Factorización de rango

En matemáticas , dado un campo , enteros no negativos y una matriz , una descomposición de rangos o factorización de rangos de A es una factorización de A de la forma A = CF , donde y , donde es el rango de . ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {F} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle C\in \mathbb {F} ^{m\times r}}$ ${\displaystyle F\in \mathbb {F} ^{r\times n}}$ ${\displaystyle r=\operatorname {rank} A}$ ${\displaystyle A}$

Existencia

Toda matriz de dimensión finita tiene una descomposición de rango: Sea una matriz cuyo rango de columna es . Por lo tanto, hay columnas linealmente independientes en ; de manera equivalente, la dimensión del espacio columna de es . Sea cualquier base para el espacio columna de y colóquelas como vectores columna para formar la matriz . Por lo tanto, cada vector columna de es una combinación lineal de las columnas de . Para ser precisos, si es una matriz con la -ésima columna, entonces ${\textstyle A}$ ${\textstyle m\times n}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\ldots ,\mathbf {c} _{r}}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle m\times r}$ ${\textstyle C={\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{1}&\mathbf {c} _{2}&\cdots &\mathbf {c} _{r}\end{bmatrix}}}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle C}$ ${\textstyle A={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}}$ ${\textstyle m\times n}$ ${\textstyle \mathbf {a} _{j}}$ ${\textstyle j}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{j}=f_{1j}\mathbf {c} _{1}+f_{2j}\mathbf {c} _{2}+\cdots +f_{rj}\mathbf {c} _{r},}$

donde son los coeficientes escalares de en términos de la base . Esto implica que , ¿dónde está el -ésimo elemento de ? ${\textstyle f_{ij}}$ ${\textstyle \mathbf {a} _{j}}$ ${\textstyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\ldots ,\mathbf {c} _{r}}$ ${\textstyle A=CF}$ ${\textstyle f_{ij}}$ ${\textstyle (i,j)}$ ${\textstyle F}$

No unicidad

Si es una factorización de rango, tomando y da otra factorización de rango para cualquier matriz invertible de dimensiones compatibles. ${\textstyle A=C_{1}F_{1}}$ ${\textstyle C_{2}=C_{1}R}$ ${\textstyle F_{2}=R^{-1}F_{1}}$ ${\textstyle R}$

Por el contrario, si hay dos factorizaciones de rango de , entonces existe una matriz invertible tal que y . ^[1] ${\textstyle A=F_{1}G_{1}=F_{2}G_{2}}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle F_{1}=F_{2}R}$ ${\textstyle G_{1}=R^{-1}G_{2}}$

Construcción

Factorización de rangos a partir de formas escalonadas reducidas

En la práctica, podemos construir una factorización de rango específica de la siguiente manera: podemos calcular , la forma escalonada reducida por filas de . Luego se obtiene eliminando de todas las columnas que no son pivotes (lo que se puede determinar buscando columnas que no contengan un pivote) y se obtiene eliminando todas las filas de ceros . ${\textstyle B}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle C}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle F}$ ${\textstyle B}$

Nota: Para una matriz cuadrada de rango completo (es decir, cuando ), este procedimiento producirá el resultado trivial y (la matriz identidad ). ${\textstyle n=m=r}$ ${\textstyle C=A}$ ${\textstyle F=B=I_{n}}$ ${\textstyle n\times n}$

Ejemplo

Considere la matriz

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}=B{\text{.}}}$

${\textstyle B}$está en forma escalonada reducida.

Entonces se obtiene eliminando la tercera columna de , la única que no es una columna pivote, y eliminando la última fila de ceros de , por lo que ${\textstyle C}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle F}$ ${\textstyle B}$

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&3&4\\2&7&9\\1&5&1\\1&2&8\end{bmatrix}}{\text{,}}\qquad F={\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\text{.}}}$

Es sencillo comprobar que

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&4\\2&7&9\\1&5&1\\1&2&8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=CF{\text{.}}}$

Prueba

Sea una matriz de permutación tal que en forma dividida en bloques , donde las columnas de son las columnas pivote de . Cada columna de es una combinación lineal de las columnas de , por lo que existe una matriz tal que , donde las columnas de contienen los coeficientes de cada una de esas combinaciones lineales. Entonces , siendo la matriz identidad. Vamos a demostrar ahora que . ${\textstyle P}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle AP=(C,D)}$ ${\textstyle C}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle D}$ ${\textstyle C}$ ${\textstyle G}$ ${\textstyle D=CG}$ ${\textstyle G}$ ${\textstyle AP=(C,CG)=C(I_{r},G)}$ ${\textstyle I_{r}}$ ${\textstyle r\times r}$ ${\textstyle (I_{r},G)=FP}$

Transformar a su forma escalonada reducida equivale a multiplicar por la izquierda por una matriz que es producto de matrices elementales , entonces , donde . Luego podemos escribir , lo que nos permite identificar , es decir, las filas distintas de cero de la forma escalonada reducida, con la misma permutación en las columnas que hicimos para . Por lo tanto tenemos , y dado que es invertible, esto implica , y la prueba está completa. ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle E}$ ${\textstyle EAP=BP=EC(I_{r},G)}$ ${\textstyle EC={\begin{pmatrix}I_{r}\\0\end{pmatrix}}}$ ${\textstyle BP={\begin{pmatrix}I_{r}&G\\0&0\end{pmatrix}}}$ ${\textstyle (I_{r},G)=FP}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle AP=CFP}$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle A=CF}$

Descomposición de valores singulares

Si entonces también se puede construir una factorización de rango completo mediante una descomposición de valor singular ${\displaystyle \mathbb {F} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \},}$ ${\textstyle A}$

${\displaystyle A=U\Sigma V^{*}={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Sigma _{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}^{*}\\V_{2}^{*}\end{bmatrix}}=U_{1}\left(\Sigma _{r}V_{1}^{*}\right).}$

Como es una matriz de rango de columnas completas y una matriz de rango de filas completas, podemos tomar y . ${\textstyle U_{1}}$ ${\textstyle \Sigma _{r}V_{1}^{*}}$ ${\textstyle C=U_{1}}$ ${\textstyle F=\Sigma _{r}V_{1}^{*}}$

Consecuencias

rango(A) = rango(At)

Una consecuencia inmediata de la factorización de rangos es que el rango de es igual al rango de su transpuesta . Dado que las columnas de son las filas de , el rango de la columna de es igual al rango de la fila . ^[2] ${\textstyle A}$ ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$ ${\textstyle A}$

Prueba: para ver por qué esto es cierto, primero definamos rango como el rango de columna. Desde entonces , se deduce que . Según la definición de multiplicación de matrices , esto significa que cada columna de es una combinación lineal de las columnas de . Por lo tanto, el espacio de columna de está contenido dentro del espacio de columna de y, por tanto ,. ${\textstyle A=CF}$ ${\textstyle A^{\textsf {T}}=F^{\textsf {T}}C^{\textsf {T}}}$ ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$ ${\textstyle F^{\textsf {T}}}$ ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$ ${\textstyle F^{\textsf {T}}}$ ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)\leq \operatorname {rank} \left(F^{\textsf {T}}\right)}$

Ahora, es , entonces hay columnas en y, por lo tanto ,. Esto prueba que . ${\textstyle F^{\textsf {T}}}$ ${\textstyle n\times r}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle F^{\textsf {T}}}$ ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)\leq r=\operatorname {rank} \left(A\right)}$ ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)\leq \operatorname {rank} \left(A\right)}$

Ahora aplique el resultado a para obtener la desigualdad inversa: desde , podemos escribir . Esto lo prueba . ${\textstyle A^{\textsf {T}}}$ ${\textstyle \left(A^{\textsf {T}}\right)^{\textsf {T}}=A}$ ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A\right)=\operatorname {rank} \left(\left(A^{\textsf {T}}\right)^{\textsf {T}}\right)\leq \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)}$ ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A\right)\leq \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)}$

Por tanto, hemos demostrado y , así . ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)\leq \operatorname {rank} \left(A\right)}$ ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A\right)\leq \operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)}$ ${\textstyle \operatorname {rank} \left(A\right)=\operatorname {rank} \left(A^{\textsf {T}}\right)}$

Notas

1. Piziak, R.; Odell, PL (1 de junio de 1999). "Factorización de matrices de rango completo". Revista Matemáticas . 72 (3): 193. doi : 10.2307/2690882. JSTOR  2690882.
2. Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos de ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman y Hall/CRC, ISBN 978-1420095388

Referencias

• Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos de ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman y Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
• Lay, David C. (2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-70970-4
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Computaciones matriciales , Estudios Johns Hopkins en Ciencias Matemáticas (3.ª ed.), The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
• Stewart, Gilbert W. (1998), Algoritmos matriciales. I. Descomposiciones básicas , SIAM, ISBN 978-0-89871-414-2
• Piziak, R.; Odell, PL (1 de junio de 1999). "Factorización de matrices de rango completo". Revista Matemáticas . 72 (3): 193. doi : 10.2307/2690882. JSTOR  2690882.