En teoría de grupos , el grupo de simetría de un objeto geométrico es el grupo de todas las transformaciones bajo las cuales el objeto es invariante , dotado de la operación grupal de composición . Tal transformación es un mapeo invertible del espacio ambiental que toma el objeto para sí mismo y que preserva toda la estructura relevante del objeto. Una notación frecuente para el grupo de simetría de un objeto X es G = Sym( X ).
Para un objeto en un espacio métrico , sus simetrías forman un subgrupo del grupo de isometría del espacio ambiental. Este artículo considera principalmente grupos de simetría en geometría euclidiana , pero el concepto también puede estudiarse para tipos más generales de estructura geométrica.
Consideramos que los "objetos" que poseen simetría son figuras, imágenes y patrones geométricos, como un patrón de papel tapiz . Para la simetría de objetos físicos, también se puede tomar su composición física como parte del patrón. (Un patrón puede especificarse formalmente como un campo escalar , una función de posición con valores en un conjunto de colores o sustancias; como un campo vectorial ; o como una función más general sobre el objeto). El grupo de isometrías del espacio induce una acción grupal sobre objetos en él, y el grupo de simetría Sym( X ) consiste en aquellas isometrías que asignan X a sí mismo (así como también asignan cualquier patrón adicional a sí mismo). Decimos que X es invariante bajo dicha aplicación, y que la aplicación es una simetría de X.
Lo anterior a veces se denomina grupo de simetría completa de X para enfatizar que incluye isometrías que invierten la orientación (reflexiones, reflexiones de deslizamiento y rotaciones impropias ), siempre que esas isometrías mapeen este X particular a sí mismo. El subgrupo de simetrías que conservan la orientación (traslaciones, rotaciones y composiciones de estas) se denomina grupo de simetría propia . Un objeto es quiral cuando no tiene orientación : invierte las simetrías, de modo que su grupo de simetría propio es igual a su grupo de simetría completo.
Cualquier grupo de simetría cuyos elementos tengan un punto fijo común , lo cual es cierto si el grupo es finito o la figura está acotada, puede representarse como un subgrupo del grupo ortogonal O( n ) eligiendo que el origen sea un punto fijo. El grupo de simetría adecuado es entonces un subgrupo del grupo ortogonal especial SO( n ), y se llama grupo de rotación de la figura.
En un grupo de simetría discreta , los puntos simétricos a un punto dado no se acumulan hacia un punto límite . Es decir, cada órbita del grupo (las imágenes de un punto dado bajo todos los elementos del grupo) forma un conjunto discreto . Todos los grupos de simetría finitos son discretos.
Los grupos de simetría discreta son de tres tipos: (1) grupos de puntos finitos , que incluyen sólo rotaciones, reflexiones, inversiones y rotoinversiones , es decir, los subgrupos finitos de O( n ); (2) grupos reticulares infinitos , que incluyen solo traslaciones; y (3) grupos espaciales infinitos que contienen elementos de los dos tipos anteriores, y quizás también transformaciones adicionales como desplazamientos de tornillos y reflejos de deslizamiento. También hay grupos de simetría continuos ( grupos de Lie ), que contienen rotaciones de ángulos arbitrariamente pequeños o traslaciones de distancias arbitrariamente pequeñas. Un ejemplo es O(3) , el grupo de simetría de una esfera. Los grupos de simetría de objetos euclidianos pueden clasificarse completamente como subgrupos del grupo euclidiano E ( n ) (el grupo de isometría de R n ).
Dos figuras geométricas tienen el mismo tipo de simetría cuando sus grupos de simetría son subgrupos conjugados del grupo euclidiano: es decir, cuando los subgrupos H 1 , H 2 están relacionados por H 1 = g −1 H 2 g para alguna g en E( n ). Por ejemplo:
En las siguientes secciones, solo consideramos grupos de isometría cuyas órbitas son topológicamente cerradas , incluidos todos los grupos de isometría discretos y continuos. Sin embargo, esto excluye por ejemplo el grupo 1D de traslaciones por un número racional ; una figura así no cerrada no se puede dibujar con una precisión razonable debido a su detalle arbitrariamente fino.
Los grupos de isometría en una dimensión son:
Hasta la conjugación, los grupos de puntos discretos en el espacio bidimensional son las siguientes clases:
C 1 es el grupo trivial que contiene sólo la operación de identidad, que ocurre cuando la figura es asimétrica, por ejemplo la letra "F". C 2 es el grupo de simetría de la letra "Z", C 3 el de un triskelion , C 4 de una esvástica , y C 5 , C 6 , etc. son los grupos de simetría de figuras similares parecidas a esvásticas con cinco, seis, etc. brazos en lugar de cuatro.
D 1 es el grupo de 2 elementos que contiene la operación de identidad y una única reflexión, que ocurre cuando la figura tiene un solo eje de simetría bilateral , por ejemplo la letra "A".
D 2 , que es isomorfo al grupo de cuatro de Klein , es el grupo de simetría de un rectángulo no equilátero. Esta figura tiene cuatro operaciones de simetría: la operación de identidad, un doble eje de rotación y dos planos especulares no equivalentes.
D 3 , D 4, etc. son los grupos de simetría de los polígonos regulares .
Dentro de cada uno de estos tipos de simetría existen dos grados de libertad para el centro de rotación, y en el caso de los grupos diédricos, uno más para las posiciones de los espejos.
Los restantes grupos de isometría en dos dimensiones con punto fijo son:
Las figuras no acotadas pueden tener grupos de isometría que incluyen traslaciones; estos son:
Hasta la conjugación, el conjunto de grupos de puntos tridimensionales consta de 7 series infinitas y otros 7 grupos individuales. En cristalografía , sólo se consideran aquellos grupos de puntos que conservan algo de red cristalina (por lo que sus rotaciones sólo pueden tener orden 1, 2, 3, 4 o 6). Esta restricción cristalográfica de las infinitas familias de grupos de puntos generales da como resultado 32 grupos de puntos cristalográficos (27 grupos individuales de las 7 series y 5 de los otros 7 individuos).
Los grupos de simetría continuos con punto fijo incluyen los de:
Para objetos con patrones de campo escalares , la simetría cilíndrica implica también simetría de reflexión vertical. Sin embargo, esto no es cierto para los patrones de campo vectorial : por ejemplo, en coordenadas cilíndricas con respecto a algún eje, el campo vectorial tiene simetría cilíndrica con respecto al eje siempre que tenga esta simetría (sin dependencia de ); y tiene simetría reflexiva sólo cuando .
Para la simetría esférica, no existe tal distinción: cualquier objeto con patrón tiene planos de simetría de reflexión.
Los grupos de simetría continuos sin punto fijo incluyen aquellos con eje de tornillo , como una hélice infinita . Véanse también subgrupos del grupo euclidiano .
En contextos más amplios, un grupo de simetría puede ser cualquier tipo de grupo de transformación o grupo de automorfismo . Cada tipo de estructura matemática tiene asignaciones invertibles que preservan la estructura. Por el contrario, especificar el grupo de simetría puede definir la estructura, o al menos aclarar el significado de congruencia o invariancia geométrica; ésta es una manera de ver el programa de Erlangen .
Por ejemplo, los objetos en una geometría hiperbólica no euclidiana tienen grupos de simetría fucsianos , que son los subgrupos discretos del grupo de isometría del plano hiperbólico, preservando la distancia hiperbólica en lugar de la euclidiana. (Algunos están representados en dibujos de Escher .) De manera similar, los grupos de automorfismos de geometrías finitas preservan familias de conjuntos de puntos (subespacios discretos) en lugar de subespacios, distancias o productos internos euclidianos. Al igual que las figuras euclidianas, los objetos en cualquier espacio geométrico tienen grupos de simetría que son subgrupos de las simetrías del espacio ambiental.
Otro ejemplo de grupo de simetría es el de un gráfico combinatorio : una simetría de gráfico es una permutación de los vértices que lleva aristas a aristas. Cualquier grupo presentado finitamente es el grupo de simetría de su gráfico de Cayley ; el grupo libre es el grupo de simetría de un gráfico de árbol infinito .
El teorema de Cayley establece que cualquier grupo abstracto es un subgrupo de las permutaciones de algún conjunto X y, por tanto, puede considerarse como el grupo de simetría de X con alguna estructura adicional. Además, muchas características abstractas del grupo (definidas puramente en términos de la operación del grupo) pueden interpretarse en términos de simetrías.
Por ejemplo, sea G = Sym( X ) el grupo de simetría finito de una figura X en un espacio euclidiano , y sea H ⊂ G un subgrupo. Entonces H puede interpretarse como el grupo de simetría de X + , una versión "decorada" de X . Una decoración de este tipo puede construirse de la siguiente manera. Agregue algunos patrones como flechas o colores a X para romper toda simetría, obteniendo una figura X # con Sym( X # ) = {1}, el subgrupo trivial; es decir, gX # ≠ X # para todo g ∈ G no trivial . Ahora obtenemos:
En este marco también se pueden caracterizar subgrupos normales . El grupo de simetría de la traslación gX + es el subgrupo conjugado gHg −1 . Por tanto, H es normal siempre que:
es decir, siempre que la decoración de X + pueda dibujarse en cualquier orientación, con respecto a cualquier lado o característica de X , y aun así producir el mismo grupo de simetría gHg −1 = H.
Como ejemplo, considere el grupo diédrico G = D 3 = Sym( X ), donde X es un triángulo equilátero. Este lo podemos decorar con una flecha en un borde, obteniendo una figura asimétrica X # . Dejando que τ ∈ G sea el reflejo del borde flechado, la figura compuesta X + = X # ∪ τ X # tiene una flecha bidireccional en ese borde, y su grupo de simetría es H = {1, τ}. Este subgrupo no es normal, ya que gX + puede tener la bi-flecha en un borde diferente, dando un grupo de simetría de reflexión diferente.
Sin embargo, dejando que H = {1, ρ, ρ 2 } ⊂ D 3 sea el subgrupo cíclico generado por una rotación, la figura decorada X + consta de 3 ciclos de flechas con orientación consistente. Entonces H es normal, ya que al dibujar dicho ciclo con cualquier orientación se obtiene el mismo grupo de simetría H.
