cálculo de itô

Cálculo de ecuaciones diferenciales estocásticas.

Itô integral Y _t ​​( B ) ( azul ) de un movimiento browniano B ( rojo ) con respecto a sí mismo, es decir, tanto el integrando como el integrador son brownianos. Resulta Y _t ( B ) = ( B ² − t )/2 .

El cálculo de Itô , que lleva el nombre de Kiyosi Itô , extiende los métodos de cálculo a procesos estocásticos como el movimiento browniano (ver proceso de Wiener ). Tiene importantes aplicaciones en finanzas matemáticas y ecuaciones diferenciales estocásticas .

El concepto central es la integral estocástica de Itô, una generalización estocástica de la integral de Riemann-Stieltjes en análisis. Los integrandos y los integradores son ahora procesos estocásticos:

$${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$$

HadaptadofiltraciónXmovimiento brownianosemimartingalatvariable aleatoriavariaciónadapte el integrando Httsumas de Riemannmalla

Los resultados importantes del cálculo de Itô incluyen la fórmula de integración por partes y el lema de Itô , que es una fórmula de cambio de variables . Estas difieren de las fórmulas del cálculo estándar debido a los términos de variación cuadrática .

En finanzas matemáticas , la estrategia de evaluación de la integral descrita se conceptualiza como que primero decidimos qué hacer y luego observamos el cambio en los precios. El integrando es la cantidad de acciones que tenemos, el integrador representa el movimiento de los precios y la integral es cuánto dinero tenemos en total, incluido el valor de nuestras acciones, en un momento dado. Los precios de las acciones y otros activos financieros negociados pueden modelarse mediante procesos estocásticos como el movimiento browniano o, más a menudo, el movimiento browniano geométrico (véase Black-Scholes ). Entonces, la integral estocástica de Itô representa el beneficio de una estrategia _de negociación en tiempo continuo que consiste en mantener una cantidad Ht de la acción en el momento t . En esta situación, la condición de que H esté adaptado corresponde a la restricción necesaria de que la estrategia comercial solo pueda hacer uso de la información disponible en cualquier momento. Esto evita la posibilidad de obtener ganancias ilimitadas a través de la clarividencia : comprar acciones justo antes de cada alza en el mercado y vender antes de cada caída. De manera similar, la condición de que H esté adaptado implica que la integral estocástica no divergirá cuando se calcule como un límite de las sumas de Riemann (Revuz y Yor 1999, Capítulo IV).

Notación

El proceso Y definido antes como

$${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H\,dX\equiv \int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$$

tY = H · XdY = H dXY − Y ₀ = H · X.espacio de probabilidad filtrado subyacente

$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} ).}$$

σ-álgebratXX _tBB _tB _{t + s} − B _ts , t ≥ 0 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$

Integración con respecto al movimiento browniano.

La integral de Itô se puede definir de manera similar a la integral de Riemann-Stieltjes , es decir, como un límite en la probabilidad de las sumas de Riemann ; tal límite no existe necesariamente en el camino. Supongamos que B es un proceso de Wiener (movimiento browniano) y que H es un proceso continuo por la derecha ( càdlàg ), adaptado y acotado localmente. Si es una secuencia de particiones de [0, t ] con un ancho de malla igual a cero, entonces la integral Itô de H con respecto a B hasta el momento t es una variable aleatoria ${\displaystyle \{\pi _{n}\}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{[t_{i-1},t_{i}]\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).}$$

Se puede demostrar que este límite converge en probabilidad .

Para algunas aplicaciones, como los teoremas de representación de martingala y los tiempos locales , la integral es necesaria para procesos que no son continuos. Los procesos predecibles forman la clase más pequeña que está cerrada bajo los límites de las secuencias y contiene todos los procesos continuos por la izquierda adaptados. Si H es cualquier proceso predecible tal que ∫ ₀ ^t H ² ds < ∞ para cada t ≥ 0 entonces se puede definir la integral de H con respecto a B , y se dice que H es B -integrable. Cualquier proceso de este tipo puede aproximarse mediante una secuencia H _n de procesos continuos a la izquierda, adaptados y acotados localmente, en el sentido de que

$${\displaystyle \int _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\to 0}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{t}H_{n}\,dB}$$

isometría de Itô

$${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]}$$

H

procesos itô

Una realización única del proceso de Itô con μ = 0 y σ = ψ ( t −5) , donde ψ es la wavelet de Ricker . Fuera de la marea de ondas, el movimiento del proceso de Itô es estable.

Un proceso de Itô se define como un proceso estocástico adaptado que puede expresarse como la suma de una integral con respecto al movimiento browniano y una integral con respecto al tiempo,

$${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.}$$

Aquí, B es un movimiento browniano y se requiere que σ sea un proceso B -integrable predecible, y μ sea predecible y ( Lebesgue ) integrable. Eso es,

$${\displaystyle \int _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty }$$

t

$${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\int _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.}$$

Esto se define para todos los integrandos predecibles y acotados localmente. De manera más general, se requiere que Hσ sea B -integrable y Hμ sea integrable de Lebesgue, de modo que

$${\displaystyle \int _{0}^{t}\left(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |\right)ds<\infty .}$$

HX

Un resultado importante para el estudio de los procesos de Itô es el lema de Itô . En su forma más simple, para cualquier función f dos veces continuamente diferenciable en los reales y el proceso Itô X como se describió anteriormente, establece que f ( X ) es en sí mismo un proceso Itô que satisface

$${\displaystyle df(X_{t})=f^{\prime }(X_{t})\,dX_{t}+{\tfrac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt.}$$

Esta es la versión de cálculo estocástico de la fórmula de cambio de variables y la regla de la cadena . Difiere del resultado estándar debido al término adicional que involucra la segunda derivada de f , que proviene de la propiedad de que el movimiento browniano tiene variación cuadrática distinta de cero .

Semimartingalas como integradoras

La integral de Itô se define con respecto a una semimartingala X. Estos son procesos que se pueden descomponer como X = M + A para una martingala local M y un proceso  de variación finita A. Ejemplos importantes de tales procesos incluyen el movimiento browniano , que es una martingala , y los procesos de Lévy . Para un proceso H continuo por la izquierda, acotado localmente y adaptado , la integral H · X existe y puede calcularse como un límite de sumas de Riemann. Sea π _n una secuencia de particiones de [0, t ] con malla yendo a cero,

$${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\to \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).}$$

Este límite converge en probabilidad. La integral estocástica de procesos continuos por la izquierda es lo suficientemente general para estudiar gran parte del cálculo estocástico. Por ejemplo, es suficiente para aplicaciones del lema de Itô, cambios de medida mediante el teorema de Girsanov y para el estudio de ecuaciones diferenciales estocásticas . Sin embargo, es inadecuado para otros temas importantes como los teoremas de representación de martingala y los tiempos locales .

La integral se extiende a todos los integrandos predecibles y acotados localmente, de una manera única, de modo que se cumple el teorema de convergencia dominada . Es decir, si H _n → H y | H _norte | ≤ J para un proceso  J acotado localmente , entonces

$${\displaystyle \int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX,}$$

lema de clases monótonas

En general, la integral estocástica H · X se puede definir incluso en los casos en que el proceso predecible H no está acotado localmente. Si K = 1 / (1 + | H |) entonces K y KH están acotados. La asociatividad de la integración estocástica implica que H es X -integrable, con integral H · X = Y , si y sólo si Y ₀ = 0 y K · Y = ( KH ) · X . El conjunto de procesos integrables en X se denota por L ( X ) .

Propiedades

Las siguientes propiedades se pueden encontrar en trabajos como (Revuz & Yor 1999) y (Rogers & Williams 2000):

• La integral estocástica es un proceso càdlàg . Además, es una semimartingala .
• Las discontinuidades de la integral estocástica vienen dadas por los saltos del integrador multiplicados por el integrando. El salto de un proceso càdlàg en un tiempo t es X _t − X _t− , y a menudo se denota por Δ X _t . Con esta notación, Δ( H · X ) = H Δ X . Una consecuencia particular de esto es que las integrales con respecto a un proceso continuo son siempre continuas.
• Asociatividad . Sean J , K procesos predecibles y K sea X -integrable. Entonces, J es K · X integrable si y sólo si JK es X -integrable, en cuyo caso
  $${\displaystyle J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X}$$
• Convergencia dominada . Supongamos que H _n → H y | H _norte | ≤ J , donde J es unproceso integrable en X. entonces H _norte · X → H · X . La convergencia es probable en cada momento  t . De hecho, converge uniformemente en conjuntos compactos en probabilidad.
• La integral estocástica conmuta con la operación de tomar covariaciones cuadráticas. Si X e Y son semimartingalas, entonces cualquier proceso integrable en X también será integrable [ X , Y ] y [ H · X , Y ] = H · [ X , Y ] . Una consecuencia de esto es que el proceso de variación cuadrática de una integral estocástica es igual a una integral de un proceso de variación cuadrática,
  $${\displaystyle [H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]}$$

Integración por partes

Como ocurre con el cálculo ordinario, la integración por partes es un resultado importante en el cálculo estocástico. La fórmula de integración por partes para la integral de Itô difiere del resultado estándar debido a la inclusión de un término de covariación cuadrática . Este término proviene del hecho de que el cálculo de Itô trata procesos con variación cuadrática distinta de cero, lo que sólo ocurre para procesos de variación infinita (como el movimiento browniano). Si X e Y son semimartingalas entonces

$${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}}$$

[ X , Y ]

El resultado es similar al teorema de integración por partes para la integral de Riemann-Stieltjes pero tiene un término de variación cuadrática adicional .

El lema de Itô

El lema de Itô es la versión de la regla de la cadena o fórmula de cambio de variables que se aplica a la integral de Itô. Es uno de los teoremas más poderosos y utilizados con frecuencia en el cálculo estocástico. Para una semimartingala continua de n dimensiones X = ( X ¹ ,..., X ⁿ ) y una función f dos veces continuamente diferenciable de R ⁿ a R , se establece que f ( X ) es una semimartingala y,

$${\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}$$

[ X ⁱ , X ^j ]el lema de Itô ${\displaystyle f,}$

Integradores de martingala

martingalas locales

Una propiedad importante de la integral de Itô es que conserva la propiedad martingala local . Si M es una martingala local y H es un proceso predecible acotado localmente, entonces H · M también es una martingala local. Para integrandos que no están acotados localmente, hay ejemplos en los que H · M no es una martingala local. Sin embargo, esto sólo puede ocurrir cuando M no es continuo. Si M es una martingala local continua, entonces un proceso predecible H es M -integrable si y sólo si

$${\displaystyle \int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]<\infty ,}$$

tH · M

La afirmación más general para una martingala local discontinua M es que si ( H ² · [ M ] ) ^1/2 es localmente integrable entonces H · M existe y es una martingala local.

Martingalas cuadradas integrables

Para integrandos acotados, la integral estocástica de Itô preserva el espacio de martingalas cuadradas integrables , que es el conjunto de martingalas càdlàg M tal que E[ M _t ² ] es finito para todo t . Para cualquier martingala cuadrada integrable M , el proceso de variación cuadrática [ M ] es integrable, y la isometría de Itô establece que

$${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right].}$$

MH ² · [ M ] _tH · M

p -Martingalas integrables

Para cualquier p > 1 y un integrando predecible acotado, la integral estocástica preserva el espacio de p -martingalas integrables. Estas son martingalas càdlàg tales que E(| M _t | ^p ) es finita para todo  t . Sin embargo, esto no siempre es cierto en el caso de que p = 1 . Hay ejemplos de integrales de procesos predecibles acotados con respecto a martingalas que no son martingalas en sí mismas.

El proceso máximo de un proceso càdlàg M se escribe como M* _t = sup _{s ≤ t} | M _s | . Para cualquier p ≥ 1 e integrando predecible acotado, la integral estocástica preserva el espacio de martingalas càdlàg M tal que E[( M* _t ) ^p ] es finito para todo t . Si p > 1 entonces esto es lo mismo que el espacio de p martingalas integrables, según las desigualdades de Doob .

Las desigualdades de Burkholder-Davis-Gundy establecen que, para cualquier p ≥ 1 dado , existen constantes positivas  c ,  C que dependen de  p , pero no de M o de t tales que

$${\displaystyle c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]}$$

M( M* _t ) ^pH

$${\displaystyle \mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2}\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty }$$

H · Mp( H ² · [ M ]) ^{p /2}

Existencia de la integral

Las pruebas de que la integral de Itô está bien definida generalmente proceden observando primero integrandos muy simples, como procesos constantes por partes, continuos por la izquierda y adaptados donde la integral se puede escribir explícitamente. Estos procesos simples y predecibles son combinaciones lineales de términos de la forma H _t = A 1 _{{ t > T }} para tiempos de parada T y F _T -variables aleatorias medibles A , para las cuales la integral es

$${\displaystyle H\cdot X_{t}\equiv \mathbf {1} _{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).}$$

H · XH.

Para un movimiento browniano B , la propiedad de que tiene incrementos independientes con media cero y varianza Var( B _t ) = t se puede utilizar para probar la isometría de Itô para integrandos simples y predecibles,

$${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot B_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right].}$$

extensión lineal continua

$${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,ds\right]<\infty ,}$$

Blocalización

Para una semimartingala general X , se puede utilizar la descomposición X = M + A en una martingala local M más un proceso de variación finita A. Luego, se puede demostrar que la integral existe por separado con respecto a M y A y combinarse usando linealidad, H · X = H · M + H · A , para obtener la integral con respecto a X. La integral estándar de Lebesgue-Stieltjes permite definir la integración con respecto a procesos de variación finita, por lo que la existencia de la integral de Itô para semimartingalas se derivará de cualquier construcción para martingalas locales.

For a càdlàg square integrable martingale M, a generalized form of the Itô isometry can be used. First, the Doob–Meyer decomposition theorem is used to show that a decomposition M² = N + ⟨M⟩ exists, where N is a martingale and ⟨M⟩ is a right-continuous, increasing and predictable process starting at zero. This uniquely defines ⟨M⟩, which is referred to as the predictable quadratic variation of M. The Itô isometry for square integrable martingales is then

$${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right],}$$

E[H² · ⟨M⟩_t] < ∞

Many other proofs exist which apply similar methods but which avoid the need to use the Doob–Meyer decomposition theorem, such as the use of the quadratic variation [M] in the Itô isometry, the use of the Doléans measure for submartingales, or the use of the Burkholder–Davis–Gundy inequalities instead of the Itô isometry. The latter applies directly to local martingales without having to first deal with the square integrable martingale case.

Alternative proofs exist only making use of the fact that X is càdlàg, adapted, and the set {H · X_t: |H| ≤ 1 is simple previsible} is bounded in probability for each time t, which is an alternative definition for X to be a semimartingale. A continuous linear extension can be used to construct the integral for all left-continuous and adapted integrands with right limits everywhere (caglad or L-processes). This is general enough to be able to apply techniques such as Itô's lemma (Protter 2004). Also, a Khintchine inequality can be used to prove the dominated convergence theorem and extend the integral to general predictable integrands (Bichteler 2002).

Differentiation in Itô calculus

El cálculo de Itô se define ante todo como un cálculo integral como se describió anteriormente. Sin embargo, también existen diferentes nociones de "derivada" con respecto al movimiento browniano:

Derivado de Malliavina

El cálculo de Malliavin proporciona una teoría de diferenciación para variables aleatorias definidas en el espacio de Wiener , incluida una fórmula de integración por partes (Nualart 2006).

Representación martingala

El siguiente resultado permite expresar las martingalas como integrales de Itô: si M es una martingala integrable al cuadrado en un intervalo de tiempo [0, T ] con respecto a la filtración generada por un movimiento browniano B , entonces existe un proceso único integrable al cuadrado adaptado en [0, T ] tal que ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle M_{t}=M_{0}+\int _{0}^{t}\alpha _{s}\,\mathrm {d} B_{s}}$$

t ∈ [0, T ]MBtM _t − M ₀

Cálculo de Itô para físicos.

En física, normalmente se utilizan ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE), como las ecuaciones de Langevin , en lugar de integrales estocásticas. Aquí una ecuación diferencial estocástica de Itô (SDE) a menudo se formula mediante

$${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l},}$$

${\displaystyle \xi _{j}}$

$${\displaystyle \langle \xi _{k}(t_{1})\,\xi _{l}(t_{2})\rangle =\delta _{kl}\delta (t_{1}-t_{2})}$$

la convención de suma de Einstein .

Si es una función de x _k , entonces se debe utilizar el lema de Itô : ${\displaystyle y=y(x_{k})}$

$${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial x_{j}}}{\dot {x}}_{j}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{k}\,\partial x_{l}}}g_{km}g_{ml}.}$$

Un SDE de Itô como el anterior también corresponde a un SDE de Stratonovich que dice

$${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial {x_{m}}}}g_{ml}.}$$

Las SDE ocurren con frecuencia en física en forma de Stratonovich, como límites de ecuaciones diferenciales estocásticas impulsadas por ruido coloreado si el tiempo de correlación del término de ruido se acerca a cero. Para un tratamiento reciente de diferentes interpretaciones de ecuaciones diferenciales estocásticas, consulte, por ejemplo, (Lau y Lubensky 2007).

Ver también

• Portal de matemáticas

• cálculo estocástico
• El lema de Itô
• cálculo de otto
• Integral de Stratonovich
• semimartingala
• proceso de salchicha

Referencias

• Bichteler, Klaus (2002), Integración estocástica con saltos (1ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81129-5
• Cohén, Samuel; Elliott, Robert (2015), Aplicaciones y cálculo estocástico (2ª ed.), Birkhaueser, ISBN 978-1-4939-2867-5
• Hagen Kleinert (2004). Integrales de ruta en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros , cuarta edición, World Scientific (Singapur); Tapa blanda ISBN 981-238-107-4 . Quinta edición disponible en línea: archivos PDF, con generalizaciones del lema de Itô para procesos no gaussianos. 
• Él, Sheng-wu; Wang, Jia-gang; Yan, Jia-an (1992), Teoría de la semimartingala y cálculo estocástico , Science Press, CRC Press Inc., ISBN 978-0849377150
• Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (1991), Movimiento browniano y cálculo estocástico (2ª ed.), Springer, ISBN 0-387-97655-8
• Lau, Andy; Lubensky, Tom (2007), "Difusión dependiente del estado", Phys. Rev. E , 76 (1): 011123, arXiv : 0707.2234 , Bibcode : 2007PhRvE..76a1123L, doi : 10.1103/PhysRevE.76.011123, PMID  17677426
• Nualart, David (2006), El cálculo de Malliavin y temas relacionados , Springer, ISBN 3-540-28328-5
• Øksendal, Bernt K. (2003), Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones , Berlín: Springer, ISBN 3-540-04758-1
• Protter, Philip E. (2004), Integración estocástica y ecuaciones diferenciales (2ª ed.), Springer, ISBN 3-540-00313-4
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999), Martingalas continuas y movimiento browniano , Berlín: Springer, ISBN 3-540-57622-3
• Rogers, Chris; Williams, David (2000), Difusiones, procesos de Markov y martingalas - Volumen 2: Cálculo de Itô , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-77593-0
• Programación financiera matemática en TI-Basic, que implementa el cálculo Ito para calculadoras TI.