En geometría, una alternancia o truncamiento parcial es una operación sobre un polígono , poliedro , mosaico o politopo de dimensiones superiores que elimina vértices alternos. [1]
Coxeter etiqueta una alternancia con un prefijo h , que representa hemi o mitad . Debido a que la alternancia reduce todas las caras del polígono a la mitad de lados, solo se puede aplicar a politopos con todas las caras de lados pares. Una cara cuadrada alternada pasa a ser un digon , y al estar degenerada, suele reducirse a una sola arista.
De manera más general, se puede alternar cualquier poliedro o mosaico de vértice uniforme con una configuración de vértice que consta de todos los elementos pares . Por ejemplo, la alternancia de una figura de vértice con 2a.2b.2c es a.3.b.3.c.3 donde el tres es el número de elementos en esta figura de vértice. Un caso especial son las caras cuadradas cuyo orden se divide por la mitad en digones degenerados . Así, por ejemplo, el cubo 4.4.4 se alterna como 2.3.2.3.2.3 que se reduce a 3.3.3, siendo el tetraedro , y las 6 aristas de los tetraedros también pueden verse como las caras degeneradas del cubo original.
Un desaire (en la terminología de Coxeter ) puede verse como una alternancia de un poliedro regular truncado o cuasiregular truncado . En general, un poliedro puede ser desairado si su truncamiento sólo tiene caras pares. Todos los poliedros rectificados truncados pueden ser desairados, no sólo los poliedros regulares.
El antiprisma cuadrado chato es un ejemplo de chatarra general y se puede representar mediante ss{2,4}, con el antiprisma cuadrado , s{2,4}.
Esta operación de alternancia también se aplica a politopos y panales de dimensiones superiores, pero en general la mayoría de los resultados de esta operación no serán uniformes. Los vacíos creados por los vértices eliminados en general no crearán facetas uniformes y, por lo general, no hay suficientes grados de libertad para permitir un cambio de escala apropiado de los nuevos bordes. Sin embargo, existen excepciones, como la derivación del desaire de 24 celdas del truncado de 24 celdas .
Ejemplos:
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Coxeter también usó el operador a , que contiene ambas mitades, por lo que conserva la simetría original. Para poliedros regulares de lados pares, a{2p,q} representa un poliedro compuesto con dos copias opuestas de h{2p,q}. Para poliedros regulares a{p,q} de lados impares, mayores que 3, se convierte en un poliedro en estrella .
Norman Johnson amplió el uso del operador modificado a {p,q}, b {p,q} para combinado y c {p,q} para convertido , como
,, yrespectivamente.
El poliedro compuesto conocido como octaedro estrellado se puede representar mediante un {4,3} (un cubo alterado ), y
,
.
El poliedro estrella conocido como icosidodecaedro ditrigonal pequeño se puede representar mediante un {5,3} (un dodecaedro alterado ), y
,
. Aquí todos los pentágonos se han alternado en pentagramas y se han insertado triángulos para ocupar los bordes libres resultantes.
El poliedro estelar conocido como gran icosidodecaedro ditrigonal se puede representar mediante un {5/2,3} (un gran dodecaedro estrellado alterado ), y
,
. Aquí todos los pentagramas se han alternado nuevamente en pentágonos y se han insertado triángulos para ocupar los bordes libres resultantes.
Una operación similar puede truncar vértices alternos, en lugar de simplemente eliminarlos. A continuación se muestra un conjunto de poliedros que se pueden generar a partir de los sólidos catalanes . Estos tienen dos tipos de vértices que pueden truncarse alternativamente. Truncar los vértices de "orden superior" y ambos tipos de vértices produce estas formas: