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Rango (topología diferencial)

En matemáticas , el rango de una aplicación diferenciable entre variedades diferenciables en un punto es el rango de la derivada de en . Recuerde que la derivada de at es una aplicación lineal

desde el espacio tangente en p al espacio tangente en f ( p ). Como mapa lineal entre espacios vectoriales, tiene un rango bien definido, que es solo la dimensión de la imagen en T f ( p ) N :

Mapas de rango constante

Se dice que un mapa diferenciable f  : MN tiene rango constante si el rango de f es el mismo para todos los p en M . Los mapas de rango constante tienen varias propiedades interesantes y son un concepto importante en topología diferencial .

Se producen tres casos especiales de mapas de rango constante. Un mapa de rango constante f  : MN es

El mapa f en sí no necesita ser inyectivo, sobreyectivo o biyectivo para que se cumplan estas condiciones, sólo el comportamiento de la derivada es importante. Por ejemplo, hay mapas inyectivos que no son inmersiones e inmersiones que no son inyecciones. Sin embargo, si f  : MN es un mapa suave de rango constante, entonces

Los mapas de rango constante tienen una buena descripción en términos de coordenadas locales . Supongamos que M y N son variedades suaves de dimensiones myn respectivamente , y f  : MN es una aplicación suave con rango constante k . Entonces, para todo p en M existen coordenadas ( x 1 , ..., x m ) centradas en p y coordenadas ( y 1 , ..., y n ) centradas en f ( p ) tales que f está dada por

en estas coordenadas.

Ejemplos

El bloqueo del cardán se produce porque el mapa T 3RP 3 no tiene rango 3 en todos los puntos. Esta animación muestra un conjunto de tres cardanes montados juntos para permitir tres grados de libertad de manera genérica (rango 3 en puntos regulares). Cuando los tres cardanes están alineados (en el mismo plano), el sistema solo puede moverse en dos dimensiones desde esta configuración, no en tres (tiene rango 2 en un punto tan singular) y está en bloqueo de cardán . En este caso puede cabecear o guiñar, pero no rodar (girar en el plano en el que se encuentran todos los ejes).

Los mapas cuyo rango es genéricamente máximo, pero cae en ciertos puntos singulares, ocurren con frecuencia en sistemas de coordenadas . Por ejemplo, en coordenadas esféricas , el rango del mapa desde los dos ángulos hasta un punto de la esfera (formalmente, un mapa T 2S 2 desde el toro hasta la esfera) es 2 en puntos regulares, pero es sólo 1 en los polos norte y sur ( cenit y nadir ).

Un ejemplo más sutil ocurre en los gráficos de SO(3) , el grupo de rotación . Este grupo ocurre ampliamente en ingeniería, debido a que las rotaciones tridimensionales se utilizan mucho en navegación , ingeniería náutica e ingeniería aeroespacial , entre muchos otros usos. Topológicamente, SO(3) es el espacio proyectivo real RP 3 , y a menudo es deseable representar las rotaciones mediante un conjunto de tres números, conocidos como ángulos de Euler (en numerosas variantes), tanto porque es conceptualmente simple como porque se puede Construya una combinación de tres cardanes para producir rotaciones en tres dimensiones. Topológicamente esto corresponde a un mapa del 3-toro T 3 de tres ángulos al espacio proyectivo real RP 3 de rotaciones, pero este mapa no tiene rango 3 en todos los puntos (formalmente porque no puede ser un mapa de cobertura , como el único (no trivial) que cubre el espacio es la hiperesfera S 3 ), y el fenómeno de que el rango caiga a 2 en ciertos puntos se conoce en ingeniería como bloqueo de cardán .

Referencias