Invariancia de escala

Características que no cambian si las escalas de longitud o energía se multiplican por un factor común

El proceso de Wiener es invariante en escala

En física , matemáticas y estadística , la invariancia de escala es una característica de los objetos o leyes que no cambian si las escalas de longitud, energía u otras variables se multiplican por un factor común y, por lo tanto, representan una universalidad.

El término técnico para esta transformación es dilatación (también conocida como dilatación ). Las dilataciones pueden formar parte de una simetría conforme más grande .

• En matemáticas, la invariancia de escala suele referirse a la invariancia de funciones o curvas individuales . Un concepto estrechamente relacionado es la autosimilitud , en la que una función o curva es invariante bajo un subconjunto discreto de las dilataciones. También es posible que las distribuciones de probabilidad de procesos aleatorios muestren este tipo de invariancia de escala o autosimilitud.
• En la teoría clásica de campos , la invariancia de escala se aplica más comúnmente a la invariancia de una teoría completa bajo dilataciones. Estas teorías suelen describir procesos físicos clásicos sin una escala de longitud característica.
• En la teoría cuántica de campos , la invariancia de escala tiene una interpretación en términos de física de partículas . En una teoría invariante de escala, la fuerza de las interacciones entre partículas no depende de la energía de las partículas involucradas.
• En mecánica estadística , la invariancia de escala es una característica de las transiciones de fase . La observación clave es que cerca de una transición de fase o punto crítico , ocurren fluctuaciones en todas las escalas de longitud y, por lo tanto, se debe buscar una teoría explícitamente invariante de escala para describir los fenómenos. Dichas teorías son teorías estadísticas de campo invariantes de escala y son formalmente muy similares a las teorías cuánticas de campo invariantes de escala.
• La universalidad es la observación de que sistemas microscópicos muy diferentes pueden mostrar el mismo comportamiento en una transición de fase. Por lo tanto, las transiciones de fase en muchos sistemas diferentes pueden describirse mediante la misma teoría subyacente invariante de escala.
• En general, las magnitudes adimensionales son invariantes en la escala. El concepto análogo en estadística son los momentos estandarizados , que son estadísticas invariantes en la escala de una variable, mientras que los momentos no estandarizados no lo son.

Curvas invariantes de escala y autosimilitud

En matemáticas, se pueden considerar las propiedades de escala de una función o curva f ( x ) bajo reescalamientos de la variable x . Es decir, se está interesado en la forma de f ( λx ) para algún factor de escala λ , que puede tomarse como un reescalamiento de longitud o tamaño. El requisito de que f ( x ) sea invariante bajo todos los reescalamientos se toma generalmente como

${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda ^{\Delta }f(x)}$

para una determinada elección de exponente Δ y para todas las dilataciones λ . Esto es equivalente a que f   sea una función homogénea de grado Δ.

Ejemplos de funciones invariantes de escala son los monomios , para los cuales Δ = n , en los que claramente ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

${\displaystyle f(\lambda x)=(\lambda x)^{n}=\lambda ^{n}f(x)~.}$

Un ejemplo de una curva invariante en la escala es la espiral logarítmica , un tipo de curva que aparece a menudo en la naturaleza. En coordenadas polares ( r , θ ) , la espiral se puede escribir como

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a)~.}$

Si se permiten rotaciones de la curva, esta es invariante bajo todos los reescalamientos λ ; es decir, θ ( λr ) es idéntico a una versión rotada de θ ( r ) .

Geometría proyectiva

La idea de invariancia de escala de un monomio se generaliza en dimensiones superiores a la idea de un polinomio homogéneo y, de manera más general, a una función homogénea . Las funciones homogéneas son los habitantes naturales del espacio proyectivo y los polinomios homogéneos se estudian como variedades proyectivas en la geometría proyectiva . La geometría proyectiva es un campo particularmente rico de las matemáticas; en sus formas más abstractas, la geometría de esquemas , tiene conexiones con varios temas de la teoría de cuerdas .

Fractales

Una curva de Koch es autosimilar .

A veces se dice que los fractales son invariantes en escala, aunque más precisamente, se debería decir que son autosimilares . Un fractal es igual a sí mismo típicamente solo para un conjunto discreto de valores λ , e incluso entonces puede ser necesario aplicar una traslación y una rotación para que el fractal coincida consigo mismo.

Así, por ejemplo, la curva de Koch escala con ∆ = 1 , pero la escala se cumple solo para valores de λ = 1/3 ⁿ para el entero n . Además, la curva de Koch no solo escala en el origen, sino, en cierto sentido, "en todas partes": se pueden encontrar copias en miniatura de sí misma a lo largo de la curva.

Algunos fractales pueden tener múltiples factores de escala en juego a la vez; dicha escala se estudia mediante análisis multifractal .

Los rayos periódicos externos e internos son curvas invariantes.

Invariancia de escala en procesos estocásticos

Si P ( f ) es la potencia promedio esperada en la frecuencia f , entonces el ruido escala como

${\displaystyle P(f)=\lambda ^{-\Delta }P(\lambda f)}$

con Δ = 0 para ruido blanco , Δ = −1 para ruido rosa y Δ = −2 para ruido browniano (y más generalmente, movimiento browniano ).

Más precisamente, el escalamiento en sistemas estocásticos se ocupa de la probabilidad de elegir una configuración particular del conjunto de todas las configuraciones aleatorias posibles. Esta probabilidad está dada por la distribución de probabilidad .

Ejemplos de distribuciones invariantes de escala son la distribución de Pareto y la distribución zipfiana .

Distribuciones Tweedie invariantes en escala

Las distribuciones Tweedie son un caso especial de modelos de dispersión exponencial , una clase de modelos estadísticos utilizados para describir distribuciones de error para el modelo lineal generalizado y caracterizados por el cierre bajo convolución aditiva y reproductiva, así como bajo transformación de escala. ^[1] Estas incluyen una serie de distribuciones comunes: la distribución normal , la distribución de Poisson y la distribución gamma , así como distribuciones más inusuales como la distribución compuesta de Poisson-gamma, distribuciones estables positivas y distribuciones estables extremas. Consecuente con su invariancia de escala inherente, las variables aleatorias Tweedie Y demuestran una ley de potencia de varianza var( Y ) a media E( Y ):

${\displaystyle {\text{var}}\,(Y)=a[{\text{E}}\,(Y)]^{p}}$,

donde a y p son constantes positivas. Esta variación de la ley de potencia media se conoce en la literatura de física como escala de fluctuación [ ^2] y en la literatura de ecología como ley de Taylor ^[3] .

Las secuencias aleatorias, regidas por las distribuciones Tweedie y evaluadas por el método de expansión de bins, exhiben una relación bicondicional entre la ley de potencia de varianza a media y las autocorrelaciones de la ley de potencia . El teorema de Wiener-Khinchin implica además que cualquier secuencia que exhiba una ley de potencia de varianza a media en estas condiciones también manifestará ruido 1/f . ^[4]

El teorema de convergencia de Tweedie proporciona una explicación hipotética para la amplia manifestación de la escala de fluctuación y el ruido 1/f . ^[5] Requiere, en esencia, que cualquier modelo de dispersión exponencial que manifieste asintóticamente una varianza con respecto a la ley de potencia media deberá expresar una función de varianza que se encuentre dentro del dominio de atracción de un modelo de Tweedie. Casi todas las funciones de distribución con funciones generadoras de cumulantes finitos califican como modelos de dispersión exponencial y la mayoría de los modelos de dispersión exponencial manifiestan funciones de varianza de esta forma. Por lo tanto, muchas distribuciones de probabilidad tienen funciones de varianza que expresan este comportamiento asintótico , y las distribuciones de Tweedie se convierten en focos de convergencia para una amplia gama de tipos de datos. ^[4]

Así como el teorema del límite central requiere que ciertos tipos de variables aleatorias tengan como foco de convergencia la distribución gaussiana y expresen ruido blanco , el teorema de convergencia de Tweedie requiere que ciertas variables aleatorias no gaussianas expresen ruido 1/f y escala de fluctuación. ^[4]

Cosmología

En la cosmología física , el espectro de potencia de la distribución espacial del fondo cósmico de microondas es casi una función invariante de escala. Aunque en matemáticas esto significa que el espectro es una ley de potencia, en cosmología el término "invariante de escala" indica que la amplitud, P ( k ) , de las fluctuaciones primordiales en función del número de onda , k , es aproximadamente constante, es decir, un espectro plano. Este patrón es coherente con la propuesta de inflación cósmica .

Invariancia de escala en la teoría clásica de campos

La teoría clásica de campos se describe genéricamente mediante un campo o un conjunto de campos, φ , que dependen de las coordenadas, x . Las configuraciones de campo válidas se determinan resolviendo ecuaciones diferenciales para φ , y estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de campo .

Para que una teoría sea invariante en la escala, sus ecuaciones de campo deben ser invariantes bajo un reescalamiento de las coordenadas, combinado con algún reescalamiento específico de los campos.

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x~,}$

${\displaystyle \varphi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\varphi ~.}$

El parámetro Δ se conoce como la dimensión de escala del campo y su valor depende de la teoría en cuestión. La invariancia de escala se cumple normalmente siempre que no aparezca una escala de longitud fija en la teoría. Por el contrario, la presencia de una escala de longitud fija indica que una teoría no es invariante de escala.

Una consecuencia de la invariancia de escala es que, dada una solución de una ecuación de campo invariante de escala, podemos encontrar automáticamente otras soluciones reescalando tanto las coordenadas como los campos de manera apropiada. En términos técnicos, dada una solución, φ ( x ), siempre tenemos otras soluciones de la forma

${\displaystyle \lambda ^{\Delta }\varphi (\lambda x).}$

Invariancia de escala de las configuraciones de campo

Para que una configuración de campo particular, φ ( x ), sea invariante en escala, requerimos que

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda ^{-\Delta }\varphi (\lambda x)}$

donde Δ es, nuevamente, la dimensión de escala del campo.

Observamos que esta condición es bastante restrictiva. En general, las soluciones incluso de ecuaciones de campo invariantes en la escala no serán invariantes en la escala y, en tales casos, se dice que la simetría se rompe espontáneamente .

Electromagnetismo clásico

Un ejemplo de una teoría de campos clásica invariante de escala es el electromagnetismo sin cargas ni corrientes. Los campos son los campos eléctrico y magnético, E ( x , t ) y B ( x , t ), mientras que sus ecuaciones de campo son las ecuaciones de Maxwell .

Sin cargas ni corrientes, estas ecuaciones de campo toman la forma de ecuaciones de onda.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\[6pt]\nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$

donde c es la velocidad de la luz.

Estas ecuaciones de campo son invariantes bajo la transformación

${\displaystyle {\begin{aligned}x\rightarrow \lambda x,\\[6pt]t\rightarrow \lambda t.\end{aligned}}}$

Además, dadas soluciones de las ecuaciones de Maxwell, E ( x , t ) y B ( x , t ), se cumple que E ( λ x , λt ) y B ( λ x , λt ) también son soluciones.

Teoría de campos escalares sin masa

Otro ejemplo de una teoría de campos clásica invariante en la escala es el campo escalar sin masa (nótese que el nombre escalar no está relacionado con la invariancia de escala). El campo escalar, φ ( x , t ) es una función de un conjunto de variables espaciales, x , y una variable temporal, t .

Consideremos primero la teoría lineal. Al igual que las ecuaciones del campo electromagnético anteriores, la ecuación de movimiento para esta teoría también es una ecuación de onda.

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi =0,}$

y es invariante bajo la transformación

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda t.}$

El nombre sin masa se refiere a la ausencia de un término en la ecuación de campo. A este término se lo suele denominar término de "masa" y rompería la invariancia bajo la transformación anterior. En las teorías de campo relativistas , una escala de masa, m, es físicamente equivalente a una escala de longitud fija a través de ${\displaystyle \propto m^{2}\varphi }$

${\displaystyle L={\frac {\hbar }{mc}},}$

y por lo tanto no debería sorprender que la teoría de campos escalares masivos no sea invariante en escala.

φ⁴teoría

Las ecuaciones de campo en los ejemplos anteriores son todas lineales en los campos, lo que ha significado que la dimensión de escala Δ no ha sido tan importante. Sin embargo, normalmente se requiere que la acción del campo escalar sea adimensional, y esto fija la dimensión de escala de φ . En particular,

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}},}$

donde D es el número combinado de dimensiones espaciales y temporales.

Dada esta dimensión de escala para φ , existen ciertas modificaciones no lineales de la teoría de campos escalares sin masa que también son invariantes en la escala. Un ejemplo es la teoría de φ ⁴ sin masa para D  = 4. La ecuación de campo es

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi +g\varphi ^{3}=0.}$

(Tenga en cuenta que el nombre φ ⁴ deriva de la forma del Lagrangiano , que contiene la cuarta potencia de φ ).

Cuando D  = 4 (por ejemplo, tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal), la dimensión de escala del campo escalar es Δ = 1. La ecuación del campo es entonces invariante bajo la transformación.

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda t,}$

${\displaystyle \varphi (x)\rightarrow \lambda ^{-1}\varphi (x).}$

El punto clave es que el parámetro g debe ser adimensional, de lo contrario se introduce una escala de longitud fija en la teoría: para la teoría φ ⁴ , este solo es el caso en D  = 4. Nótese que bajo estas transformaciones el argumento de la función φ no cambia.

Invariancia de escala en la teoría cuántica de campos

La dependencia de la escala de una teoría cuántica de campos (QFT) se caracteriza por la forma en que sus parámetros de acoplamiento dependen de la escala energética de un proceso físico determinado. Esta dependencia energética se describe mediante el grupo de renormalización y está codificada en las funciones beta de la teoría.

Para que una teoría cuántica de campos sea invariante en cuanto a la escala, sus parámetros de acoplamiento deben ser independientes de la escala de energía, y esto se indica mediante la desaparición de las funciones beta de la teoría. Estas teorías también se conocen como puntos fijos del flujo del grupo de renormalización correspondiente. ^[6]

Electrodinámica cuántica

Un ejemplo sencillo de una teoría cuántica de campos invariante en la escala es el campo electromagnético cuantizado sin partículas cargadas. Esta teoría en realidad no tiene parámetros de acoplamiento (ya que los fotones no tienen masa y no interactúan) y, por lo tanto, es invariante en la escala, de forma muy similar a la teoría clásica.

Sin embargo, en la naturaleza el campo electromagnético está acoplado a partículas cargadas, como los electrones . La teoría cuántica de campos que describe las interacciones de los fotones y las partículas cargadas es la electrodinámica cuántica (EDQ), y esta teoría no es invariante en la escala. Podemos ver esto a partir de la función beta de la EQQ . Esta nos dice que la carga eléctrica (que es el parámetro de acoplamiento en la teoría) aumenta con el aumento de la energía. Por lo tanto, mientras que el campo electromagnético cuantizado sin partículas cargadas es invariante en la escala, la EQQ no lo es .

Teoría de campos escalares sin masa

La teoría de campos escalares cuantizados , libres y sin masa, no tiene parámetros de acoplamiento. Por lo tanto, al igual que la versión clásica, es invariante en escala. En el lenguaje del grupo de renormalización, esta teoría se conoce como el punto fijo gaussiano .

Sin embargo, aunque la teoría clásica sin masa φ ⁴ es invariante en la escala en D  = 4, la versión cuantificada no lo es. Podemos ver esto a partir de la función beta para el parámetro de acoplamiento, g .

Aunque el φ ⁴ sin masa cuantificado no es invariante en la escala, existen teorías de campos escalares cuantificados invariantes en la escala distintas del punto fijo gaussiano. Un ejemplo es el punto fijo de Wilson-Fisher , que se muestra a continuación.

Teoría de campos conforme

Las QFT invariantes en escala son casi siempre invariantes bajo la simetría conforme completa , y el estudio de dichas QFT es la teoría conforme de campos (CFT). Los operadores en una CFT tienen una dimensión de escala bien definida , análoga a la dimensión de escala , ∆ , de un campo clásico discutido anteriormente. Sin embargo, las dimensiones de escala de los operadores en una CFT normalmente difieren de las de los campos en la teoría clásica correspondiente. Las contribuciones adicionales que aparecen en la CFT se conocen como dimensiones de escala anómalas .

Anomalías de escala y conformidad

El ejemplo de la teoría φ ⁴ anterior demuestra que los parámetros de acoplamiento de una teoría cuántica de campos pueden ser dependientes de la escala incluso si la teoría clásica de campos correspondiente es invariante de escala (o invariante conforme). Si este es el caso, se dice que la invariancia de escala clásica (o conforme) es anómala . Una teoría de campos clásicamente invariante de escala, donde la invariancia de escala se rompe por efectos cuánticos, proporciona una explicación de la expansión casi exponencial del universo primitivo llamada inflación cósmica , siempre que la teoría pueda estudiarse a través de la teoría de perturbaciones . ^[7]

Transiciones de fase

En mecánica estadística , cuando un sistema experimenta una transición de fase , sus fluctuaciones se describen mediante una teoría estadística de campos invariante en la escala . Para un sistema en equilibrio (es decir, independiente del tiempo) en D dimensiones espaciales, la teoría estadística de campos correspondiente es formalmente similar a una CFT de D dimensiones. Las dimensiones de escala en tales problemas se denominan generalmente exponentes críticos y, en principio, se pueden calcular estos exponentes en la CFT adecuada.

El modelo de Ising

Un ejemplo que vincula muchas de las ideas de este artículo es la transición de fase del modelo de Ising , un modelo simple de sustancias ferromagnéticas . Se trata de un modelo de mecánica estadística, que también tiene una descripción en términos de teoría de campos conformes. El sistema consta de una matriz de sitios reticulares, que forman una red periódica de dimensión D. Asociado a cada sitio reticular hay un momento magnético , o espín , y este espín puede tomar el valor +1 o −1. (Estos estados también se denominan arriba y abajo, respectivamente).

El punto clave es que el modelo de Ising tiene una interacción espín-espín, lo que hace que sea energéticamente favorable que dos espines adyacentes estén alineados. Por otro lado, las fluctuaciones térmicas suelen introducir una aleatoriedad en la alineación de los espines. A una temperatura crítica, T _c , se dice que se produce magnetización espontánea . Esto significa que por debajo de T _c la interacción espín-espín comenzará a dominar y habrá cierta alineación neta de espines en una de las dos direcciones.

Un ejemplo del tipo de magnitudes físicas que se desea calcular a esta temperatura crítica es la correlación entre espines separados por una distancia r . Su comportamiento genérico es el siguiente:

${\displaystyle G(r)\propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}},}$

para algún valor particular de , que es un ejemplo de un exponente crítico. ${\displaystyle \eta }$

Descripción de CFT

Las fluctuaciones a temperatura T _c son invariantes en la escala, por lo que se espera que el modelo de Ising en esta transición de fase se describa mediante una teoría de campo estadística invariante en la escala. De hecho, esta teoría es el punto fijo de Wilson-Fisher , una teoría de campo escalar particular invariante en la escala .

En este contexto, G ( r ) se entiende como una función de correlación de campos escalares,

${\displaystyle \langle \phi (0)\phi (r)\rangle \propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}}.}$

Ahora podemos unir algunas de las ideas que ya hemos visto.

De lo anterior se desprende que el exponente crítico, η , para esta transición de fase, también es una dimensión anómala . Esto se debe a que la dimensión clásica del campo escalar,

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}}}$

se modifica para convertirse en

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2+\eta }{2}},}$

donde D es el número de dimensiones de la red del modelo de Ising.

Por lo tanto, esta dimensión anómala en la teoría del campo conforme es la misma que un exponente crítico particular de la transición de fase del modelo de Ising.

Nótese que para la dimensión D ≡ 4− ε , η se puede calcular aproximadamente, utilizando la expansión épsilon , y se encuentra que

${\displaystyle \eta ={\frac {\epsilon ^{2}}{54}}+O(\epsilon ^{3})}$.

En el caso físicamente interesante de tres dimensiones espaciales, tenemos ε = 1, por lo que esta expansión no es estrictamente confiable. Sin embargo, una predicción semicuantitativa es que η es numéricamente pequeño en tres dimensiones.

Por otra parte, en el caso bidimensional el modelo de Ising es exactamente soluble. En particular, es equivalente a uno de los modelos mínimos , una familia de CFT bien entendidas, y es posible calcular η (y los otros exponentes críticos) exactamente,

${\displaystyle \eta _{_{D=2}}={\frac {1}{4}}}$.

Evolución de Schramm-Loewner

Las dimensiones anómalas en ciertas CFT bidimensionales pueden relacionarse con las dimensiones fractales típicas de los paseos aleatorios, donde los paseos aleatorios se definen a través de la evolución de Schramm-Loewner (SLE). Como hemos visto anteriormente, las CFT describen la física de las transiciones de fase, y por lo tanto se pueden relacionar los exponentes críticos de ciertas transiciones de fase con estas dimensiones fractales. Algunos ejemplos incluyen el modelo crítico de Ising en 2 d y el modelo crítico de Potts en 2 d más general . Relacionar otras CFT en 2 d con SLE es un área activa de investigación.

Universalidad

En una gran variedad de sistemas físicos se observa un fenómeno conocido como universalidad . Expresa la idea de que diferentes físicas microscópicas pueden dar lugar al mismo comportamiento de escala en una transición de fase. Un ejemplo canónico de universalidad implica los dos sistemas siguientes:

• La transición de fase del modelo de Ising , descrita anteriormente.
• La transición líquido - vapor en fluidos clásicos.

Aunque la física microscópica de estos dos sistemas es completamente diferente, sus exponentes críticos resultan ser los mismos. Además, se pueden calcular estos exponentes utilizando la misma teoría estadística de campos. La observación clave es que en una transición de fase o punto crítico , se producen fluctuaciones en todas las escalas de longitud y, por lo tanto, se debe buscar una teoría estadística de campos invariante en la escala para describir los fenómenos. En cierto sentido, la universalidad es la observación de que hay relativamente pocas teorías invariantes en la escala.

El conjunto de diferentes teorías microscópicas descritas por la misma teoría invariante de escala se conoce como clase de universalidad . Otros ejemplos de sistemas que pertenecen a una clase de universalidad son:

• Avalanchas en montones de arena. La probabilidad de que se produzca una avalancha es proporcional a su tamaño, y se observan avalanchas en todas las escalas de tamaño.
• La frecuencia de las interrupciones de la red en Internet , en función del tamaño y la duración.
• La frecuencia de citas de artículos de revistas, considerada en la red de todas las citas entre todos los artículos, en función del número de citas en un artículo determinado. ^{[ cita necesaria ]}
• Formación y propagación de grietas y desgarros en materiales que van desde el acero hasta la piedra y el papel. Las variaciones en la dirección del desgarro o la rugosidad de una superficie fracturada son proporcionales a la escala de tamaño.
• La ruptura eléctrica de los dieléctricos , que se asemejan a grietas y desgarros.
• La percolación de fluidos a través de medios desordenados, como el petróleo a través de lechos de roca fracturados, o el agua a través de papel de filtro, como en la cromatografía . La escala de ley de potencia conecta la velocidad del flujo con la distribución de las fracturas.
• La difusión de moléculas en solución y el fenómeno de agregación limitada por difusión .
• La distribución de rocas de diferentes tamaños en una mezcla de agregados que se agita (con la gravedad actuando sobre las rocas).

La observación clave es que, para todos estos sistemas diferentes, el comportamiento se asemeja a una transición de fase , y que el lenguaje de la mecánica estadística y la teoría de campos estadísticos invariantes de escala puede aplicarse para describirlos.

Otros ejemplos de invariancia de escala

Mecánica de fluidos newtoniana sin fuerzas aplicadas

En determinadas circunstancias, la mecánica de fluidos es una teoría de campos clásica invariante de escala. Los campos son la velocidad del flujo del fluido, , la densidad del fluido, , y la presión del fluido, . Estos campos deben satisfacer tanto la ecuación de Navier-Stokes como la ecuación de continuidad . Para un fluido newtoniano, estos campos toman las formas respectivas ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$

$${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-\nabla P+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right)}$$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0}$

¿Dónde está la viscosidad dinámica ? ${\displaystyle \mu }$

Para deducir la invariancia de escala de estas ecuaciones especificamos una ecuación de estado , relacionando la presión del fluido con la densidad del mismo. La ecuación de estado depende del tipo de fluido y de las condiciones a las que está sometido. Por ejemplo, consideramos el gas ideal isotérmico , que satisface

${\displaystyle P=c_{s}^{2}\rho ,}$

donde es la velocidad del sonido en el fluido. Dada esta ecuación de estado, Navier-Stokes y la ecuación de continuidad son invariantes bajo las transformaciones ${\displaystyle c_{s}}$

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{2}t,}$

${\displaystyle \rho \rightarrow \lambda ^{-1}\rho ,}$

${\displaystyle \mathbf {u} \rightarrow \lambda ^{-1}\mathbf {u} .}$

Dadas las soluciones y , automáticamente tenemos que y también son soluciones. ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \lambda \mathbf {u} (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$ ${\displaystyle \lambda \rho (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$

Visión por computadora

En la visión artificial y la visión biológica , las transformaciones de escala surgen debido al mapeo de imágenes en perspectiva y debido a que los objetos tienen diferentes tamaños físicos en el mundo. En estas áreas, la invariancia de escala se refiere a los descriptores de imágenes locales o representaciones visuales de los datos de imagen que permanecen invariantes cuando se cambia la escala local en el dominio de la imagen. ^[8] La detección de máximos locales sobre escalas de respuestas derivadas normalizadas proporciona un marco general para obtener la invariancia de escala a partir de datos de imagen. ^{[9] [10]} Los ejemplos de aplicaciones incluyen la detección de manchas , la detección de esquinas , la detección de crestas y el reconocimiento de objetos a través de la transformación de características invariantes de escala .

Véase también

• Invariante (matemáticas)
• Potencial cuadrado inverso
• Ley de potencia
• Red sin escala

Referencias

1. Jørgensen, B. (1997). La teoría de los modelos de dispersión . Londres: Chapman & Hall. ISBN 978-0412997112.
2. Eisler, Z.; Bartos, I.; Kertész, J. (2008). "Escalamiento de fluctuaciones en sistemas complejos: la ley de Taylor y más allá". Adv Phys . 57 (1): 89–142. arXiv : 0708.2053 . Código Bibliográfico :2008AdPhy..57...89E. doi :10.1080/00018730801893043. S2CID  119608542.
3. Kendal, WS; Jørgensen, B. (2011). "Ley de potencia de Taylor y escala de fluctuación explicada por una convergencia de tipo límite central". Phys. Rev. E . 83 (6): 066115. Bibcode :2011PhRvE..83f6115K. doi :10.1103/PhysRevE.83.066115. PMID  21797449.
4. Kendal, WS; Jørgensen, B. (2011). "Convergencia de Tweedie: una base matemática para la ley de potencia de Taylor, ruido 1/f y multifractalidad" (PDF) . Phys. Rev. E . 84 (6): 066120. Bibcode :2011PhRvE..84f6120K. doi :10.1103/PhysRevE.84.066120. PMID  22304168.
5. Jørgensen, B.; Martínez, JR; Tsao, M. (1994). "Comportamiento asintótico de la función de varianza". Scand J Statist . 21 (3): 223–243. JSTOR  4616314.
6. J. Zinn-Justin (2010) Artículo de Scholarpedia "Fenómenos críticos: enfoque teórico de campo".
7. Salvio, Strumia (17 de marzo de 2014). "Agravedad". JHEP . 2014 (6): 080. arXiv : 1403.4226 . Código Bib : 2014JHEP...06..080S. doi :10.1007/JHEP06(2014)080. S2CID  256010671.
8. Lindeberg, T. (2013) Invariancia de las operaciones visuales a nivel de campos receptivos, PLoS ONE 8(7):e66990.
9. Lindeberg, Tony (1998). "Detección de características con selección automática de escala". Revista Internacional de Visión por Computador . 30 (2): 79–116. doi :10.1023/A:1008045108935. S2CID  723210.
10. T. Lindeberg (2014) "Selección de escala", Computer Vision: A Reference Guide, (K. Ikeuchi, Editor), Springer, páginas 701-713.

Lectura adicional

• Zinn-Justin, Jean (2002). Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos . Oxford University Press.Amplia discusión sobre la invariancia de escala en las teorías de campos cuánticos y estadísticos, aplicaciones a fenómenos críticos y la expansión épsilon y temas relacionados.
• DiFrancesco, P.; Mathieu, P.; Senechal, D. (1997). Teoría de campos conformes . Springer-Verlag.
• Mussardo, G. (2010). Teoría estadística de campos. Introducción a los modelos de física estadística resueltos con exactitud . Oxford University Press.