Número hexagonal

Tipo de número figurado

Prueba sin palabras de que un número hexagonal (columna del medio) se puede reorganizar como números rectangulares y triangulares de lados impares

Un número hexagonal es un número figurado . El n -ésimo número hexagonal h _n es el número de puntos distintos en un patrón de puntos que consiste en los contornos de hexágonos regulares con lados de hasta n puntos, cuando los hexágonos se superponen de modo que comparten un vértice .

Los primeros cuatro números hexagonales.

La fórmula para el n -ésimo número hexagonal

${\displaystyle h_{n}=2n^{2}-n=n(2n-1)={\frac {2n(2n-1)}{2}}.}$

Los primeros números hexagonales (secuencia A000384 en la OEIS ) son:

1 , 6 , 15 , 28 , 45 , 66 , 91 , 120 , 153 , 190 , 231 , 276, 325, 378, 435, 496 , 561 , 630, 703, 780, 861, 946...

Todo número hexagonal es un número triangular , pero solo los demás números triangulares (el 1.º, 3.º, 5.º, 7.º, etc.) son números hexagonales. Al igual que un número triangular, la raíz digital en base 10 de un número hexagonal solo puede ser 1, 3, 6 o 9. El patrón de la raíz digital, que se repite cada nueve términos, es "1 6 6 1 9 3 1 3 9".

Todo número par perfecto es hexagonal, dado por la fórmula

${\displaystyle M_{p}2^{p-1}=M_{p}{\frac {M_{p}+1}{2}}=h_{(M_{p}+1)/2}=h_{2^{p-1}}}$

donde M _p es un primo de Mersenne . No se conocen números perfectos impares, por lo tanto, todos los números perfectos conocidos son hexagonales.

Por ejemplo, el segundo número hexagonal es 2×3 = 6; el cuarto es 4×7 = 28; el decimosexto es 16×31 = 496; y el sexagésimo cuarto es 64×127 = 8128.

El número más grande que no puede escribirse como suma de cuatro números hexagonales como máximo es 130. Adrien-Marie Legendre demostró en 1830 que cualquier número entero mayor que 1791 puede expresarse de esta manera .

Además, sólo dos números enteros no pueden expresarse con cinco números hexagonales (pero sí con seis), siendo estos últimos 11 y 26.

Los números hexagonales no deben confundirse con los números hexagonales centrados , que modelan el empaquetado estándar de las salchichas vienesas . Para evitar ambigüedades, los números hexagonales a veces se denominan "números hexagonales arqueados".

Prueba de números hexagonales

Se puede comprobar de manera eficiente si un entero positivo x es un número hexagonal calculando

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}+1}{4}}.}$

Si n es un entero, entonces x es el n- ésimo número hexagonal. Si n no es un entero, entonces x no es hexagonal.

Relaciones de congruencia

• ${\displaystyle h_{n}\equiv n{\pmod {4}}}$
• ${\displaystyle h_{3n}+h_{2n}+h_{n}\equiv 0{\pmod {2}}}$

Otras propiedades

Expresión que utiliza la notación sigma

El número n de la secuencia hexagonal también se puede expresar utilizando la notación sigma como

${\displaystyle h_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{(4k+1)}}$

donde la suma vacía se toma como 0.

Suma de los números hexagonales recíprocos

La suma de los números hexagonales recíprocos es 2ln(2) , donde ln denota el logaritmo natural .

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(2k-1)}}&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}+{\frac {1}{2k}}-{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{2n}{\frac {1}{k}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n+k}}\\&=2\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {k}{n}}}}\\&=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}dx\\&=2[\ln(1+x)]_{0}^{1}\\&=2\ln {2}\\&\approx {1.386294}\end{aligned}}}$

Multiplicando el índice

Usando el reordenamiento, se obtiene el siguiente conjunto de fórmulas:

${\displaystyle h_{2n}=4h_{n}+2n}$

${\displaystyle h_{3n}=9h_{n}+6n}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle h_{m*n}=m^{2}h_{n}+(m^{2}-m)n}$

Relación de proporción

Usando la fórmula final de antes con respecto a m y luego a n , y luego reduciendo y moviendo un poco, se puede llegar a la siguiente ecuación:

${\displaystyle {\frac {h_{m}+m}{h_{n}+n}}=\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}}$

Números de divisores de potencias de ciertos números naturales

${\displaystyle 12^{n-1}}$para n > 0 tiene divisores. ${\displaystyle h_{n}}$

Del mismo modo, para cualquier número natural de la forma donde p y q son números primos distintos, para n > 0 tiene divisores. ${\displaystyle r=p^{2}q}$ ${\displaystyle r^{n-1}}$ ${\displaystyle h_{n}}$

Demostración. tiene divisores de la forma , para k = 0 ... 2( n − 1), l = 0 ... n − 1. Cada combinación de k y l produce un divisor distinto, por lo que tiene divisores, es decir, divisores. ∎ ${\displaystyle r^{n-1}=(p^{2}q)^{n-1}=p^{2(n-1)}q^{n-1}}$ ${\displaystyle p^{k}q^{l}}$ ${\displaystyle r^{n-1}}$ ${\displaystyle [2(n-1)+1][(n-1)+1]}$ ${\displaystyle (2n-1)n=h_{n}}$

Números cuadrados hexagonales

La secuencia de números que son a la vez hexagonales y cuadrados perfectos comienza 1, 1225, 1413721,... OEIS : A046177 .

Véase también

• Número hexagonal centrado

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número hexagonal". MathWorld .