Geometría de incidencia

En matemáticas , la geometría de incidencia es el estudio de las estructuras de incidencia . Una estructura geométrica como el plano euclidiano es un objeto complicado que involucra conceptos como longitud, ángulos, continuidad, intermediación e incidencia . Una estructura de incidencia es lo que se obtiene cuando se eliminan todos los demás conceptos y todo lo que queda son los datos sobre qué puntos se encuentran en qué líneas. Incluso con esta severa limitación, se pueden demostrar teoremas y emergen hechos interesantes sobre esta estructura. Tales resultados fundamentales siguen siendo válidos cuando se agregan conceptos adicionales para formar una geometría más rica. A veces sucede que los autores difuminan la distinción entre un estudio y los objetos de ese estudio, por lo que no es sorprendente encontrar que algunos autores se refieren a las estructuras de incidencia como geometrías de incidencia. ^[1]

Las estructuras de incidencia surgen de forma natural y han sido estudiadas en diversas áreas de las matemáticas. En consecuencia, existen diferentes terminologías para describir estos objetos. En teoría de grafos se denominan hipergrafos , y en teoría de diseño combinatorio se denominan diseños de bloques . Además de la diferencia en la terminología, cada área aborda el tema de forma diferente y se interesa por cuestiones sobre estos objetos relevantes para esa disciplina. El uso del lenguaje geométrico, como se hace en la geometría de incidencia, da forma a los temas y ejemplos que normalmente se presentan. Sin embargo, es posible traducir los resultados de una disciplina a la terminología de otra, pero esto a menudo conduce a afirmaciones incómodas y enrevesadas que no parecen ser consecuencias naturales de los temas. En los ejemplos seleccionados para este artículo utilizamos solo aquellos con un sabor geométrico natural.

Un caso especial que ha generado mucho interés se relaciona con conjuntos finitos de puntos en el plano euclidiano y lo que se puede decir acerca del número y los tipos de líneas (rectas) que determinan. Algunos resultados de esta situación se pueden extender a situaciones más generales, ya que solo se consideran las propiedades de incidencia.

Estructuras de incidencia

Una estructura de incidencia $(P, L, I)$ consiste en un conjunto $P$ cuyos elementos se llaman puntos , un conjunto disjunto $L$ cuyos elementos se llaman líneas y una relación de incidencia $I$ entre ellos, es decir, un subconjunto de $P \times L$ cuyos elementos se llaman banderas . ^[2] Si $(A, l)$ es una bandera, decimos que $A$ es incidente con $l$ o que $l$ es incidente con $A$ (la terminología es simétrica), y escribimos $A I l$ . Intuitivamente, un punto y una línea están en esta relación si y solo si el punto está sobre la línea. Dado un punto $B$ y una línea $m$ que no forman una bandera, es decir, el punto no está sobre la línea, el par $(B, m)$ se llama antibandera .

Distancia en una estructura de incidencia

No existe un concepto natural de distancia (una métrica ) en una estructura de incidencia. Sin embargo, sí existe una métrica combinatoria en el grafo de incidencia correspondiente (grafo de Levi) , a saber, la longitud del camino más corto entre dos vértices en este grafo bipartito . La distancia entre dos objetos de una estructura de incidencia (dos puntos, dos líneas o un punto y una línea) se puede definir como la distancia entre los vértices correspondientes en el grafo de incidencia de la estructura de incidencia.

Otra forma de definir una distancia utiliza una noción de teoría de grafos en una estructura relacionada, esta vez el grafo de colinealidad de la estructura de incidencia. Los vértices del grafo de colinealidad son los puntos de la estructura de incidencia y dos puntos se unen si existe una línea incidente con ambos puntos. La distancia entre dos puntos de la estructura de incidencia puede entonces definirse como su distancia en el grafo de colinealidad.

Cuando se considera la distancia en una estructura de incidencia, es necesario mencionar cómo se está definiendo.

Espacios lineales parciales

Las estructuras de incidencia más estudiadas son aquellas que satisfacen algunas propiedades adicionales (axiomas), como planos proyectivos , planos afines , polígonos generalizados , geometrías parciales y cuasi-polígonos . Se pueden obtener estructuras de incidencia muy generales imponiendo condiciones "suaves", como:

Un espacio lineal parcial es una estructura de incidencia para la cual son verdaderos los siguientes axiomas: ^[3]

Cada par de puntos distintos determina como máximo una recta.
Cada línea contiene al menos dos puntos distintos.

En un espacio lineal parcial también es cierto que cada par de líneas distintas se encuentran como máximo en un punto. No es necesario dar por sentado este enunciado, ya que se demuestra fácilmente a partir del axioma 1 anterior.

Las condiciones de regularidad establecen restricciones adicionales:

RLk : Cada línea incide sobre el mismo número de puntos. Si es finito, este número suele denotarse por $k$ .

RPr : Cada punto incide en el mismo número de líneas. Si es finito, este número suele denotarse por $r$ .

El segundo axioma de un espacio lineal parcial implica que $k > 1.$ Ninguna condición de regularidad implica la otra, por lo que debe suponerse que $r > 1$ .

Un espacio lineal parcial finito que satisface ambas condiciones de regularidad con $k, r > 1$ se denomina configuración táctica . ^[4] Algunos autores se refieren a estas simplemente como configuraciones , ^[5] o configuraciones proyectivas . ^[6] Si una configuración táctica tiene $n$ puntos y $m$ líneas, entonces, contando dos veces las banderas, se establece la relación $nr = mk$ $. Una notación común se refiere a (n r, m k)$ - configuraciones . En el caso especial donde $n = m$ (y, por lo tanto, $r = k$ ) la notación $(n k, n k)$ a menudo se escribe simplemente como $(n k)$ .

Un espacio lineal es un espacio lineal parcial tal que: ^[7]

Cada par de puntos distintos determina exactamente una línea.

Algunos autores añaden un axioma de "no degeneración" (o "no trivialidad") a la definición de un espacio lineal (parcial), como:

Existen al menos dos líneas distintas. ^[8]

Esto se utiliza para descartar algunos ejemplos muy pequeños (principalmente cuando los conjuntos $P$ o $L$ tienen menos de dos elementos) que normalmente serían excepciones a las afirmaciones generales realizadas sobre las estructuras de incidencia. Una alternativa a añadir el axioma es referirse a las estructuras de incidencia que no satisfacen el axioma como triviales y a las que sí lo hacen como no triviales .

Cada espacio lineal no trivial contiene al menos tres puntos y tres líneas, por lo que el espacio lineal no trivial más simple que puede existir es un triángulo.

Un espacio lineal que tiene al menos tres puntos en cada línea es un diseño de Sylvester-Gallai .

Ejemplos geométricos fundamentales

Algunos de los conceptos y terminología básicos surgen de ejemplos geométricos, particularmente planos proyectivos y planos afines .

Planos proyectivos

Un plano proyectivo es un espacio lineal en el que:

Cada par de líneas distintas se encuentran exactamente en un punto,

y que satisface la condición de no degeneración:

Existen cuatro puntos, de los cuales no hay tres colineales .

Existe una biyección entre $P$ y $L$ en un plano proyectivo. Si $P$ es un conjunto finito, el plano proyectivo se denomina plano proyectivo finito . El orden de un plano proyectivo finito es $n = k - 1$ , es decir, uno menos que el número de puntos de una línea. Todos los planos proyectivos conocidos tienen órdenes que son potencias primos . Un plano proyectivo de orden $n$ es una configuración $((n 2 + n + 1) n + 1) .$

El plano proyectivo más pequeño tiene orden dos y se conoce como plano de Fano .

Avión de Fano

Esta famosa geometría de incidencia fue desarrollada por el matemático italiano Gino Fano . En su trabajo ^[9] sobre la prueba de la independencia del conjunto de axiomas para el n -espacio proyectivo que desarrolló, ^[10] produjo un espacio tridimensional finito con 15 puntos, 35 líneas y 15 planos, en el que cada línea tenía solo tres puntos en ella. ^[11] Los planos en este espacio consistían en siete puntos y siete líneas y ahora se conocen como planos de Fano .

El plano de Fano no puede representarse en el plano euclidiano utilizando únicamente puntos y segmentos de línea recta (es decir, no es realizable). Esto es una consecuencia del teorema de Sylvester-Gallai , según el cual toda geometría de incidencia realizable debe incluir una línea ordinaria , una línea que contiene solo dos puntos. El plano de Fano no tiene tal línea (es decir, es una configuración de Sylvester-Gallai ), por lo que no es realizable. ^[12]

Un cuadrángulo completo consta de cuatro puntos, de los cuales ninguno es colineal. En el plano de Fano, los tres puntos que no están en un cuadrángulo completo son los puntos diagonales de ese cuadrángulo y son colineales. Esto contradice el axioma de Fano , que se utiliza a menudo como axioma para el plano euclidiano, que establece que los tres puntos diagonales de un cuadrángulo completo nunca son colineales.

Planos afines

Un plano afín es un espacio lineal que satisface:

Para cualquier punto $A$ y línea $l$ no incidente con él (una antibandera ) hay exactamente una línea $m$ incidente con $A$ (es decir, $A I m$ ), que no cumple con $l$ (conocido como axioma de Playfair ),

y satisfaciendo la condición de no degeneración:

Existe un triángulo, es decir, tres puntos no colineales.

Se dice que las líneas $l$ y $m$ en el enunciado del axioma de Playfair son paralelas . Todo plano afín puede extenderse de forma única a un plano proyectivo. El orden de un plano afín finito es $k$ , el número de puntos de una línea. Un plano afín de orden $n$ es una configuración $((n 2) n + 1, (n 2 + n) n)$ .

Configuración de Hesse

El plano afín de orden tres es una configuración $(9 4, 12 3)$ . Cuando está incrustado en algún espacio ambiente se denomina configuración de Hesse . No es realizable en el plano euclidiano, pero sí en el plano proyectivo complejo como los nueve puntos de inflexión de una curva elíptica con las 12 líneas incidentes con ternas de estas.

Las 12 líneas se pueden dividir en cuatro clases de tres líneas cada una, donde, en cada clase, las líneas son mutuamente disjuntas. Estas clases se denominan clases paralelas de líneas. Si se añaden cuatro puntos nuevos, cada uno de los cuales se añade a todas las líneas de una única clase paralela (de modo que todas estas líneas se intersecan), y una nueva línea que contiene sólo estos cuatro puntos nuevos, se obtiene el plano proyectivo de orden tres, una configuración $(13 4)$ . Por el contrario, si se empieza por el plano proyectivo de orden tres (es único) y se elimina cualquier línea individual y todos los puntos de esa línea, se obtiene este plano afín de orden tres (también es único).

Al eliminar un punto y las cuatro líneas que pasan por ese punto (pero no los otros puntos sobre ellos) se produce la configuración $(8 3)$ de Möbius-Kantor .

Geometrías parciales

Dado un entero $α \geq 1$ , una configuración táctica que satisface:

Para cada antibandera $(B, m)$ hay $α$ banderas $(A, l)$ tales que $B I l$ y $A I m$ ,

Se denomina geometría parcial . Si hay $s + 1$ puntos en una línea y $t + 1$ líneas que pasan por un punto, la notación para una geometría parcial es $pg(s, t, α)$ .

Si $α = 1$ estas geometrías parciales son cuadrángulos generalizados .

Si $α = s + 1$ estos se llaman sistemas de Steiner .

Polígonos generalizados

Para $n > 2$ , ^[13] un $n$ -gono generalizado es un espacio lineal parcial cuyo gráfico de incidencia $Γ$ tiene la propiedad:

La circunferencia de $Γ$ (longitud del ciclo más corto ) es el doble del diámetro de $Γ$ (la distancia más grande entre dos vértices, $n$ en este caso).

Un 2-gono generalizado es una estructura de incidencia que no es un espacio lineal parcial y que consta de al menos dos puntos y dos líneas, en la que cada punto incide sobre cada línea. El gráfico de incidencia de un 2-gono generalizado es un gráfico bipartito completo.

$Un n$ -gono generalizado no contiene ningún m -gono ordinario para $2 \leq m < n$ y para cada par de objetos (dos puntos, dos líneas o un punto y una línea) hay un $n$ -gono ordinario que los contiene a ambos.

Los 3-ágonos generalizados son planos proyectivos. Los 4-ágonos generalizados se denominan cuadrángulos generalizados . Según el teorema de Feit-Higman, los únicos $n$ -ágonos generalizados finitos con al menos tres puntos por línea y tres líneas por punto tienen $n$ = 2, 3, 4, 6 u 8.

Cerca de polígonos

Para un entero no negativo $d,$ un $d$ -gono cercano a $2$ es una estructura de incidencia tal que:

La distancia máxima (medida en el gráfico de colinealidad) entre dos puntos es $d$ , y
Para cada punto $X$ y línea $l$ hay un único punto en $l$ que está más cerca de $X.$

Un polígono 0-proximo es un punto, mientras que un polígono 2-proximo es una línea. El gráfico de colinealidad de un polígono 2-proximo es un gráfico completo . Un polígono 4-proximo es un cuadrángulo generalizado (posiblemente degenerado). Todo polígono generalizado finito, excepto los planos proyectivos, es un polígono 4-proximo. Cualquier gráfico bipartito conexo es un polígono 4-proximo y cualquier polígono 4-proximo con exactamente dos puntos por línea es un gráfico bipartito conexo. Además, todos los espacios polares duales son polígonos 4-proximos.

Muchos polígonos cercanos están relacionados con grupos finitos simples como los grupos de Mathieu y el grupo de Janko J2 . Además, los 2 d -gonos generalizados, que están relacionados con los grupos de tipo Lie , son casos especiales de 2 d -gonos cercanos.

Planos de Möbius

Un plano de Möbius abstracto (o plano inverso) es una estructura de incidencia donde, para evitar posibles confusiones con la terminología del caso clásico, las líneas se denominan ciclos o bloques .

En concreto, un plano de Möbius es una estructura de incidencia de puntos y ciclos tal que:

Cada triple de puntos distintos incide exactamente en un ciclo.
Para cualquier bandera $(P, z)$ y cualquier punto $Q$ no incidente con $z$ hay un ciclo único $z *$ con $P I z *, Q I z *$ y $z \cap z * = {P}$ . (Se dice que los ciclos se tocan en $P$ .)
Todo ciclo tiene al menos tres puntos y existe al menos un ciclo.

La estructura de incidencia obtenida en cualquier punto $P$ de un plano de Möbius tomando como puntos todos los puntos distintos de $P$ y como líneas sólo aquellos ciclos que contienen $P$ (sin $P$ ), es un plano afín. Esta estructura se denomina residuo en $P$ en la teoría del diseño.

Un plano de Möbius finito de orden $m$ es una configuración táctica con $k = m + 1$ puntos por ciclo que es un diseño de 3 , específicamente un diseño de bloques de $3-(m 2 + 1, m + 1, 1) .$

Teoremas de incidencia en el plano euclidiano

El teorema de Sylvester-Gallai

Una cuestión planteada por JJ Sylvester en 1893 y finalmente resuelta por Tibor Gallai se refería a las incidencias de un conjunto finito de puntos en el plano euclidiano.

Teorema (Sylvester-Gallai) : Un conjunto finito de puntos en el plano euclidiano es colineal o existe una línea incidente con exactamente dos de los puntos.

En este contexto, una línea que contiene exactamente dos de los puntos se denomina línea ordinaria . Probablemente Sylvester se planteó esta pregunta mientras reflexionaba sobre la posibilidad de incrustación de la configuración de Hesse.

El teorema de Bruijn-Erdős

Un resultado relacionado es el teorema de De Bruijn-Erdős . Nicolaas Govert de Bruijn y Paul Erdős demostraron el resultado en el contexto más general de los planos proyectivos, pero todavía se cumple en el plano euclidiano. El teorema es: ^[14]

En un plano proyectivo , cada conjunto no colineal de

n

puntos determina al menos

n

líneas distintas.

Como señalaron los autores, dado que su prueba era combinatoria, el resultado se cumple en un contexto más amplio, de hecho en cualquier geometría de incidencia en la que exista una línea única que pase por cada par de puntos distintos. También mencionan que la versión del plano euclidiano se puede demostrar a partir del teorema de Sylvester-Gallai mediante inducción .

El teorema de Szemerédi-Trotter

Un límite en el número de banderas determinado por un conjunto finito de puntos y las líneas que determinan viene dado por:

Teorema (Szemerédi–Trotter) : dados $n$ puntos y $m$ líneas en el plano, el número de banderas (pares punto-línea incidente) es:

O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right),

y este límite no se puede mejorar, excepto en términos de las constantes implícitas.

Este resultado se puede utilizar para demostrar el teorema de Beck.

Se conjetura un límite similar para el número de incidencias en el caso de incidencias en círculos puntuales, pero sólo se conocen límites superiores más débiles. ^[15]

Teorema de Beck

El teorema de Beck dice que las colecciones finitas de puntos en el plano caen en uno de dos extremos: uno donde una gran fracción de puntos se encuentran en una sola línea, y otro donde se necesita una gran cantidad de líneas para conectar todos los puntos.

El teorema afirma la existencia de constantes positivas $C, K$ tales que, dados $n$ puntos en el plano, al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

Hay una línea que contiene al menos ⁠norte/do⁠ de los puntos.
Existen al menos ⁠número ²/K⁠ líneas, cada una de las cuales contiene al menos dos de los puntos.

En el argumento original de Beck, $C$ es 100 y $K$ es una constante no especificada; no se sabe cuáles son los valores óptimos de $C$ y $K.$

Más ejemplos

Véase también

Notas

^ Como, por ejemplo, lo hace L. Storme en su capítulo sobre geometría finita en Colbourn & Dinitz (2007, pág. 702)
^ Técnicamente, se trata de una estructura de incidencia de rango dos, donde el rango se refiere al número de tipos de objetos considerados (aquí, puntos y líneas). También se estudian estructuras de rango superior, pero varios autores se limitan al caso de rango dos, y así lo haremos aquí.
^ Moorhouse, pág. 5
^ Dembowski 1968, pág. 5
^ Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría , Nueva York: John Wiley & Sons, pág. 233, ISBN 978-0-471-50458-0
^ Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometría y la imaginación (2.ª ed.), Chelsea, págs. 94-170, ISBN 978-0-8284-1087-8
^ Moorhouse, pág. 5
^ Existen varias alternativas para este axioma de "no trivialidad". Se podría reemplazar por "existen tres puntos que no están en la misma línea", como se hace en Batten y Beutelspacher (1993, pág. 1). Hay otras opciones, pero siempre deben ser enunciados de existencia que excluyan los casos muy simples que se deben excluir.
^ Fano, G. (1892), "Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva", Giornale di Matematiche , 30 : 106-132
^ Collino, Conte y Verra 2013, pág. 6
^ ¿ Geometrías finitas de Malkevitch? Una columna destacada de AMS
^ Aigner y Ziegler (2010).
^ El uso de $n$ en el nombre es estándar y no debe confundirse con el número de puntos en una configuración.
^ Weisstein, Eric W., "Teorema de Bruijn-Erdős" de MathWorld
^ Aronov, Boris; Sharir, Micha (1 de noviembre de 2002). "Corte de círculos en pseudosegmentos y límites mejorados para el porcentaje de incidencia y la complejidad de muchas caras". Geometría discreta y computacional . 28 (4): 475–490. doi : 10.1007/s00454-001-0084-1 .

Referencias

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Buekenhout, Francis (1995), Manual de geometría de incidencia: edificios y cimientos, Elsevier, ISBN 978-0-444-88355-1
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Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-61786-0, Sr. 0233275
Malkevitch, Joe. "¿Geometrías finitas?" . Consultado el 2 de diciembre de 2013 .
Moorhouse, G. Eric. "Incidence Geometry" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 29 de octubre de 2013. Consultado el 20 de octubre de 2012 .
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Ball, Simeon (2015), Geometría finita y aplicaciones combinatorias, Textos para estudiantes de la London Mathematical Society, Cambridge University Press, ISBN 978-1107518438.

Enlaces externos

Medios relacionados con Geometría de incidencia en Wikimedia Commons
Sistema de incidencia en la Enciclopedia de Matemáticas