Rango (álgebra lineal)

Dimensión del espacio columna de una matriz.

En álgebra lineal , el rango de una matriz A es la dimensión del espacio vectorial generado (o abarcado ) por sus columnas. ^{[1] [2] [3]} Esto corresponde al número máximo de columnas linealmente independientes de A . Esto, a su vez, es idéntico a la dimensión del espacio vectorial abarcado por sus filas. ^[4] El rango es , por tanto, una medida de la " no degeneración " del sistema de ecuaciones lineales y transformación lineal codificado por A. Existen múltiples definiciones equivalentes de rango. El rango de una matriz es una de sus características más fundamentales.

El rango se denota comúnmente por rango( A ) o rk( A ) ; ^[2] a veces los paréntesis no se escriben, como en el rango A. ^[i]

Definiciones principales

En esta sección, damos algunas definiciones del rango de una matriz. Son posibles muchas definiciones; consulte Definiciones alternativas para varios de estos.

El rango de columna de A es la dimensión del espacio de columna de A , mientras que el rango de fila de A es la dimensión del espacio de fila de A .

Un resultado fundamental en álgebra lineal es que el rango de las columnas y el rango de las filas son siempre iguales. (Se dan tres pruebas de este resultado en la sección Pruebas de que rango de columna = rango de fila, a continuación.) Este número (es decir, el número de filas o columnas linealmente independientes) se llama simplemente rango de A.

Se dice que una matriz tiene rango completo si su rango es igual al mayor posible para una matriz de las mismas dimensiones, que es el menor entre el número de filas y columnas. Se dice que una matriz tiene rango deficiente si no tiene rango completo. La deficiencia de rango de una matriz es la diferencia entre el menor número de filas y columnas y el rango.

El rango de un mapa u operador lineal se define como la dimensión de su imagen : ^{[5] [6] [7] [8]} ${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle \operatorname {rank} (\Phi ):=\dim(\operatorname {img} (\Phi ))}$$

${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle \operatorname {img} }$

Ejemplos

La matriz

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}}}$$

linealmente independientes

La matriz

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}}$$

transposición

$${\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}}}$$

AAtranspuestaArango( A ) = rango( A ^T )

Calcular el rango de una matriz

Clasificación a partir de formas escalonadas por filas

Un enfoque común para encontrar el rango de una matriz es reducirla a una forma más simple, generalmente escalonada por filas , mediante operaciones elementales por filas . Las operaciones de fila no cambian el espacio de la fila (por lo tanto, no cambian el rango de la fila) y, al ser invertibles, asignan el espacio de la columna a un espacio isomorfo (por lo tanto, no cambian el rango de la columna). Una vez en forma escalonada por filas, el rango es claramente el mismo tanto para el rango de fila como para el de columna, e iguala al número de pivotes (o columnas básicas) y también al número de filas distintas de cero.

Por ejemplo, la matriz A dada por

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}&\xrightarrow {2R_{1}+R_{2}\to R_{2}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-3R_{1}+R_{3}\to R_{3}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {R_{2}+R_{3}\to R_{3}} \,\,{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-2R_{2}+R_{1}\to R_{1}} {\begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}}$$

A

Cálculo

Cuando se aplica a cálculos de coma flotante en computadoras, la eliminación gaussiana básica ( descomposición LU ) puede ser poco confiable y en su lugar se debe utilizar una descomposición reveladora de rangos. Una alternativa eficaz es la descomposición de valores singulares (SVD), pero existen otras opciones menos costosas desde el punto de vista computacional, como la descomposición QR con pivote (la llamada factorización QR reveladora de rangos ), que son aún más robustas numéricamente que la eliminación gaussiana. La determinación numérica del rango requiere un criterio para decidir cuándo un valor, como un valor singular del SVD, debe tratarse como cero, una elección práctica que depende tanto de la matriz como de la aplicación.

Pruebas de que rango de columna = rango de fila

Prueba mediante reducción de filas

El hecho de que los rangos de columnas y filas de cualquier matriz sean formas iguales es fundamental en álgebra lineal. Se han dado muchas pruebas. Uno de los más elementales se ha esbozado en § Rango a partir de formas escalonadas por filas. Aquí hay una variante de esta prueba:

Es sencillo demostrar que ni el rango de fila ni el rango de columna cambian mediante una operación de fila elemental . A medida que la eliminación gaussiana se realiza mediante operaciones de filas elementales, la forma escalonada de filas reducida de una matriz tiene el mismo rango de fila y el mismo rango de columna que la matriz original. Otras operaciones elementales con columnas permiten poner la matriz en forma de matriz identidad posiblemente bordeada por filas y columnas de ceros. Nuevamente, esto no cambia ni el rango de fila ni el rango de columna. Es inmediato que tanto el rango de filas como de columnas de esta matriz resultante es el número de sus entradas distintas de cero.

Presentamos otras dos pruebas de este resultado. El primero utiliza sólo propiedades básicas de combinaciones lineales de vectores y es válido en cualquier campo . La prueba se basa en Wardlaw (2005). ^[9] El segundo usa ortogonalidad y es válido para matrices sobre números reales ; se basa en Mackiw (1995). ^[4] Ambas pruebas se pueden encontrar en el libro de Banerjee y Roy (2014). ^[10]

Prueba usando combinaciones lineales.

Sea A una matriz m × n . Sea el rango de columna de A r , y sea c ₁ , ..., cr _r cualquier base para el espacio de columna de A . Colóquelos como las columnas de una matriz C de m × r . Cada columna de A se puede expresar como una combinación lineal de las r columnas de C. Esto significa que existe una matriz R de r × n tal que A = CR . R es la matriz cuya i- ésima columna se forma a partir de los coeficientes que dan la i -ésima columna de A como una combinación lineal de las r columnas de C. En otras palabras, R es la matriz que contiene los múltiplos de las bases del espacio columna de A (que es C ), que luego se utilizan para formar A como un todo. Ahora, cada fila de A está dada por una combinación lineal de las r filas de R. Por lo tanto, las filas de R forman un conjunto abarcador del espacio de filas de A y, según el lema de intercambio de Steinitz , el rango de filas de A no puede exceder r . Esto demuestra que el rango de fila de A es menor o igual que el rango de columna de A. Este resultado se puede aplicar a cualquier matriz, así que aplique el resultado a la transpuesta de A. Dado que el rango de fila de la transpuesta de A es el rango de columna de A y el rango de columna de la transpuesta de A es el rango de fila de A , esto establece la desigualdad inversa y obtenemos la igualdad del rango de fila y el rango de columna de A . (Consulte también Factorización de rangos ).

Prueba usando ortogonalidad

Sea A una matriz m  ×  n con entradas en números reales cuyo rango de fila es r . Por lo tanto, la dimensión del espacio renglón de A es r . Sea x ₁ , x ₂ , …, x _r una base del espacio de filas de A . Afirmamos que los vectores A x ₁ , A x ₂ ,…, A x _r son linealmente independientes . Para ver por qué, considere una relación lineal homogénea que involucre estos vectores con coeficientes escalares c ₁ , c ₂ ,… _, cr :

$${\displaystyle 0=c_{1}A\mathbf {x} _{1}+c_{2}A\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}A\mathbf {x} _{r}=A(c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r})=A\mathbf {v} ,}$$

v = c ₁ x ₁ + c ₂ x ₂ + ⋯ + c _r x _rvAvA, y (b) dado que Av =, elvortogonalAAvv = 0v

$${\displaystyle c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r}=0.}$$

x _iAc ₁ = c ₂ = ⋯ = c _r = 0A x ₁ , A x ₂ ,…, A x _r

Ahora bien, cada A x _i es obviamente un vector en el espacio columna de A. Entonces, A x ₁ , A x ₂ , …, A x _r es un conjunto de r vectores linealmente independientes en el espacio columna de A y, por tanto, la dimensión del espacio columna de A (es decir, el rango de columna de A ) debe ser al menos tan grande como r . Esto demuestra que el rango de fila de A no es mayor que el rango de columna de A. Ahora aplique este resultado a la transpuesta de A para obtener la desigualdad inversa y concluya como en la prueba anterior.

Definiciones alternativas

En todas las definiciones de esta sección, la matriz A se considera una matriz m × n sobre un campo arbitrario F.

Dimensión de la imagen

Dada la matriz , hay un mapeo lineal asociado. ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle f:F^{n}\to F^{m}}$$

$${\displaystyle f(x)=Ax.}$$

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$

Rango en términos de nulidad

Dado el mismo mapeo lineal f que el anterior, el rango es n menos la dimensión del núcleo de f . El teorema de rango-nulidad establece que esta definición es equivalente a la anterior.

Rango de columna: dimensión del espacio de columna

El rango de A es el número máximo de columnas linealmente independientes de A ; esta es la dimensión del espacio columna de A (siendo el espacio columna el subespacio de F ^m generado por las columnas de A , que de hecho es solo la imagen del mapa lineal f asociado a A ). ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\dots ,\mathbf {c} _{k}}$

Rango de fila: dimensión del espacio de fila

El rango de A es el número máximo de filas linealmente independientes de A ; esta es la dimensión del espacio de filas de A .

Rango de descomposición

El rango de A es el entero más pequeño k tal que A pueda factorizarse como , donde C es una matriz m × k y R es una matriz k × n . De hecho, para todos los números enteros k , los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle A=CR}$

1. el rango de la columna de A es menor o igual que k ,
2. existen k columnas de tamaño m tales que cada columna de A es una combinación lineal de , ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$
3. existe una matriz C y una matriz R tales que (cuando k es el rango, esta es una factorización de rango de A ), ${\displaystyle m\times k}$ ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle A=CR}$
4. existen k filas de tamaño n tales que cada fila de A es una combinación lineal de , ${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}}$
5. el rango de fila de A es menor o igual que k .

De hecho, las siguientes equivalencias son obvias: . Por ejemplo, para demostrar (3) a partir de (2), tome C como la matriz cuyas columnas provienen de (2). Para probar (2) a partir de (3), tomemos como columnas de C . ${\displaystyle (1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$

De la equivalencia se deduce que el rango de la fila es igual al rango de la columna. ${\displaystyle (1)\Leftrightarrow (5)}$

Como en el caso de la caracterización de la "dimensión de la imagen", esto se puede generalizar a una definición del rango de cualquier aplicación lineal: el rango de una aplicación lineal f  : V → W es la dimensión mínima k de un espacio intermedio X tal que f puede escribirse como la composición de un mapa V → X y un mapa X → W . Desafortunadamente, esta definición no sugiere una manera eficiente de calcular el rango (para lo cual es mejor usar una de las definiciones alternativas). Consulte factorización de rango para obtener más detalles.

Clasificación en términos de valores singulares

El rango de A es igual al número de valores singulares distintos de cero , que es el mismo que el número de elementos diagonales distintos de cero en Σ en la descomposición de valores singulares . ${\displaystyle A=U\Sigma V^{*}}$

Rango determinante: tamaño del menor más grande que no desaparece

El rango de A es el orden más grande de cualquier menor distinto de cero en A. (El orden de un menor es la longitud del lado de la submatriz cuadrada de la cual es determinante). Al igual que la caracterización del rango de descomposición, esto no proporciona una forma eficiente de calcular el rango, pero es útil teóricamente: a Un único menor distinto de cero es testigo de un límite inferior (es decir, su orden) para el rango de la matriz, lo que puede ser útil (por ejemplo) para demostrar que ciertas operaciones no reducen el rango de una matriz.

Una p -menor que no desaparece ( submatriz p × p con determinante distinto de cero) muestra que las filas y columnas de esa submatriz son linealmente independientes y, por lo tanto, esas filas y columnas de la matriz completa son linealmente independientes (en la matriz completa) , por lo que el rango de fila y columna es al menos tan grande como el rango determinante; sin embargo, lo contrario es menos sencillo. La equivalencia del rango determinante y el rango de columna es un fortalecimiento de la afirmación de que si el intervalo de n vectores tiene dimensión p , entonces p de esos vectores abarcan el espacio (de manera equivalente, que se puede elegir un conjunto generador que sea un subconjunto de los vectores). ): la equivalencia implica que un subconjunto de filas y un subconjunto de columnas definen simultáneamente una submatriz invertible (de manera equivalente, si el lapso de n vectores tiene dimensión p , entonces p de estos vectores abarcan el espacio y hay un conjunto de p coordenadas en las que son linealmente independientes).

Rango tensorial: número mínimo de tensores simples

El rango de A es el número más pequeño k tal que A puede escribirse como una suma de k matrices de rango 1, donde se define que una matriz tiene rango 1 si y solo si puede escribirse como un producto distinto de cero de un vector columna c y un vector de fila r . Esta noción de rango se llama rango tensorial ; se puede generalizar en la interpretación de los modelos separables de la descomposición en valores singulares . ${\displaystyle c\cdot r}$

Propiedades

Suponemos que A es una matriz m × n y definimos el mapa lineal f por f ( x ) = A x como se indicó anteriormente.

• El rango de una matriz m × n es un número entero no negativo y no puede ser mayor que m o n . Eso es,
  $${\displaystyle \operatorname {rank} (A)\leq \min(m,n).}$$
  Se dice que una matriz que tiene rango mínimo ( m , n ) tiene rango completo ; de lo contrario, la matriz tiene un rango deficiente .
• Sólo una matriz cero tiene rango cero.
• f es inyectiva (o "uno a uno") si y sólo si A tiene rango n (en este caso, decimos que A tiene rango de columna completo ).
• f es sobreyectiva (o "sobre") si y sólo si A tiene rango m (en este caso, decimos que A tiene rango de fila completo ).
• Si A es una matriz cuadrada (es decir, m = n ), entonces A es invertible si y sólo si A tiene rango n (es decir, A tiene rango completo).
• Si B es cualquier matriz n × k , entonces
  $${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)\leq \min(\operatorname {rank} (A),\operatorname {rank} (B)).}$$
• Si B es una matriz n × k de rango n , entonces
  $${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (A).}$$
• Si C es una matriz l × m de rango m , entonces
  $${\displaystyle \operatorname {rank} (CA)=\operatorname {rank} (A).}$$
• El rango de A es igual a r si y sólo si existe una matriz X invertible de m × m y una matriz Y invertible de n × n tal que
  $${\displaystyle XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\\\end{bmatrix}},}$$
  donde I _r denota la matriz identidad r × r .
• Desigualdad de rango de Sylvester : si A es unamatriz m × n y B es n × k , entonces ^[ii]
  $${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB).}$$
  Éste es un caso especial de la siguiente desigualdad.
• La desigualdad debida a Frobenius : si se definen AB , ABC y BC ^{, entonces [iii]}
  $${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)\leq \operatorname {rank} (B)+\operatorname {rank} (ABC).}$$
• Subaditividad:
  $${\displaystyle \operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)}$$
  cuando A y B tienen la misma dimensión. Como consecuencia, una matriz de rango k se puede escribir como la suma de k matrices de rango 1, pero no menos.
• El rango de una matriz más la nulidad de la matriz es igual al número de columnas de la matriz. (Este es el teorema de rango-nulidad ).
• Si A es una matriz sobre números reales , entonces el rango de A y el rango de su correspondiente matriz de Gram son iguales. Así, para matrices reales
  $${\displaystyle \operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }A)=\operatorname {rank} (AA^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }).}$$
  Esto se puede demostrar demostrando la igualdad de sus espacios nulos . El espacio nulo de la matriz de Gram está dado por los vectores x para los cuales Si se cumple esta condición, también tenemos ^[11] ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =0.}$ ${\displaystyle 0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.}$
• Si A es una matriz sobre números complejos y denota el conjugado complejo de A y A ^∗ la transpuesta conjugada de A (es decir, el adjunto de A ), entonces ${\displaystyle {\overline {A}}}$
  $${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A^{*})=\operatorname {rank} (A^{*}A)=\operatorname {rank} (AA^{*}).}$$

Aplicaciones

Una aplicación útil del cálculo del rango de una matriz es el cálculo del número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales . Según el teorema de Rouché-Capelli , el sistema es inconsistente si el rango de la matriz aumentada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes . Si, por el contrario, los rangos de estas dos matrices son iguales, entonces el sistema debe tener al menos una solución. La solución es única si y sólo si el rango es igual al número de variables. De lo contrario, la solución general tiene k parámetros libres donde k es la diferencia entre el número de variables y el rango. En este caso (y suponiendo que el sistema de ecuaciones sea de números reales o complejos) el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones.

En teoría del control , el rango de una matriz se puede utilizar para determinar si un sistema lineal es controlable u observable .

En el campo de la complejidad de la comunicación , el rango de la matriz de comunicación de una función proporciona límites a la cantidad de comunicación necesaria para que dos partes calculen la función.

Generalización

Existen diferentes generalizaciones del concepto de rango para matrices sobre anillos arbitrarios , donde el rango de columna, el rango de fila, la dimensión del espacio de columna y la dimensión del espacio de fila de una matriz pueden ser diferentes de los demás o pueden no existir.

Pensando en las matrices como tensores , el rango tensorial se generaliza a tensores arbitrarios; para tensores de orden mayor que 2 (las matrices son tensores de orden 2), el rango es muy difícil de calcular, a diferencia de las matrices.

Existe una noción de rango para mapas suaves entre variedades suaves . Es igual al rango lineal de la derivada .

Matrices como tensores

El rango matricial no debe confundirse con el orden tensorial , que se denomina rango tensorial. El orden tensorial es el número de índices necesarios para escribir un tensor y, por lo tanto, todas las matrices tienen orden tensorial 2. Más precisamente, las matrices son tensores de tipo (1,1), que tienen un índice de fila y un índice de columna, también llamado orden covariante 1. y orden contravariante 1; consulte Tensor (definición intrínseca) para obtener más detalles.

El rango tensor de una matriz también puede significar el número mínimo de tensores simples necesarios para expresar la matriz como una combinación lineal, y que esta definición concuerda con el rango de la matriz como se analiza aquí.

Ver también

• rango matroide
• Rango no negativo (álgebra lineal)
• Rango (topología diferencial)
• Multicolinealidad
• dependencia lineal

Notas

1. La notación alternativa incluye Katznelson & Katznelson (2008, p. 52, §2.5.1) y Halmos (1974, p. 90, § 50). ${\displaystyle \rho (\Phi )}$
2. Prueba: aplicar el teorema de rango-nulidad a la desigualdad
   $${\displaystyle \dim \ker(AB)\leq \dim \ker(A)+\dim \ker(B).}$$
3. Prueba. El mapa
   $${\displaystyle C:\ker(ABC)/\ker(BC)\to \ker(AB)/\ker(B)}$$
   está bien definido y es inyectivo. De esta manera obtenemos la desigualdad en términos de dimensiones del núcleo, que luego puede convertirse en desigualdad en términos de rangos mediante el teorema de nulidad de rango . Alternativamente, si es un subespacio lineal entonces ; aplicar esta desigualdad al subespacio definido por el complemento ortogonal de la imagen de en la imagen de , cuya dimensión es ; Su imagen debajo tiene dimensión . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \dim(AM)\leq \dim(M)}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)}$

Referencias

1. Axler (2015) págs. 111-112, §§ 3.115, 3.119
2. romano (2005) pág. 48, § 1.16
3. Bourbaki, Álgebra , cap. II, §10.12, pág. 359
4. Mackiw, G. (1995), "Una nota sobre la igualdad del rango de columnas y filas de una matriz", Revista de Matemáticas , 68 (4): 285–286, doi :10.1080/0025570X.1995.11996337
5. Hefferon (2020) pág. 200, cap. 3, Definición 2.1
6. Katznelson y Katznelson (2008) pág. 52, § 2.5.1
7. Valenza (1993) pág. 71, § 4.3
8. Halmos (1974) pág. 90, artículo 50
9. Wardlaw, William P. (2005), "El rango de fila es igual al rango de columna", Revista de matemáticas , 78 (4): 316–318, doi :10.1080/0025570X.2005.11953349, S2CID  218542661
10. Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos de ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman y Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
11. Mirsky, Leonid (1955). Una introducción al álgebra lineal . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-66434-7.

Fuentes

• Axler, Sheldon (2015). Álgebra lineal bien hecha . Textos de Pregrado en Matemáticas (3ª ed.). Saltador . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Espacios vectoriales de dimensiones finitas . Textos de Pregrado en Matemáticas (2ª ed.). Saltador . ISBN 0-387-90093-4.
• Hefferon, Jim (2020). Álgebra lineal (4ª ed.). Editorial Ortogonal L3C. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Una introducción (concisa) al álgebra lineal . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Romano, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada . Textos de Pregrado en Matemáticas (2ª ed.). Saltador . ISBN 0-387-24766-1.
• Valenza, Robert J. (1993) [1951]. Álgebra lineal: una introducción a las matemáticas abstractas . Textos de Pregrado en Matemáticas (3ª ed.). Saltador . ISBN 3-540-94099-5.

Otras lecturas

• Roger A. Horn y Charles R. Johnson (1985). Análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-38632-6.
• Kaw, Autar K. Dos capítulos del libro Introducción al álgebra matricial: 1. Vectores [1] y sistema de ecuaciones [2]
• Mike Brookes: Manual de referencia de Matrix. [3]