}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x_{a}}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b771725bb9ca3d58a99621e5561eef14d9bfbe99)
![{\displaystyle P({\vec {x}}|{\vec {y}})={\frac {1}{(2\pi )^{mn/2}|{\boldsymbol {S_{x}} }|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x}})^{T}{\boldsymbol {S_{x}} }^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51116a3995d5c9920e45ccdabae128f8c9c6e67a)
