Objeto geométrico de 5 dimensiones
En geometría , un politopo de cinco dimensiones (o politopo de cinco dimensiones o politeron ) es un politopo en un espacio de cinco dimensiones , delimitado por facetas ( de cuatro politopos ) , cuyos pares comparten una celda poliédrica .
Definición
Un 5 politopo es una figura cerrada de cinco dimensiones con vértices , aristas , caras y celdas , y 4 caras . Un vértice es un punto donde se encuentran cinco o más aristas. Una arista es un segmento de línea donde se encuentran cuatro o más caras y una cara es un polígono donde se encuentran tres o más celdas. Una celda es un poliedro y una de 4 caras es un politopo de 4 . Además, deberán cumplirse los siguientes requisitos:
- Cada celda debe unir exactamente dos 4 caras.
- Las 4 caras adyacentes no están en el mismo hiperplano de cuatro dimensiones .
- La figura no es una combinación de otras figuras que cumplan los requisitos.
Características
La topología de cualquier 5 politopo dado está definida por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [1]
El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar los poliedros no se generaliza de manera útil a dimensiones superiores, cualquiera que sea su topología subyacente. Esta insuficiencia de la característica de Euler para distinguir de manera confiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores llevó al descubrimiento de los números de Betti más sofisticados. [1]
De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de politopos toroidales, y esto llevó al uso de coeficientes de torsión. [1]
Clasificación
Los 5 politopos se pueden clasificar según propiedades como " convexidad " y " simetría ".
- Un 5-politopo es convexo si su límite (incluidas sus celdas, caras y aristas) no se cruza consigo mismo y el segmento de línea que une dos puntos cualesquiera del 5-politopo está contenido en el 5-politopo o en su interior; en caso contrario, no es convexo . Los 5 politopos que se intersectan solos también se conocen como politopos estelares , por analogía con las formas en forma de estrella de los poliedros no convexos de Kepler-Poinsot .
- Un 5 politopo uniforme tiene un grupo de simetría bajo el cual todos los vértices son equivalentes y sus facetas son 4 politopos uniformes . Las caras de un politopo uniforme deben ser regulares .
- Un 5 politopo semirregular contiene dos o más tipos de facetas regulares de 4 politopos. Sólo existe una figura de este tipo, llamada demipenteracto .
- Un 5 politopo regular tiene todas las facetas idénticas de 4 politopos regulares. Todos los 5 politopos regulares son convexos.
- Un politopo prismático de 5 dimensiones se construye mediante un producto cartesiano de dos politopos de dimensiones inferiores. Un politopo prismático de 5 es uniforme si sus factores son uniformes. El hipercubo es prismático (producto de un cuadrado y un cubo ), pero se considera por separado porque tiene simetrías distintas a las heredadas de sus factores.
- Una teselación de 4 espacios es la división del espacio euclidiano de cuatro dimensiones en una cuadrícula regular de facetas policorales. Estrictamente hablando, los teselados no son politopos ya que no limitan un volumen "5D", pero los incluimos aquí para completar porque son similares en muchos aspectos a los politopos. Una teselación uniforme de 4 espacios es aquella cuyos vértices están relacionados por un grupo espacial y cuyas facetas son 4 politopos uniformes.
5 politopos regulares
Los 5 politopos regulares se pueden representar mediante el símbolo de Schläfli {p,q,r,s}, con s {p,q,r} facetas policorales alrededor de cada cara .
Hay exactamente tres de estos 5 politopos regulares convexos :
- {3,3,3,3} - 5-símplex
- {4,3,3,3} - 5 cubos
- {3,3,3,4} - 5-ortoplex
Para los 3 5 politopos regulares convexos y los tres 5 politopos semirregulares, sus elementos son:
5 politopos uniformes
Para tres de los 5 politopos semirregulares, sus elementos son:
El 5-símplex expandido es la figura de vértice del panal uniforme de 5-símplex ,
. El panal de 5 semicubos ,, la figura del vértice es un 5-ortoplex rectificado y las facetas son el 5-ortoplex y el 5-demicube .
Pirámides
Los 5 politopos piramidales, o 5 pirámides , pueden generarse mediante una base de 4 politopos en un hiperplano de 4 espacios conectado a un punto fuera del hiperplano. El 5-simplex es el ejemplo más simple con una base de 4-simplex.
Ver también
Referencias
- ^ abc Richeson, D.; La gema de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topoplogía , Princeton, 2008.
- T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
- A. Boole Stott : Deducción geométrica de politopos semirregulares a partir de regulares y rellenos espaciales , Verhandelingen de la unidad de ancho de la academia Koninklijke van Wetenschappen Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
- HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins und JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londres, 1954
- HSM Coxeter, Politopos regulares , tercera edición, Dover, Nueva York, 1973
- Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semiregulares I , [Math. Tiempo. 46 (1940) 380–407, SEÑOR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Tiempo. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Tiempo. 200 (1988) 3-45]
- NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 5D (polytera)".
enlaces externos
- Politopos de varias dimensiones, Jonathan Bowers
- Uniforme Polytera, Jonathan Bowers
- Glosario multidimensional, Garrett Jones
. El panal de 5 semicubos ,
