Matriz que se diferencia de la matriz identidad en una operación de fila elemental
En matemáticas , una matriz elemental es una matriz que se diferencia de la matriz identidad por una única operación de fila elemental. Las matrices elementales generan el grupo lineal general GL n ( F ) cuando F es un campo . La multiplicación por la izquierda (premultiplicación) por una matriz elemental representa operaciones de fila elementales , mientras que la multiplicación por la derecha (postmultiplicación) representa operaciones de columna elementales .
Las operaciones elementales de filas se utilizan en la eliminación gaussiana para reducir una matriz a forma escalonada de filas . También se utilizan en la eliminación de Gauss-Jordan para reducir aún más la matriz a una forma escalonada de filas reducida .
Operaciones de fila elemental
Hay tres tipos de matrices elementales, que corresponden a tres tipos de operaciones con filas (respectivamente, operaciones con columnas):
- Cambio de fila
- Una fila dentro de la matriz se puede cambiar por otra fila.
- Multiplicación de filas
- Cada elemento de una fila se puede multiplicar por una constante distinta de cero. También se le conoce como escalar una fila.
- Adición de filas
- Una fila se puede reemplazar por la suma de esa fila y un múltiplo de otra fila.
Si E es una matriz elemental, como se describe a continuación, para aplicar la operación de fila elemental a una matriz A , se multiplica A por la matriz elemental de la izquierda, EA . La matriz elemental para cualquier operación de fila se obtiene ejecutando la operación sobre la matriz identidad . Este hecho puede entenderse como un ejemplo del lema de Yoneda aplicado a la categoría de matrices. [1]
Transformaciones de cambio de fila
El primer tipo de operación de fila en una matriz A cambia todos los elementos de la matriz en la fila i con sus contrapartes en una fila diferente j . La matriz elemental correspondiente se obtiene intercambiando la fila i y la fila j de la matriz identidad .
Entonces T i,j A es la matriz producida al intercambiar la fila i y la fila j de A.
En cuanto a los coeficientes, la matriz Ti ,j está definida por:
Propiedades
- La inversa de esta matriz es ella misma:
- Dado que el determinante de la matriz identidad es la unidad, se deduce que para cualquier matriz cuadrada A (del tamaño correcto), tenemos
- Por consideraciones teóricas, la transformación de cambio de filas se puede obtener a partir de las transformaciones de suma y multiplicación de filas que se presentan a continuación porque
Transformaciones de multiplicación de filas
El siguiente tipo de operación de fila en una matriz A multiplica todos los elementos de la fila i por m , donde m es un escalar distinto de cero (generalmente un número real). La matriz elemental correspondiente es una matriz diagonal, con entradas diagonales 1 en todas partes excepto en la i -ésima posición, donde es m .
Entonces D i ( m ) A es la matriz producida a partir de A multiplicando la fila i por m .
En cuanto a los coeficientes, la matriz Di ( m ) está definida por:
Propiedades
- La inversa de esta matriz está dada por
- La matriz y su inversa son matrices diagonales .
- Por lo tanto, para una matriz cuadrada A (del tamaño correcto), tenemos
Transformaciones de suma de filas
El último tipo de operación de fila en una matriz A suma la fila j multiplicada por un escalar m a la fila i . La matriz elemental correspondiente es la matriz identidad pero con una m en la posición ( i, j ) .
Entonces Lij ( m ) A es la matriz producida a partir de A sumando m por la fila j a la fila i . Y AL ij ( m ) es la matriz producida a partir de A sumando m multiplicado por la columna i a la columna j .
En cuanto a los coeficientes, la matriz L i,j ( m ) está definida por:
Propiedades
- Estas transformaciones son una especie de mapeo de corte , también conocido como transvecciones .
- La inversa de esta matriz está dada por
- La matriz y su inversa son matrices triangulares .
- Por lo tanto, para una matriz cuadrada A (del tamaño correcto) tenemos
- Las transformadas por suma de filas satisfacen las relaciones de Steinberg .
Ver también
Referencias
- ^ Perrone (2024), págs. 119-120
- Axler, Sheldon Jay (1997), Álgebra lineal bien hecha (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
- Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
- Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada, Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archivado desde el original el 31 de octubre de 2009.
- Perrone, Paolo (2024), Teoría de la categoría inicial, World Scientific, doi :10.1142/9789811286018_0005, ISBN 978-981-12-8600-1
- Poole, David (2006), Álgebra lineal: una introducción moderna (2ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
- Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (9ª ed.), Wiley International
- Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7ª ed.), Pearson Prentice Hall
- Strang, Gilbert (2016), Introducción al álgebra lineal (5.a ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6