Hexágono

Forma con seis lados

En geometría , un hexágono (del griego ἕξ , hex , que significa "seis", y γωνία , gonía , que significa "esquina, ángulo") es un polígono de seis lados . ^[1] El total de los ángulos internos de cualquier hexágono simple (que no se interseca) es 720°.

Hexágono regular

Un hexágono regular tiene el símbolo de Schläfli {6} ^[2] y también puede construirse como un triángulo equilátero truncado , t{3}, que alterna dos tipos de aristas.

Un hexágono regular se define como un hexágono que es a la vez equilátero y equiangular . Es bicéntrico , lo que significa que es a la vez cíclico (tiene un círculo circunscrito) y tangencial (tiene un círculo inscrito).

La longitud común de los lados es igual al radio del círculo circunscrito o circunferencia circunscrita , que es igual a veces la apotema (radio del círculo inscrito ). Todos los ángulos internos miden 120 grados . Un hexágono regular tiene seis simetrías rotacionales ( simetría rotacional de orden seis ) y seis simetrías de reflexión ( seis ejes _de simetría ), formando el grupo diédrico D6 . Las diagonales más largas de un hexágono regular, que conectan vértices diametralmente opuestos, miden el doble de la longitud de un lado. De esto se puede ver que un triángulo con un vértice en el centro del hexágono regular y que comparte un lado con el hexágono es equilátero , y que el hexágono regular se puede dividir en seis triángulos equiláteros. ${\displaystyle {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}}$

Al igual que los cuadrados y los triángulos equiláteros , los hexágonos regulares encajan entre sí sin espacios para formar mosaicos en el plano (tres hexágonos se juntan en cada vértice) y, por lo tanto, son útiles para construir teselados . Las celdas de un panal de colmena son hexagonales por esta razón y porque su forma hace un uso eficiente del espacio y los materiales de construcción. El diagrama de Voronoi de una red triangular regular es la teselación de hexágonos en forma de panal. No suele considerarse triambus , aunque sí es equilátero.

Parámetros

R = Circunradio ; r = Inradio ; t = longitud del lado

El diámetro máximo (que corresponde a la diagonal larga del hexágono), D , es el doble del radio máximo o circunradio , R , que es igual a la longitud del lado, t . El diámetro mínimo o el diámetro del círculo inscrito (separación de lados paralelos, distancia de plano a plano, diagonal corta o altura cuando se apoya sobre una base plana), d , es el doble del radio mínimo o inradio , r . Los máximos y mínimos están relacionados por el mismo factor:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}d=r=\cos(30^{\circ })R={\frac {\sqrt {3}}{2}}R={\frac {\sqrt {3}}{2}}t}$   y, de manera similar, ${\displaystyle d={\frac {\sqrt {3}}{2}}D.}$

El área de un hexágono regular.

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}=3Rr=2{\sqrt {3}}r^{2}\\[3pt]&={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}D^{2}={\frac {3}{4}}Dd={\frac {\sqrt {3}}{2}}d^{2}\\[3pt]&\approx 2.598R^{2}\approx 3.464r^{2}\\&\approx 0.6495D^{2}\approx 0.866d^{2}.\end{aligned}}}$

Para cualquier polígono regular , el área también se puede expresar en términos de la apotema a y el perímetro p . Para el hexágono regular, estos vienen dados por a = r y p , por lo que ${\displaystyle {}=6R=4r{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ap}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt {3}}}{2}}=2r^{2}{\sqrt {3}}\\&\approx 3.464r^{2}.\end{aligned}}}$

El hexágono regular ocupa la fracción de su círculo circunscrito . ${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270}$

Si un hexágono regular tiene vértices sucesivos A, B, C, D, E, F y si P es cualquier punto de la circunferencia circunscrita entre B y C, entonces PE + PF = PA + PB + PC + PD .

De la relación entre circunradio e inradio se deduce que la relación alto-ancho de un hexágono regular es 1:1,1547005; es decir, un hexágono con una diagonal larga de 1,0000000 tendrá una distancia de 0,8660254 entre lados paralelos.

punto en el plano

Para un punto arbitrario en el plano de un hexágono regular con radio circunstante , cuyas distancias al centroide del hexágono regular y sus seis vértices son y respectivamente, tenemos ^[3] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{4}^{2}=d_{2}^{2}+d_{5}^{2}=d_{3}^{2}+d_{6}^{2}=2\left(R^{2}+L^{2}\right),}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}+d_{5}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+d_{6}^{2}=3\left(R^{2}+L^{2}\right),}$

${\displaystyle d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{5}^{4}=d_{2}^{4}+d_{4}^{4}+d_{6}^{4}=3\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right).}$

Si son las distancias desde los vértices de un hexágono regular a cualquier punto de su circunferencia, entonces ^[3] ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{2}\right)^{2}=4\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{4}.}$

Simetría

Los seis ejes de reflexión de un hexágono regular, con simetría Dih ₆ o r12 , orden 12.

Las simetrías diédricas se dividen dependiendo de si pasan por vértices ( d para diagonal) o aristas ( p para perpendiculares). Las simetrías cíclicas en la columna del medio están etiquetadas como g para sus órdenes de giro central. La simetría completa de la forma regular es r12 y ninguna simetría se denomina a1 .

El hexágono regular tiene simetría D ₆ . Hay 16 subgrupos. Hay 8 hasta el isomorfismo: él mismo (D ₆ ), 2 diédricos: (D _3, D ₂ ), 4 cíclicos : (Z ₆ , Z ₃ , Z ₂ , Z ₁ ) y el trivial (e)

Estas simetrías expresan nueve simetrías distintas de un hexágono regular. John Conway los etiqueta mediante letras y orden de grupo. ^[4] r12 es simetría total y a1 no es simetría. p6 , un hexágono isogonal construido por tres espejos puede alternar bordes largos y cortos, y d6 , un hexágono isotoxal construido con longitudes de bordes iguales, pero los vértices alternan dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del hexágono regular. Las formas i4 son hexágonos regulares aplanados o estirados a lo largo de una dirección de simetría. Puede verse como un rombo alargado , mientras que d2 y p2 pueden verse como cometas alargadas horizontal y verticalmente . Los hexágonos g2 , con lados opuestos paralelos, también se llaman paralelogones hexagonales .

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Sólo el subgrupo g6 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas .

Los hexágonos de simetría g2 , i4 y r12 , como paralelogones , pueden teselar el plano euclidiano mediante traslación. Otras formas hexagonales pueden mosaico el plano con diferentes orientaciones.

Grupos A2 y G2

Las 6 raíces del grupo de Lie simple A2 , representadas por un diagrama de Dynkin , tienen un patrón hexagonal regular. Las dos raíces simples tienen un ángulo de 120° entre ellas.

Las 12 raíces del grupo G2 de la Mentira Excepcional , representadas por un diagrama de Dynkin También tienen un patrón hexagonal. Las dos raíces simples de dos longitudes tienen un ángulo de 150° entre ellas.

Disección

Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en 1 ⁄ 2 m ( m − 1) paralelogramos. ^[5] En particular, esto es cierto para los polígonos regulares con el mismo número de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Esta descomposición de un hexágono regular se basa en una proyección del polígono de Petrie de un cubo , con 3 de 6 caras cuadradas. Otros paralelogones y direcciones proyectivas del cubo se diseccionan dentro de cuboides rectangulares .

Polígonos y mosaicos relacionados

Un hexágono regular tiene el símbolo de Schläfli {6}. Un hexágono regular es parte del mosaico hexagonal regular , {6,3}, con tres caras hexagonales alrededor de cada vértice.

Un hexágono regular también se puede crear como un triángulo equilátero truncado , con el símbolo de Schläfli t{3}. Vista con dos tipos (colores) de aristas, esta forma solo tiene simetría D ₃ .

Un hexágono truncado , t{6}, es un dodecágono , {12}, que alterna dos tipos (colores) de aristas. Un hexágono alterno , h{6}, es un triángulo equilátero , {3}. Un hexágono regular puede estrellarse con triángulos equiláteros en sus aristas, creando un hexagrama . Un hexágono regular se puede dividir en seis triángulos equiláteros añadiendo un punto central. Este patrón se repite dentro del mosaico triangular regular .

Un hexágono regular se puede convertir en un dodecágono regular agregando cuadrados y triángulos equiláteros alternos a su alrededor. Este patrón se repite dentro del mosaico rombitrihexagonal .

Hexágonos autocruzados

Hay seis hexágonos que se cruzan solos con la disposición de los vértices del hexágono regular:

Estructuras hexagonales

Primer plano de la Calzada del Gigante

Desde los panales de abejas hasta la Calzada del Gigante , los patrones hexagonales prevalecen en la naturaleza debido a su eficiencia. En una cuadrícula hexagonal, cada línea es lo más corta posible si se va a llenar un área grande con la menor cantidad de hexágonos. Esto significa que los panales requieren menos cera para construirse y ganan mucha resistencia bajo compresión .

Los hexágonos irregulares con bordes opuestos paralelos se llaman paralelogones y también pueden formar mosaicos en el plano por traslación. En tres dimensiones, los prismas hexagonales con caras opuestas paralelas se llaman paraleloedros y pueden teselar 3 espacios mediante traslación.

Teselados por hexágonos

Además del hexágono regular, que determina una teselación única del plano, cualquier hexágono irregular que satisfaga el criterio de Conway enlosará el plano.

Hexágono inscrito en una sección cónica.

El teorema de Pascal (también conocido como "Teorema del Hexagrammum Mysticum") establece que si se inscribe un hexágono arbitrario en cualquier sección cónica , y se extienden pares de lados opuestos hasta que se encuentran, los tres puntos de intersección estarán en una línea recta, el " Línea Pascal" de esa configuración.

hexágono cíclico

El hexágono de Lemoine es un hexágono cíclico (uno inscrito en una circunferencia) con vértices dados por las seis intersecciones de las aristas de un triángulo y las tres rectas que son paralelas a las aristas que pasan por su punto simediano .

Si los lados sucesivos de un hexágono cíclico son a , b , c , d , e , f , entonces las tres diagonales principales se cortan en un solo punto si y solo si ace = bdf . ^[6]

Si, para cada lado de un hexágono cíclico, los lados adyacentes se extienden hasta su intersección, formando un triángulo exterior al lado dado, entonces los segmentos que conectan los circuncentros de triángulos opuestos son concurrentes . ^[7]

Si un hexágono tiene vértices en el círculo circunstante de un triángulo agudo en los seis puntos (incluidos tres vértices del triángulo) donde las altitudes extendidas del triángulo se encuentran con el círculo circunstante, entonces el área del hexágono es el doble del área del triángulo. ^{[8] : pág. 179}

Hexágono tangencial a una sección cónica

Sea ABCDEF un hexágono formado por seis rectas tangentes de una sección cónica. Entonces, el teorema de Brianchon establece que las tres diagonales principales AD, BE y CF se cortan en un solo punto.

En un hexágono que es tangencial a un círculo y que tiene lados consecutivos a , b , c , d , e y f , ^[9]

${\displaystyle a+c+e=b+d+f.}$

Triángulos equiláteros a los lados de un hexágono arbitrario

Triángulos equiláteros a los lados de un hexágono arbitrario

Si se construye externamente un triángulo equilátero a cada lado de cualquier hexágono, entonces los puntos medios de los segmentos que conectan los centroides de triángulos opuestos forman otro triángulo equilátero. ^{[10] : Thm. 1}

hexágono sesgado

Un hexágono sesgado regular visto como bordes (negro) de un antiprisma triangular , simetría D _3d , [2 ⁺ ,6], (2*3), orden 12.

Un hexágono sesgado es un polígono sesgado con seis vértices y aristas pero que no existe en el mismo plano. El interior de tal hexágono generalmente no está definido. Un hexágono en zig-zag oblicuo tiene vértices que se alternan entre dos planos paralelos.

Un hexágono sesgado regular es transitivo por vértice con longitudes de borde iguales. En tres dimensiones será un hexágono oblicuo en zig-zag y se podrá ver en los vértices y aristas laterales de un antiprisma triangular con la misma simetría D _3d , [2 ⁺ ,6], orden 12.

El cubo y el octaedro (igual que el antiprisma triangular) tienen hexágonos sesgados regulares como polígonos de Petrie.

Polígonos de Petrie

El hexágono sesgado regular es el polígono de Petrie para estos poliedros y politopos regulares , uniformes y duales de dimensiones superiores, que se muestran en estas proyecciones ortogonales sesgadas :

Hexágono equilátero convexo

Una diagonal principal de un hexágono es una diagonal que divide el hexágono en cuadriláteros. En cualquier hexágono equilátero convexo (uno con todos los lados iguales) con lado común a , existe ^{[11] : p.184, #286.3} una diagonal principal d ₁ tal que

${\displaystyle {\frac {d_{1}}{a}}\leq 2}$

y una diagonal principal d ₂ tal que

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}.}$

Poliedros con hexágonos

No existe un sólido platónico formado únicamente por hexágonos regulares, porque los hexágonos se teselan , no permitiendo que el resultado se "doble". Los sólidos de Arquímedes con algunas caras hexagonales son el tetraedro truncado , el octaedro truncado , el icosaedro truncado (de fama de balón de fútbol y fullereno ), cuboctaedro truncado y el icosidodecaedro truncado . Estos hexágonos pueden considerarse triángulos truncados , con diagramas de Coxeter de la formay.

Hay otros poliedros de simetría con hexágonos estirados o aplanados, como estos poliedros de Goldberg G(2,0):

También hay 9 sólidos de Johnson con hexágonos regulares:

Galería de hexágonos naturales y artificiales.

• 
  La estructura cristalina ideal del grafeno es una rejilla hexagonal.
• 
  Segmentos de espejo E-ELT ensamblados
• 
  Un panal de colmena
• 
  Los escudos del caparazón de una tortuga
• 
  El hexágono de Saturno , un patrón de nubes hexagonal alrededor del polo norte del planeta.
• 
  Micrografía de un copo de nieve
• 
  Benceno , el compuesto aromático más simple con forma hexagonal.
• 
  Orden hexagonal de burbujas en una espuma.
• 
  Estructura cristalina de un hexágono molecular compuesto de anillos aromáticos hexagonales.
• 
  Columnas de basalto formadas naturalmente en la Calzada del Gigante en Irlanda del Norte ; las masas grandes deben enfriarse lentamente para formar un patrón de fractura poligonal
• 
  Una vista aérea de Fort Jefferson en el Parque Nacional Dry Tortugas
• 
  El espejo del Telescopio Espacial James Webb está compuesto por 18 segmentos hexagonales.
• 
  En francés, l'Hexagone se refiere a la Francia metropolitana por su forma vagamente hexagonal.
• 
  Cristal hexagonal de Hanksite , uno de los muchos minerales del sistema cristalino hexagonal
• 
  granero hexagonal
• 
  The Hexagon , un teatro hexagonal en Reading, Berkshire
• 
  El ajedrez hexagonal de Władysław Gliński
• 
  Pabellón en el Jardín Botánico de Taiwán
• 
  ventana hexagonal

Ver también

• 24 celdas : una figura de cuatro dimensiones que, como el hexágono, tiene facetas ortoplexas , es autodual y tesela el espacio euclidiano.
• Sistema de cristal hexagonal
• numero hexagonal
• Mosaico hexagonal : un mosaico regular de hexágonos en un plano.
• Hexagrama : estrella de seis caras dentro de un hexágono regular.
• Hexagrama unicursal : camino único, estrella de seis caras, dentro de un hexágono
• Conjetura del panal
• Havannah : juego de mesa abstracto que se juega en una cuadrícula hexagonal de seis lados

Referencias

1. Imagen del cubo
2. Wenninger, Magnus J. (1974), Modelos de poliedros, Cambridge University Press, pág. 9, ISBN 9780521098595, archivado desde el original el 2 de enero de 2016 , consultado el 6 de noviembre de 2015.
3. Meskhishvili, Mamuka (2020). "Promedios cíclicos de polígonos regulares y sólidos platónicos". Comunicaciones en Matemáticas y Aplicaciones . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi :10.26713/cma.v11i3.1420 (inactivo el 31 de enero de 2024).{{cite journal}}: Mantenimiento CS1: DOI inactivo a partir de enero de 2024 ( enlace )
4. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275- 278) 
5. Coxeter , Ensayos y recreaciones matemáticas, decimotercera edición, p.141
6. Cartensen, Jens, "Acerca de los hexágonos", Mathematical Spectrum 33(2) (2000-2001), 37–40.
7. Dergiades, Nikolaos (2014). "Teorema de Dao sobre seis circuncentros asociados a un hexágono cíclico". Foro Geométricorum . 14 : 243–246. Archivado desde el original el 5 de diciembre de 2014 . Consultado el 17 de noviembre de 2014 .
8. Johnson, Roger A., ​​Geometría euclidiana avanzada , Publicaciones de Dover, 2007 (orig. 1960).
9. Gutiérrez, Antonio, "Hexágono, círculo inscrito, tangente, semiperímetro", [1] Archivado el 11 de mayo de 2012 en Wayback Machine , consultado el 17 de abril de 2012.
10. Dao Thanh Oai (2015). "Triángulos equiláteros y perspectores de Kiepert en números complejos". Foro Geométricorum . 15 : 105-114. Archivado desde el original el 5 de julio de 2015 . Consultado el 12 de abril de 2015 .
11. Desigualdades propuestas en " Crux Mathematicorum " , [2] Archivado el 30 de agosto de 2017 en Wayback Machine .

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Hexágono". MundoMatemático .

• Definición y propiedades de un hexágono con animación interactiva y construcción con compás y regla.
• Introducción a la geometría hexagonal en Hexnet, un sitio web dedicado a las matemáticas hexagonales.
• Los hexágonos son los Bestagons en YouTube : un vídeo animado de Internet sobre hexágonos de CGP Gray .