En geometría euclidiana , la rectificación , también conocida como truncamiento crítico o truncamiento completo , es el proceso de truncar un politopo marcando los puntos medios de todas sus aristas , y cortando sus vértices en esos puntos. [1] El politopo resultante estará delimitado por las facetas de la figura del vértice y las facetas rectificadas del politopo original.
Un operador de rectificación a veces se indica con la letra r con un símbolo de Schläfli . Por ejemplo, r {4,3} es el cubo rectificado , también llamado cuboctaedro , y también representado como . Y un cuboctaedro rectificado rr{4,3} es un rombicuboctaedro , y también representado como .
La notación poliédrica de Conway utiliza un ambón como operador. En teoría de grafos, esta operación crea un gráfico medial .
La rectificación de cualquier poliedro o mosaico regular autodual dará como resultado otro poliedro o mosaico regular con un orden de mosaico de 4, por ejemplo, el tetraedro {3,3} se convierte en un octaedro {3,4}. Como caso especial, un mosaico cuadrado {4,4} se convertirá en otro mosaico cuadrado {4,4} bajo una operación de rectificación.
La rectificación es el punto final de un proceso de truncamiento. Por ejemplo, en un cubo esta secuencia muestra cuatro pasos de un continuo de truncamientos entre la forma regular y rectificada:
Se puede realizar una rectificación de mayor grado en politopos regulares de dimensiones superiores. El mayor grado de rectificación crea el politopo dual . Una rectificación trunca aristas a puntos. Una birectificación trunca caras a puntos. Una trirectificación trunca celdas a puntos, y así sucesivamente.
Esta secuencia muestra un cubo birectificado como la secuencia final desde un cubo hasta el dual donde las caras originales se truncan hasta un solo punto:
El dual de un polígono es igual a su forma rectificada. Los nuevos vértices se colocan en el centro de los bordes del polígono original.
Cada sólido platónico y su dual tienen el mismo poliedro rectificado. (Esto no es cierto para los politopos en dimensiones superiores).
El poliedro rectificado resulta expresable como la intersección del sólido platónico original con una versión concéntrica apropiadamente escalada de su dual. Por ello, su nombre es una combinación de los nombres del original y del dual:
Ejemplos
Si un poliedro no es regular, los puntos medios de las aristas que rodean un vértice pueden no ser coplanares. Sin embargo, una forma de rectificación todavía es posible en este caso: cada poliedro tiene un gráfico poliédrico como su 1-esqueleto , y a partir de ese gráfico se puede formar el gráfico medial colocando un vértice en cada punto medio del borde del gráfico original y conectando dos de estos nuevos vértices por una arista siempre que pertenezcan a aristas consecutivas a lo largo de una cara común. El gráfico medial resultante sigue siendo poliédrico, por lo que según el teorema de Steinitz se puede representar como un poliedro.
La notación del poliedro de Conway equivalente a la rectificación es ambón , representada por un . Aplicar dos veces aa , (rectificar una rectificación) es la operación de expansión de Conway , e , que es la misma que la operación de cantelación de Johnson , t 0,2 generada a partir de poliedros y mosaicos regulares.
Cada 4 politopo regular convexo tiene una forma rectificada como 4 politopo uniforme .
Un 4 politopo regular {p,q,r} tiene celdas {p,q}. Su rectificación tendrá dos tipos de celdas, un poliedro {p,q} rectificado que queda de las celdas originales y un poliedro {q,r} como nuevas celdas formadas por cada vértice truncado.
Sin embargo, no es lo mismo un {p,q,r} rectificado que un {r,q,p} rectificado. Un truncamiento adicional, llamado bitruncado , es simétrico entre un politopo de 4 y su dual. Ver 4 politopos uniformes # Derivaciones geométricas .
Ejemplos
Una primera rectificación trunca las aristas hasta convertirlas en puntos. Si un politopo es regular , esta forma se representa mediante una notación de símbolo de Schläfli extendida t 1 {p,q,...} o r {p,q,...}.
Una segunda rectificación, o birectificación , trunca las caras hasta convertirlas en puntos. Si es regular tiene notación t 2 {p,q,...} o 2 r {p,q,...}. Para los poliedros , una birectificación crea un poliedro dual .
Se pueden construir rectificaciones de mayor grado para politopos de mayores dimensiones. En general, una n-rectificación trunca n-caras en puntos.
Si un n-politopo se rectifica (n-1), sus facetas se reducen a puntos y el politopo se convierte en su dual .
Existen diferentes notaciones equivalentes para cada grado de rectificación. Estas tablas muestran los nombres por dimensión y los dos tipos de facetas para cada una.
Las facetas son aristas, representadas como {}.
Las facetas son polígonos regulares.
Las facetas son poliedros regulares o rectificados.
Las facetas son 4 politopos regulares o rectificados.
