Invariancia de escala

Características que no cambian si las escalas de longitud o energía se multiplican por un factor común

El proceso de Wiener es invariante en escala.

En física , matemáticas y estadística , la invariancia de escala es una característica de los objetos o leyes que no cambian si las escalas de longitud, energía u otras variables se multiplican por un factor común y, por lo tanto, representan una universalidad.

El término técnico para esta transformación es dilatación (también conocida como dilatación ). Las dilataciones pueden formar parte de una simetría conforme más amplia .

• En matemáticas, la invariancia de escala generalmente se refiere a una invariancia de funciones o curvas individuales . Un concepto estrechamente relacionado es el de autosimilitud , donde una función o curva es invariante bajo un subconjunto discreto de dilataciones. También es posible que las distribuciones de probabilidad de procesos aleatorios muestren este tipo de invariancia de escala o autosemejanza.
• En la teoría de campos clásica , la invariancia de escala se aplica más comúnmente a la invariancia de una teoría completa bajo dilataciones. Estas teorías suelen describir procesos físicos clásicos sin una escala de longitud característica.
• En la teoría cuántica de campos , la invariancia de escala tiene una interpretación en términos de física de partículas . En una teoría de invariancia de escala, la fuerza de las interacciones entre partículas no depende de la energía de las partículas involucradas.
• En mecánica estadística , la invariancia de escala es una característica de las transiciones de fase . La observación clave es que cerca de una transición de fase o punto crítico , se producen fluctuaciones en todas las escalas de longitud y, por lo tanto, se debe buscar una teoría explícitamente invariante de escala para describir los fenómenos. Estas teorías son teorías estadísticas de campos invariantes de escala y formalmente son muy similares a las teorías cuánticas de campos invariantes de escala.
• La universalidad es la observación de que sistemas microscópicos muy diferentes pueden mostrar el mismo comportamiento en una transición de fase. Por tanto, las transiciones de fase en muchos sistemas diferentes pueden describirse mediante la misma teoría subyacente de invariancia de escala.
• En general, las cantidades adimensionales son invariantes de escala. El concepto análogo en estadística son momentos estandarizados , que son estadísticas invariantes de escala de una variable, mientras que los momentos no estandarizados no lo son.

Curvas invariantes de escala y autosimilitud.

En matemáticas, se pueden considerar las propiedades de escala de una función o curva f ( x ) bajo cambios de escala de la variable x . Es decir, uno está interesado en la forma de f ( λx ) para algún factor de escala λ , que puede considerarse como un cambio de escala de longitud o tamaño. El requisito de que f ( x ) sea invariante en todos los cambios de escala generalmente se considera que es

${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda ^{\Delta }f(x)}$

para alguna elección de exponente Δ, y para todas las dilataciones λ . Esto equivale a que f   sea una función homogénea de grado Δ.

Ejemplos de funciones invariantes de escala son los monomios , para los cuales Δ = n , en el sentido de que claramente ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

${\displaystyle f(\lambda x)=(\lambda x)^{n}=\lambda ^{n}f(x)~.}$

Un ejemplo de curva invariante de escala es la espiral logarítmica , un tipo de curva que suele aparecer en la naturaleza. En coordenadas polares ( r , θ ) , la espiral se puede escribir como

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a)~.}$

Teniendo en cuenta las rotaciones de la curva, es invariante en todos los cambios de escala λ ; es decir, θ ( λr ) es idéntico a una versión rotada de θ ( r ) .

Geometría proyectiva

La idea de invariancia de escala de un monomio se generaliza en dimensiones superiores a la idea de un polinomio homogéneo y, más generalmente, a una función homogénea . Las funciones homogéneas son los habitantes naturales del espacio proyectivo , y los polinomios homogéneos se estudian como variedades proyectivas en geometría proyectiva . La geometría proyectiva es un campo de las matemáticas particularmente rico; en sus formas más abstractas, la geometría de esquemas , tiene conexiones con diversos temas de la teoría de cuerdas .

Fractales

Una curva de Koch es autosemejante .

A veces se dice que los fractales son invariantes de escala, aunque más precisamente habría que decir que son autosemejantes . Un fractal es igual a sí mismo normalmente sólo para un conjunto discreto de valores λ , e incluso entonces es posible que sea necesario aplicar una traslación y rotación para hacer coincidir el fractal con él mismo.

Así, por ejemplo, la curva de Koch escala con ∆ = 1 , pero la escala es válida solo para valores de λ = 1/3 ⁿ para el número entero n . Además, la curva de Koch escala no sólo en el origen, sino, en cierto sentido, "en todas partes": se pueden encontrar copias en miniatura de sí misma a lo largo de toda la curva.

Algunos fractales pueden tener múltiples factores de escala en juego a la vez; dicha escala se estudia con análisis multifractal .

Los rayos periódicos externos e internos son curvas invariantes.

Invariancia de escala en procesos estocásticos.

Si P ( f ) es la potencia promedio esperada a la frecuencia f , entonces el ruido escala como

${\displaystyle P(f)=\lambda ^{-\Delta }P(\lambda f)}$

con Δ = 0 para ruido blanco , Δ = −1 para ruido rosa y Δ = −2 para ruido browniano (y, más generalmente, movimiento browniano ).

Más precisamente, el escalamiento en sistemas estocásticos se ocupa de la probabilidad de elegir una configuración particular del conjunto de todas las configuraciones aleatorias posibles. Esta probabilidad viene dada por la distribución de probabilidad .

Ejemplos de distribuciones invariantes de escala son la distribución de Pareto y la distribución Zipfiana .

Distribuciones Tweedie invariantes de escala

Las distribuciones Tweedie son un caso especial de modelos de dispersión exponencial , una clase de modelos estadísticos utilizados para describir distribuciones de error para el modelo lineal generalizado y caracterizados por el cierre bajo convolución aditiva y reproductiva, así como bajo transformación de escala. ^[1] Estas incluyen una serie de distribuciones comunes: la distribución normal , la distribución de Poisson y la distribución gamma , así como distribuciones más inusuales como la distribución compuesta de Poisson-gamma, distribuciones estables positivas y distribuciones extremadamente estables. Como consecuencia de su invariancia de escala inherente, las variables aleatorias de Tweedie Y demuestran una varianza var( Y ) para significar la ley de potencia E( Y ):

${\displaystyle {\text{var}}\,(Y)=a[{\text{E}}\,(Y)]^{p}}$,

donde a y p son constantes positivas. Esta variación de la ley de potencia media se conoce en la literatura de física como escala de fluctuación , ^[2] y en la literatura de ecología como ley de Taylor . ^[3]

Las secuencias aleatorias, gobernadas por las distribuciones de Tweedie y evaluadas mediante el método de expansión de contenedores exhiben una relación bicondicional entre la varianza de la ley de potencia media y las autocorrelaciones de la ley de potencia . El teorema de Wiener-Khinchin implica además que cualquier secuencia que presente una variación de la ley de potencia media en estas condiciones también manifestará ruido 1/f . ^[4]

El teorema de convergencia de Tweedie proporciona una explicación hipotética para la amplia manifestación del escalamiento de fluctuación y el ruido 1/f . ^[5] Requiere, en esencia, que cualquier modelo de dispersión exponencial que manifieste asintóticamente una varianza de la ley de potencia media deberá expresar una función de varianza que entre en el dominio de atracción de un modelo Tweedie. Casi todas las funciones de distribución con funciones generadoras de acumuladores finitos califican como modelos de dispersión exponencial y la mayoría de los modelos de dispersión exponencial manifiestan funciones de varianza de esta forma. Por lo tanto, muchas distribuciones de probabilidad tienen funciones de varianza que expresan este comportamiento asintótico , y las distribuciones Tweedie se convierten en focos de convergencia para una amplia gama de tipos de datos. ^[4]

Así como el teorema del límite central requiere que ciertos tipos de variables aleatorias tengan como foco de convergencia la distribución gaussiana y expresen ruido blanco , el teorema de convergencia de Tweedie requiere ciertas variables aleatorias no gaussianas para expresar ruido 1/f y escala de fluctuación. ^[4]

Cosmología

En cosmología física , el espectro de potencia de la distribución espacial del fondo cósmico de microondas está cerca de ser una función invariante de escala. Aunque en matemáticas esto significa que el espectro es una ley potencial, en cosmología el término "invariante de escala" indica que la amplitud, P ( k ) , de las fluctuaciones primordiales en función del número de onda , k , es aproximadamente constante, es decir un espectro plano. Este patrón es consistente con la propuesta de inflación cósmica .

Invariancia de escala en la teoría de campos clásica

La teoría de campos clásica se describe genéricamente por un campo, o conjunto de campos, φ , que dependen de las coordenadas, x . Luego, las configuraciones de campo válidas se determinan resolviendo ecuaciones diferenciales para φ , y estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de campo .

Para que una teoría sea invariante de escala, sus ecuaciones de campo deben ser invariantes bajo un cambio de escala de las coordenadas, combinado con algún cambio de escala específico de los campos.

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x~,}$

${\displaystyle \varphi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\varphi ~.}$

El parámetro Δ se conoce como dimensión de escala del campo y su valor depende de la teoría considerada. La invariancia de escala normalmente se mantendrá siempre que no aparezca una escala de longitud fija en la teoría. Por el contrario, la presencia de una escala de longitud fija indica que una teoría no es invariante en escala.

Una consecuencia de la invariancia de escala es que dada una solución de una ecuación de campo invariante de escala, podemos encontrar automáticamente otras soluciones cambiando la escala tanto de las coordenadas como de los campos de manera apropiada. En términos técnicos, dada una solución, φ ( x ), siempre se tienen otras soluciones de la forma

${\displaystyle \lambda ^{\Delta }\varphi (\lambda x).}$

Invariancia de escala de configuraciones de campo.

Para que una configuración de campo particular, φ ( x ), sea invariante de escala, requerimos que

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda ^{-\Delta }\varphi (\lambda x)}$

donde Δ es, nuevamente, la dimensión de escala del campo.

Observamos que esta condición es bastante restrictiva. En general, las soluciones incluso de ecuaciones de campo invariantes de escala no serán invariantes de escala y, en tales casos, se dice que la simetría se rompe espontáneamente .

Electromagnetismo clásico

Un ejemplo de teoría de campo clásica invariante de escala es el electromagnetismo sin cargas ni corrientes. Los campos son los campos eléctrico y magnético, E ( x , t ) y B ( x , t ), mientras que sus ecuaciones de campo son las ecuaciones de Maxwell .

Sin cargas ni corrientes, estas ecuaciones de campo toman la forma de ecuaciones de onda.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\[6pt]\nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$

donde c es la velocidad de la luz.

Estas ecuaciones de campo son invariantes bajo la transformación.

${\displaystyle {\begin{aligned}x\rightarrow \lambda x,\\[6pt]t\rightarrow \lambda t.\end{aligned}}}$

Además, dadas las soluciones de las ecuaciones de Maxwell, E ( x , t ) y B ( x , t ), se cumple que E ( λ x , λt ) y B ( λ x , λt ) también son soluciones.

Teoría de campos escalares sin masa

Otro ejemplo de teoría de campo clásica invariante de escala es el campo escalar sin masa (tenga en cuenta que el nombre escalar no está relacionado con la invariancia de escala). El campo escalar, φ ( x , t ) es una función de un conjunto de variables espaciales, x , y una variable de tiempo, t .

Consideremos primero la teoría lineal. Al igual que las ecuaciones del campo electromagnético anteriores, la ecuación de movimiento de esta teoría también es una ecuación de onda,

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi =0,}$

y es invariante bajo la transformación

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda t.}$

El nombre sin masa se refiere a la ausencia de un término en la ecuación de campo. Este término a menudo se denomina término de "masa" y rompería la invariancia bajo la transformación anterior. En las teorías de campo relativistas , una escala de masa, m, es físicamente equivalente a una escala de longitud fija mediante ${\displaystyle \propto m^{2}\varphi }$

${\displaystyle L={\frac {\hbar }{mc}},}$

por lo que no debería sorprender que la teoría de campos escalares masivos no sea invariante en escala.

teoría φ ⁴

Las ecuaciones de campo en los ejemplos anteriores son todas lineales en los campos, lo que significa que la dimensión de escala , Δ, no ha sido tan importante. Sin embargo, normalmente se requiere que la acción del campo escalar sea adimensional, y esto fija la dimensión de escala de φ . En particular,

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}},}$

donde D es el número combinado de dimensiones espaciales y temporales.

Dada esta dimensión de escala para φ , existen ciertas modificaciones no lineales de la teoría de campos escalares sin masa que también son invariantes de escala. Un ejemplo es la teoría de φ 4 sin masa para D  = 4. La ecuación de campo es

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi +g\varphi ^{3}=0.}$

(Tenga en cuenta que el nombre φ ⁴ deriva de la forma del lagrangiano , que contiene la cuarta potencia de φ ).

Cuando D  = 4 (por ejemplo, tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal), la dimensión de escalamiento del campo escalar es Δ = 1. La ecuación de campo es entonces invariante bajo la transformación

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda t,}$

${\displaystyle \varphi (x)\rightarrow \lambda ^{-1}\varphi (x).}$

El punto clave es que el parámetro g debe ser adimensional; de lo contrario, se introduce una escala de longitud fija en la teoría: para la teoría de φ ⁴ , este es sólo el caso en D  = 4. Tenga en cuenta que bajo estas transformaciones el argumento de la función φ es sin alterar.

Invariancia de escala en la teoría cuántica de campos.

La dependencia de escala de una teoría cuántica de campos (QFT) se caracteriza por la forma en que sus parámetros de acoplamiento dependen de la escala de energía de un proceso físico determinado. Esta dependencia energética está descrita por el grupo de renormalización y está codificada en las funciones beta de la teoría.

Para que una QFT sea invariante de escala, sus parámetros de acoplamiento deben ser independientes de la escala de energía, y esto se indica por la desaparición de las funciones beta de la teoría. Estas teorías también se conocen como puntos fijos del flujo del grupo de renormalización correspondiente. ^[6]

Electrodinámica cuántica

Un ejemplo simple de QFT invariante de escala es el campo electromagnético cuantificado sin partículas cargadas. En realidad, esta teoría no tiene parámetros de acoplamiento (ya que los fotones no tienen masa y no interactúan) y, por lo tanto, es invariante de escala, muy parecida a la teoría clásica.

Sin embargo, en la naturaleza el campo electromagnético está acoplado a partículas cargadas, como los electrones . La QFT que describe las interacciones de fotones y partículas cargadas es la electrodinámica cuántica (QED), y esta teoría no es invariante en escala. Podemos ver esto en la función beta QED . Esto nos dice que la carga eléctrica (que es el parámetro de acoplamiento en la teoría) aumenta al aumentar la energía. Por lo tanto, mientras que el campo electromagnético cuantificado sin partículas cargadas es invariante de escala, la QED no es invariante de escala.

Teoría de campos escalares sin masa

La teoría de campos escalares cuantificada , libre y sin masa no tiene parámetros de acoplamiento. Por tanto, al igual que la versión clásica, es invariante de escala. En el lenguaje del grupo de renormalización, esta teoría se conoce como punto fijo gaussiano .

Sin embargo, aunque la teoría clásica de φ ⁴ sin masa es invariante de escala en D  = 4, la versión cuantificada no es invariante de escala. Podemos ver esto en la función beta para el parámetro de acoplamiento, g .

Aunque el φ ⁴ sin masa cuantificado no es invariante de escala, existen teorías de campos escalares cuantificados invariantes de escala distintas del punto fijo gaussiano. Un ejemplo es el punto fijo de Wilson-Fisher , que se muestra a continuación.

Teoría de campos conforme

Las QFT invariantes de escala casi siempre son invariantes bajo la simetría conforme completa , y el estudio de dichas QFT es la teoría de campos conforme (CFT). Los operadores en un CFT tienen una dimensión de escala bien definida , análoga a la dimensión de escala , ∆ , de un campo clásico discutido anteriormente. Sin embargo, las dimensiones de escala de los operadores en una CFT suelen diferir de las de los campos de la teoría clásica correspondiente. Las contribuciones adicionales que aparecen en el CFT se conocen como dimensiones de escala anómalas .

Anomalías de escala y conformes.

El ejemplo anterior de la teoría φ ⁴ demuestra que los parámetros de acoplamiento de una teoría cuántica de campos pueden depender de la escala incluso si la teoría de campos clásica correspondiente es invariante de escala (o conformemente invariante). Si este es el caso, se dice que la invariancia de escala clásica (o conforme) es anómala . Una teoría de campo clásica de invariancia de escala, donde la invariancia de escala se rompe por efectos cuánticos, proporciona una explicación de la expansión casi exponencial del universo primitivo llamada inflación cósmica , siempre que la teoría pueda estudiarse a través de la teoría de perturbaciones . ^[7]

Transiciones de fase

En mecánica estadística , cuando un sistema sufre una transición de fase , sus fluctuaciones se describen mediante una teoría de campo estadística invariante de escala . Para un sistema en equilibrio (es decir, independiente del tiempo) en D dimensiones espaciales, la teoría de campo estadística correspondiente es formalmente similar a una CFT de D dimensiones. Las dimensiones de escala en tales problemas generalmente se denominan exponentes críticos y, en principio, se pueden calcular estos exponentes en el CFT apropiado.

El modelo de Ising

Un ejemplo que vincula muchas de las ideas de este artículo es la transición de fase del modelo de Ising , un modelo simple de sustancias ferromagnéticas . Este es un modelo de mecánica estadística, que también tiene una descripción en términos de teoría de campos conforme. El sistema consta de una serie de sitios de red, que forman una red periódica de dimensiones D. Asociado a cada sitio de la red hay un momento magnético , o espín , y este espín puede tomar el valor +1 o −1. (Estos estados también se denominan arriba y abajo, respectivamente).

El punto clave es que el modelo de Ising tiene una interacción espín-espín, lo que lo hace energéticamente favorable para que dos espines adyacentes estén alineados. Por otro lado, las fluctuaciones térmicas suelen introducir aleatoriedad en la alineación de los espines. A alguna temperatura crítica, Tc, se _dice que ocurre magnetización espontánea . Esto significa que por debajo de _Tc la interacción espín-espín comenzará a dominar y habrá cierta alineación neta de espines en una de las dos direcciones.

Un ejemplo del tipo de cantidades físicas que uno quisiera calcular a esta temperatura crítica es la correlación entre espines separados por una distancia r . Esto tiene el comportamiento genérico:

${\displaystyle G(r)\propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}},}$

para algún valor particular de , que es un ejemplo de exponente crítico. ${\displaystyle \eta }$

Descripción CFT

Las fluctuaciones en la temperatura Tc son invariantes de escala, por lo que se espera que el modelo de Ising en esta transición _de fase se describa mediante una teoría de campo estadística invariante de escala. De hecho, esta teoría es el punto fijo de Wilson-Fisher , una teoría de campos escalares invariante de escala particular .

En este contexto, G ( r ) se entiende como una función de correlación de campos escalares,

${\displaystyle \langle \phi (0)\phi (r)\rangle \propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}}.}$

Ahora podemos encajar algunas de las ideas ya vistas.

De lo anterior, se ve que el exponente crítico, η , para esta transición de fase, también es una dimensión anómala . Esto se debe a que la dimensión clásica del campo escalar,

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}}}$

se modifica para convertirse

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2+\eta }{2}},}$

donde D es el número de dimensiones de la red del modelo Ising.

Entonces, esta dimensión anómala en la teoría de campos conforme es lo mismo que un exponente crítico particular de la transición de fase del modelo de Ising.

Tenga en cuenta que para la dimensión D ≡ 4− ε , η se puede calcular aproximadamente, utilizando la expansión épsilon , y se encuentra que

${\displaystyle \eta ={\frac {\epsilon ^{2}}{54}}+O(\epsilon ^{3})}$.

En el caso físicamente interesante de tres dimensiones espaciales, tenemos ε =1, por lo que esta expansión no es estrictamente confiable. Sin embargo, una predicción semicuantitativa es que η es numéricamente pequeña en tres dimensiones.

Por otro lado, en el caso bidimensional el modelo de Ising es exactamente soluble. En particular, es equivalente a uno de los modelos mínimos , una familia de CFT bien entendidas, y es posible calcular η (y los otros exponentes críticos) exactamente,

${\displaystyle \eta _{_{D=2}}={\frac {1}{4}}}$.

Evolución de Schramm-Loewner

Las dimensiones anómalas en ciertos CFT bidimensionales pueden relacionarse con las dimensiones fractales típicas de los paseos aleatorios, donde los paseos aleatorios se definen mediante la evolución de Schramm-Loewner (SLE). Como hemos visto anteriormente, las CFT describen la física de las transiciones de fase, por lo que se pueden relacionar los exponentes críticos de ciertas transiciones de fase con estas dimensiones fractales. Los ejemplos incluyen el modelo crítico 2D de Ising y el modelo más general de Potts crítico 2D . Relacionar otras CFT 2 d con LES es un área de investigación activa.

Universalidad

Un fenómeno conocido como universalidad se observa en una gran variedad de sistemas físicos. Expresa la idea de que diferentes físicas microscópicas pueden dar lugar al mismo comportamiento de escala en una transición de fase. Un ejemplo canónico de universalidad involucra los dos sistemas siguientes:

• La transición de fase del modelo Ising , descrita anteriormente.
• La transición líquido - vapor en fluidos clásicos.

Aunque la física microscópica de estos dos sistemas es completamente diferente, sus exponentes críticos resultan ser los mismos. Además, se pueden calcular estos exponentes utilizando la misma teoría estadística de campos. La observación clave es que en una transición de fase o punto crítico , se producen fluctuaciones en todas las escalas de longitud y, por lo tanto, se debe buscar una teoría estadística de campo invariante en la escala para describir los fenómenos. En cierto sentido, la universalidad es la observación de que existen relativamente pocas teorías invariantes de escala.

El conjunto de diferentes teorías microscópicas descritas por una misma teoría invariante de escala se conoce como clase de universalidad . Otros ejemplos de sistemas que pertenecen a una clase de universalidad son:

• Avalanchas en montones de arena. La probabilidad de una avalancha es una ley de potencia proporcional al tamaño de la avalancha, y se observa que ocurren en todas las escalas de tamaño.
• La frecuencia de los cortes de red en Internet , en función de su tamaño y duración.
• La frecuencia de citas de artículos de revistas, considerada en la red de todas las citas entre todos los artículos, en función del número de citas en un artículo determinado. ^{[ cita necesaria ]}
• La formación y propagación de grietas y desgarros en materiales que van desde el acero hasta la roca y el papel. Las variaciones de la dirección del desgarro, o la rugosidad de una superficie fracturada, están en proporción de ley de potencia a la escala de tamaño.
• La falla eléctrica de los dieléctricos , que se asemejan a grietas y desgarros.
• La percolación de fluidos a través de medios desordenados, como el petróleo a través de lechos de rocas fracturadas o el agua a través de papel de filtro, como en la cromatografía . El escalamiento de la ley de potencia conecta la tasa de flujo con la distribución de fracturas.
• La difusión de moléculas en solución y el fenómeno de agregación limitada por difusión .
• La distribución de rocas de diferentes tamaños en una mezcla de agregados que se está sacudiendo (con la gravedad actuando sobre las rocas).

La observación clave es que, para todos estos sistemas diferentes, el comportamiento se asemeja a una transición de fase , y que el lenguaje de la mecánica estadística y la teoría estadística de campos invariantes de escala pueden aplicarse para describirlos.

Otros ejemplos de invariancia de escala

Mecánica de fluidos newtoniana sin fuerzas aplicadas

En determinadas circunstancias, la mecánica de fluidos es una teoría de campo clásica invariante de escala. Los campos son la velocidad del flujo de fluido , la densidad del fluido y la presión del fluido . Estos campos deben satisfacer tanto la ecuación de Navier-Stokes como la ecuación de continuidad . Para un fluido newtoniano, estos toman las formas respectivas ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$

$${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-\nabla P+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right)}$$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0}$

¿Dónde está la viscosidad dinámica ? ${\displaystyle \mu }$

Para deducir la invariancia de escala de estas ecuaciones especificamos una ecuación de estado , que relaciona la presión del fluido con la densidad del fluido. La ecuación de estado depende del tipo de fluido y de las condiciones a las que está sometido. Por ejemplo, consideremos el gas ideal isotérmico , que satisface

${\displaystyle P=c_{s}^{2}\rho ,}$

¿Dónde está la velocidad del sonido en el fluido? Dada esta ecuación de estado, Navier-Stokes y la ecuación de continuidad son invariantes bajo las transformaciones ${\displaystyle c_{s}}$

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{2}t,}$

${\displaystyle \rho \rightarrow \lambda ^{-1}\rho ,}$

${\displaystyle \mathbf {u} \rightarrow \lambda ^{-1}\mathbf {u} .}$

Dadas las soluciones y , automáticamente tenemos eso y también somos soluciones. ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \lambda \mathbf {u} (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$ ${\displaystyle \lambda \rho (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$

Visión por computador

En la visión por computadora y la visión biológica , las transformaciones de escala surgen debido al mapeo de imágenes en perspectiva y debido a que los objetos tienen diferentes tamaños físicos en el mundo. En estas áreas, la invariancia de escala se refiere a descriptores de imágenes locales o representaciones visuales de los datos de la imagen que permanecen invariantes cuando se cambia la escala local en el dominio de la imagen. ^[8] La detección de máximos locales sobre escalas de respuestas derivadas normalizadas proporciona un marco general para obtener invariancia de escala a partir de datos de imágenes. ^{[9] [10]} Ejemplos de aplicaciones incluyen detección de manchas , detección de esquinas , detección de crestas y reconocimiento de objetos mediante la transformación de características invariantes de escala .

Ver también

• Invariante (matemáticas)
• Potencial cuadrado inverso
• Ley de potencia
• Red sin escala

Referencias

1. Jorgensen, B. (1997). La teoría de los modelos de dispersión . Londres: Chapman & Hall. ISBN 978-0412997112.
2. Eisler, Z.; Bartos, I.; Kertész, J. (2008). "Escala de fluctuación en sistemas complejos: ley de Taylor y más allá". Física avanzada . 57 (1): 89-142. arXiv : 0708.2053 . Código Bib : 2008AdPhy..57...89E. doi :10.1080/00018730801893043. S2CID  119608542.
3. Kendal, WS; Jørgensen, B. (2011). "La ley de potencia de Taylor y la escala de fluctuación se explican por una convergencia similar a un límite central". Física. Rev. E. 83 (6): 066115. Código bibliográfico : 2011PhRvE..83f6115K. doi : 10.1103/PhysRevE.83.066115. PMID  21797449.
4. Kendal, WS; Jørgensen, B. (2011). "Convergencia Tweedie: una base matemática para la ley de potencia de Taylor, el ruido 1/f y la multifractalidad" (PDF) . Física. Rev. E. 84 (6): 066120. Código bibliográfico : 2011PhRvE..84f6120K. doi : 10.1103/PhysRevE.84.066120. PMID  22304168.
5. Jorgensen, B.; Martínez, JR; Tsao, M. (1994). "Comportamiento asintótico de la función de varianza". Scand J Estatista . 21 (3): 223–243. JSTOR  4616314.
6. J. Zinn-Justin (2010) Artículo de Scholarpedia "Fenómenos críticos: enfoque teórico de campo".
7. Salvio, Strumia (17 de marzo de 2014). "Agravedad". JHEP . 2014 (6): 080. arXiv : 1403.4226 . Código Bib : 2014JHEP...06..080S. doi :10.1007/JHEP06(2014)080. S2CID  256010671.
8. Lindeberg, T. (2013) Invariancia de las operaciones visuales a nivel de campos receptivos, PLoS ONE 8(7):e66990.
9. Lindeberg, Tony (1998). "Detección de características con selección automática de escala". Revista Internacional de Visión por Computadora . 30 (2): 79-116. doi :10.1023/A:1008045108935. S2CID  723210.
10. T. Lindeberg (2014) "Selección de escala", Visión por computadora: una guía de referencia, (K. Ikeuchi, editor), Springer, páginas 701-713.

Otras lecturas

• Zinn-Justin, Jean (2002). Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos . Prensa de la Universidad de Oxford.Amplia discusión sobre la invariancia de escala en teorías de campo cuánticas y estadísticas, aplicaciones a fenómenos críticos y la expansión épsilon y temas relacionados.
• DiFrancesco, P.; Mathieu, P.; Senéchal, D. (1997). Teoría de campos conforme . Springer-Verlag.
• Mussardo, G. (2010). Teoría estadística de campos. Introducción a los modelos de física estadística resueltos exactamente . Prensa de la Universidad de Oxford.