Los enunciados matemáticos que se analizan a continuación son demostrablemente independientes de ZFC (la teoría de conjuntos axiomática canónica de las matemáticas contemporáneas, que consta de los axiomas de Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección ), asumiendo que ZFC es consistente . Una afirmación es independiente de ZFC (a veces expresada como "indecidible en ZFC") si no puede ser probada ni refutada a partir de los axiomas de ZFC.
En 1931, Kurt Gödel demostró sus teoremas de incompletitud , estableciendo que muchas teorías matemáticas, incluida ZFC, no pueden probar su propia consistencia. Suponiendo que dicha teoría sea ω-consistente , la afirmación de coherencia tampoco puede ser refutada, lo que significa que es independiente. Unos años más tarde, se definieron otros enunciados aritméticos que son independientes de cualquier teoría de este tipo; véase, por ejemplo, el truco de Rosser .
Las siguientes afirmaciones teóricas de conjuntos son independientes de ZFC, entre otras:
Tenemos las siguientes cadenas de implicaciones:
y (ver sección sobre teoría del orden):
Varias afirmaciones relacionadas con la existencia de cardenales grandes no se pueden probar en ZFC (suponiendo que ZFC sea consistente). Estos son independientes de ZFC siempre que sean consistentes con ZFC, lo que la mayoría de los teóricos de conjuntos creen que es el caso. Estas declaraciones son lo suficientemente fuertes como para implicar la coherencia de ZFC. Esto tiene la consecuencia (a través del segundo teorema de incompletitud de Gödel ) de que su coherencia con ZFC no se puede demostrar en ZFC (suponiendo que ZFC sea consistente). Pertenecen a esta clase las siguientes afirmaciones:
Se puede demostrar que las siguientes afirmaciones son independientes de que ZFC suponga la coherencia de un cardenal grande adecuado:
Hay muchos invariantes cardinales de la recta real, relacionados con la teoría de la medida y enunciados relacionados con el teorema de la categoría de Baire , cuyos valores exactos son independientes de ZFC. Si bien se pueden demostrar relaciones no triviales entre ellos, la mayoría de los invariantes cardinales pueden ser cualquier cardinal regular entre ℵ 1 y 2 ℵ 0 . Ésta es un área importante de estudio en la teoría de conjuntos de la recta real (ver diagrama de Cichon ). MA tiene una tendencia a igualar los invariantes cardinales más interesantes a 2 ℵ 0 .
Un subconjunto X de la línea real es un conjunto cero de medida fuerte si para cada secuencia ( ε n ) de reales positivos existe una secuencia de intervalos ( In ) que cubre X y tal que In tiene una longitud como máximo ε n . La conjetura de Borel, de que cada medida fuerte establecida en cero es contable, es independiente de ZFC.
Un subconjunto X de la recta real es denso si cada intervalo abierto contiene muchos elementos de X . Si todos los conjuntos densos son de orden isomorfos es independiente de ZFC. [2]
El problema de Suslin pregunta si una breve lista específica de propiedades caracteriza el conjunto ordenado de números reales R. Esto es indecidible en ZFC. [ 3] Una línea de Suslin es un conjunto ordenado que satisface esta lista específica de propiedades pero no es de orden isomorfo a R. El principio del diamante ◊ prueba la existencia de una línea de Suslin, mientras que MA + ¬CH implica COME ( cada árbol de Aronszajn es especial ), [4] lo que a su vez implica (pero no es equivalente a) [5] la inexistencia de líneas de Suslin. Ronald Jensen demostró que CH no implica la existencia de una línea Suslin. [6]
La existencia de árboles Kurepa es independiente de ZFC, asumiendo la consistencia de un cardinal inaccesible . [7]
La existencia de una partición del número ordinal en dos colores sin un subconjunto monocromático incontable secuencialmente cerrado es independiente de ZFC, ZFC + CH y ZFC + ¬CH, asumiendo la consistencia de un cardinal de Mahlo . [8] [9] [10] Este teorema de Shelah responde a una pregunta de H. Friedman .
En 1973, Saharon Shelah demostró que el problema de Whitehead ("¿es todo grupo abeliano A con Ext 1 (A, Z ) = 0 un grupo abeliano libre ?") es independiente de ZFC. [11] Un grupo abeliano con Ext 1 (A, Z ) = 0 se llama grupo de Whitehead; MA + ¬CH prueba la existencia de un grupo de Whitehead no libre, mientras que V = L prueba que todos los grupos de Whitehead son libres. En una de las primeras aplicaciones del forzamiento adecuado , Shelah construyó un modelo de ZFC + CH en el que hay un grupo Whitehead no libre. [12] [13]
Considere el anillo A = R [ x , y , z ] de polinomios en tres variables sobre los números reales y su cuerpo de fracciones M = R ( x , y , z ). La dimensión proyectiva de M como módulo A es 2 o 3, pero es independiente de ZFC si es igual a 2; es igual a 2 si y sólo si CH se cumple. [14]
Un producto directo de un número contable de campos tiene dimensión global 2 si y sólo si se cumple la hipótesis del continuo. [15]
Se puede escribir un polinomio concreto p ∈ Z [ x 1 , ..., x 9 ] tal que la afirmación "hay números enteros m 1 , ..., m 9 con p ( m 1 , ..., m 9 ) = 0" no se puede probar ni refutar en ZFC (suponiendo que ZFC sea consistente). Esto se desprende de la resolución de Yuri Matiyasevich al décimo problema de Hilbert ; el polinomio se construye de modo que tenga una raíz entera si y sólo si ZFC es inconsistente. [dieciséis]
Una versión más sólida del teorema de Fubini para funciones positivas, donde ya no se supone que la función sea medible sino simplemente que las dos integrales iteradas están bien definidas y existen, es independiente de ZFC. Por un lado, CH implica que existe una función en el cuadrado unitario cuyas integrales iteradas no son iguales; la función es simplemente la función indicadora de un ordenamiento de [0, 1] equivalente a un ordenamiento correcto del cardinal ω 1 . Se puede construir un ejemplo similar usando MA . Por otro lado, Friedman demostró por primera vez la coherencia del teorema fuerte de Fubini . [17] También se puede deducir de una variante del axioma de simetría de Freiling . [18]
La conjetura del espacio normal de Moore, es decir, que todo espacio normal de Moore es metrizable , puede refutarse suponiendo CH o MA + ¬CH, y puede demostrarse suponiendo un cierto axioma que implica la existencia de cardinales grandes. Por lo tanto, con cardinales grandes, la conjetura del espacio normal de Moore es independiente de ZFC. [ cita necesaria ]
Varias afirmaciones sobre finitos, puntos P, puntos Q, ... [ se necesita más explicación ]
La existencia de un espacio S es independiente de ZFC. En particular, está implícito en la existencia de una línea Suslin. [19]
Garth Dales y Robert M. Solovay demostraron en 1976 que la conjetura de Kaplansky , es decir, que todo homomorfismo de álgebra desde el álgebra de Banach C(X) (donde X es un espacio compacto de Hausdorff ) hasta cualquier otra álgebra de Banach debe ser continuo, es independiente de ZFC. CH implica que para cualquier X infinito existe un homomorfismo discontinuo en cualquier álgebra de Banach. [20]
Considere el álgebra B ( H ) de operadores lineales acotados en el espacio de Hilbert separable de dimensión infinita H. Los operadores compactos forman un ideal bilateral en B ( H ). La cuestión de si este ideal es la suma de dos ideales propiamente más pequeños es independiente de ZFC, como lo demostraron Andreas Blass y Saharon Shelah en 1987. [21]
Charles Akemann y Nik Weaver demostraron en 2003 que la afirmación "existe un contraejemplo al problema de Naimark que se genera por ℵ 1 , elementos" es independiente de ZFC.
Miroslav Bačák y Petr Hájek demostraron en 2008 que la afirmación "cada espacio Asplund de carácter de densidad ω 1 tiene una renormación con la propiedad de intersección de Mazur" es independiente de ZFC. El resultado se muestra utilizando el axioma máximo de Martin , mientras que Mar Jiménez y José Pedro Moreno (1997) habían presentado un contraejemplo asumiendo CH.
Como lo muestran Ilijas Farah [22] y N. Christopher Phillips y Nik Weaver, [23] la existencia de automorfismos externos del álgebra de Calkin depende de supuestos teóricos de conjuntos más allá de ZFC.
El problema de Wetzel , que pregunta si todo conjunto de funciones analíticas que toma como mucho muchos valores distintos en cada punto es necesariamente contable, es verdadero si y sólo si la hipótesis del continuo es falsa. [24]
La conjetura de Chang es independiente de que ZFC asuma la consistencia de un cardenal Erdős .
Marcia Groszek y Theodore Slaman dieron ejemplos de declaraciones independientes de ZFC sobre la estructura de los grados de Turing. En particular, si existe un conjunto máximamente independiente de grados de tamaño menor que el continuo. [25]
