En geometría , los demihipercubos (también llamados n-demicubes , n-hemicubes y politopos de media medida ) son una clase de n - politopos construidos a partir de la alternancia de un n - hipercubo , etiquetados como hγn por ser la mitad de la familia de los hipercubos, γn . . Se eliminan la mitad de los vértices y se forman nuevas facetas. Las 2 n facetas se convierten en 2 n ( n −1 ) -demicubos , y se forman 2 n ( n −1 ) -facetas simples en lugar de los vértices eliminados. [1]
Se han nombrado con un semiprefijo para cada nombre de hipercubo : demicube, demitesseract, etc. El demicube es idéntico al tetraedro regular , y el demitesseract es idéntico al regular de 16 celdas . El demipenteracto se considera semirregular por tener sólo facetas regulares. Las formas superiores no tienen todas las facetas regulares sino que son politopos uniformes .
Los vértices y aristas de un semihipercubo forman dos copias del gráfico del cubo dividido por la mitad .
Un n -demicube tiene simetría de inversión si n es par .
Thorold Gosset describió el demipenteracto en su publicación de 1900, enumerando todas las figuras regulares y semirregulares en n dimensiones superiores a tres. Lo llamó 5-ic semirregular . También existe dentro de la familia de politopos semirregulares k 21 .
Los semihipercubos se pueden representar mediante símbolos de Schläfli extendidos de la forma h{4,3,...,3} como la mitad de los vértices de {4,3,...,3}. Las figuras de vértice de los demihipercubos son n - simplex rectificados .
Están representados mediante diagramas de Coxeter-Dynkin de tres formas constructivas:
... (Como ortotopo alternativo ) s{2 1,1,...,1 }
...(Como un hipercubo alterno ) h{4,3 n −1 }
.... (Como un semihipercubo) {3 1, n −3,1 }HSM Coxeter también etiquetó los terceros diagramas de bifurcación como 1 k 1 que representan las longitudes de las tres ramas y están encabezados por la rama anillada.
Un n-demicube , n mayor que 2, tiene n ( n −1)/2 aristas que se encuentran en cada vértice. Los siguientes gráficos muestran menos aristas en cada vértice debido a la superposición de aristas en la proyección de simetría.
En general, los elementos de un demicubo se pueden determinar a partir del n -cubo original: (con C n , m = m th -face count en n -cube = 2 n − m n !/( m !( n − m )!) )
El estabilizador del demihipercubo en el grupo hiperoctaédrico (el grupo Coxeter [4,3 n −1 ]) tiene índice 2. Es el grupo Coxeter [3 n −3,1,1 ] de orden , y se genera mediante permutaciones de los ejes de coordenadas y las reflexiones a lo largo de pares de ejes de coordenadas. [2]
Las construcciones como ortotopos alternos tienen la misma topología, pero se pueden estirar con diferentes longitudes en n -ejes de simetría.
El disfenoide rómbico es el ejemplo tridimensional como cuboide alterno. Tiene tres conjuntos de longitudes de aristas y caras de triángulos escalenos .
