Punto fijo (matemáticas)

Elemento asignado a sí mismo mediante una función matemática.

Una función con tres puntos fijos.

En matemáticas , un punto fijo (a veces abreviado como punto fijo ), también conocido como punto invariante , es un valor que no cambia bajo una transformación dada . Específicamente, para funciones , un punto fijo es un elemento que la función asigna a sí mismo.

Punto fijo de una función.

Formalmente, c es un punto fijo de una función f si c pertenece tanto al dominio como al codominio de f , y f ( c ) = c .

Por ejemplo, si f se define en los números reales por

$${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4,}$$

ff (2) = 2

No todas las funciones tienen puntos fijos: por ejemplo, f ( x ) = x + 1 , no tiene puntos fijos, ya que x nunca es igual a x + 1 para ningún número real. En términos gráficos, un punto fijo x significa que el punto ( x , f ( x )) está en la recta y  =  x , o en otras palabras, la gráfica de f tiene un punto en común con esa recta.

iteración de punto fijo

En análisis numérico , la iteración de punto fijo es un método para calcular puntos fijos de una función. Específicamente, dada una función con el mismo dominio y codominio, un punto en el dominio de , la iteración de punto fijo es ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\,n=0,1,2,\dots }$$

lo que da lugar a la secuencia de aplicaciones de funciones iteradas que se espera que converjan en un punto . Si es continuo, entonces se puede probar que lo obtenido es un punto fijo de . ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots }$ ${\displaystyle x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0})),\dots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

Las nociones de atraer puntos fijos, repeler puntos fijos y puntos periódicos se definen con respecto a la iteración de puntos fijos.

Teoremas del punto fijo

Un teorema del punto fijo es un resultado que dice que existe al menos un punto fijo, bajo alguna condición general. ^[1]

Por ejemplo, el teorema del punto fijo de Banach (1922) proporciona un criterio general que garantiza que, si se cumple, la iteración del punto fijo siempre convergerá a un punto fijo.

El teorema del punto fijo de Brouwer (1911) dice que cualquier función continua desde la bola unitaria cerrada en el espacio euclidiano de n dimensiones hasta sí misma debe tener un punto fijo, pero no describe cómo encontrar el punto fijo.

El teorema del punto fijo de Lefschetz (y el teorema del punto fijo de Nielsen ) de la topología algebraica proporcionan una forma de contar puntos fijos.

Punto fijo de una acción grupal.

En álgebra , para un grupo G que actúa sobre un conjunto X con una acción de grupo , se dice que x en X es un punto fijo de g si . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle g\cdot x=x}$

El subgrupo de punto fijo de un automorfismo f de un grupo G es el subgrupo de G : ${\displaystyle G^{f}}$

$${\displaystyle G^{f}=\{g\in G\mid f(g)=g\}.}$$

De manera similar, el subanillo de punto fijo de un automorfismo f de un anillo R es el subanillo de los puntos fijos de f , es decir, ${\displaystyle R^{f}}$

$${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$$

En la teoría de Galois , el conjunto de los puntos fijos de un conjunto de automorfismos de campo es un campo llamado campo fijo del conjunto de automorfismos.

Propiedad de punto fijo topológico

Se dice que un espacio topológico tiene la propiedad del punto fijo (FPP) si para cualquier función continua ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f\colon X\to X}$

existe tal que . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=x}$

El FPP es un invariante topológico , es decir, se conserva mediante cualquier homeomorfismo . El FPP también se conserva ante cualquier retractación .

Según el teorema del punto fijo de Brouwer , todo subconjunto compacto y convexo de un espacio euclidiano tiene el FPP. La compacidad por sí sola no implica el FPP, y la convexidad ni siquiera es una propiedad topológica, por lo que tiene sentido preguntarse cómo caracterizar topológicamente el FPP. En 1932 , Borsuk preguntó si la compacidad junto con la contractibilidad podrían ser una condición necesaria y suficiente para que el FPP se mantuviera. El problema estuvo abierto durante 20 años hasta que Kinoshita refutó la conjetura y encontró un ejemplo de un espacio contráctil compacto sin FPP. ^[2]

Puntos fijos de pedidos parciales

En teoría de dominios , la noción y terminología de puntos fijos se generaliza a un orden parcial . Sea ≤ un orden parcial sobre un conjunto X y sea f : X → X una función sobre X . Entonces, un punto prefijado (también escrito punto prefijo , a veces abreviado como punto prefijo o punto prefijo ) ^{[ cita requerida ]} de f es cualquier p tal que f ( p ) ≤ p . De manera análoga, un punto postfijo de f es cualquier p tal que p ≤ f ( p ). ^[3] Ocasionalmente aparece el uso opuesto. ^[4] Malkis justifica la definición presentada aquí de la siguiente manera: "dado que f está antes del signo de desigualdad en el término f ( x ) ≤ x , tal x se llama punto prefijo ". ^[5] Un punto fijo es un punto que es a la vez un punto prefijo y un punto postfijo. Los puntos de prefijo y postfijo tienen aplicaciones en informática teórica . ^[6]

Punto menos fijo

En la teoría del orden , el punto menos fijo de una función de un conjunto parcialmente ordenado (poset) consigo mismo es el punto fijo que es menor que cada uno de los demás puntos fijos, según el orden del poset. Una función no necesita tener un punto mínimo fijo, pero si lo tiene, entonces el punto mínimo fijo es único.

Una forma de expresar el teorema de Knaster-Tarski es decir que una función monótona en una red completa tiene un punto fijo mínimo que coincide con su punto prefijo mínimo (y de manera similar, su punto fijo mayor coincide con su punto postfijo mayor). ^[7]

Combinador de punto fijo

En lógica combinatoria para informática , un combinador de punto fijo es una función de orden superior que devuelve un punto fijo de su función argumento, si existe. Formalmente, si la función f tiene uno o más puntos fijos, entonces ${\displaystyle {\mathsf {fix}}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathsf {fix}} f=f(\operatorname {\mathsf {fix}} f).}$

Lógicas de punto fijo

En lógica matemática , las lógicas de punto fijo son extensiones de la lógica de predicados clásica que se han introducido para expresar la recursividad. Su desarrollo ha sido motivado por la teoría descriptiva de la complejidad y su relación con los lenguajes de consulta de bases de datos , en particular con Datalog .

Aplicaciones

En muchos campos, los equilibrios o la estabilidad son conceptos fundamentales que pueden describirse en términos de puntos fijos. A continuación se muestran algunos ejemplos.

• En geometría proyectiva , a un punto fijo de una proyectividad se le ha llamado punto doble . ^{[8] [9]}
• En economía , el equilibrio de Nash de un juego es un punto fijo de la correspondencia de mejor respuesta del juego . John Nash aprovechó el teorema del punto fijo de Kakutani para su artículo fundamental que le valió el premio Nobel de economía.
• En física , más precisamente en la teoría de las transiciones de fase , la linealización cerca de un punto fijo inestable ha llevado al trabajo de Wilson , ganador del Premio Nobel, a inventar el grupo de renormalización , y a la explicación matemática del término " fenómeno crítico ". ^{[10] [11]}
• Los compiladores de lenguajes de programación utilizan cálculos de punto fijo para el análisis de programas, por ejemplo en el análisis de flujo de datos , que a menudo es necesario para la optimización del código . También son el concepto central utilizado por la interpretación abstracta del método genérico de análisis de programas . ^[12]
• En teoría de tipos , el combinador de punto fijo permite la definición de funciones recursivas en el cálculo lambda sin tipo .
• El vector de valores de PageRank de todas las páginas web es el punto fijo de una transformación lineal derivada de la estructura de enlaces de la World Wide Web .
• La distribución estacionaria de una cadena de Markov es el punto fijo de la función de probabilidad de transición de un paso.
• Los puntos fijos se utilizan para encontrar fórmulas para funciones iteradas .

Ver también

• Ciclos y puntos fijos de permutaciones.
• Vector propio
• Equilibrio
• Puntos fijos de una transformación de Möbius
• Idempotencia
• Composiciones infinitas de funciones analíticas.

• Invariante (matemáticas)

Notas

1. Marrón, RF, ed. (1988). Teoría del punto fijo y sus aplicaciones . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-5080-6.
2. Kinoshita, S. (1953). "Sobre algunas continuas contraíbles sin propiedad de punto fijo". Fondo. Matemáticas. 40 (1): 96–98. doi : 10.4064/fm-40-1-96-98 . ISSN  0016-2736.
3. Smith, Michael B.; Plotkin, Gordon D. (1982). "La solución teórica de categorías de ecuaciones de dominio recursivas" (PDF) . Actas, 18.º Simposio del IEEE sobre fundamentos de la informática . Revista SIAM de Computación (volumen 11). págs. 761–783. doi :10.1137/0211062.
4. Patricio Cousot; Radhia Cousot (1979). "Versiones constructivas de los teoremas del punto fijo de Tarski" (PDF) . Revista Pacífico de Matemáticas . 82 (1): 43–57. doi :10.2140/pjm.1979.82.43.
5. Malkis, Alejandro (2015). "La interpretación abstracta cartesiana multiproceso de programas recursivos multiproceso es polinómica" (PDF) . Problemas de accesibilidad . Apuntes de conferencias sobre informática. 9328 : 114–127. doi :10.1007/978-3-319-24537-9_11. ISBN 978-3-319-24536-2. S2CID  17640585. Archivado desde el original (PDF) el 10 de agosto de 2022.
6. Yde Venema (2008) Conferencias sobre el cálculo modal μ Archivado el 21 de marzo de 2012 en Wayback Machine .
7. Yde Venema (2008) Conferencias sobre el cálculo modal μ Archivado el 21 de marzo de 2012 en Wayback Machine .
8. Coxeter, HSM (1942). Geometría no euclidiana . Prensa de la Universidad de Toronto . pag. 36.
9. GB Halsted (1906) Geometría proyectiva sintética , página 27
10. Wilson, Kenneth G. (1971). "Grupo de renormalización y fenómenos críticos. I. Grupo de renormalización y el panorama de escala de Kadanoff". Revisión física B. 4 (9): 3174–3183. Código bibliográfico : 1971PhRvB...4.3174W. doi : 10.1103/PhysRevB.4.3174 .
11. Wilson, Kenneth G. (1971). "Grupo de renormalización y fenómenos críticos. II. Análisis de células fase-espacio del comportamiento crítico". Revisión física B. 4 (9): 3184–3205. Código bibliográfico : 1971PhRvB...4.3184W. doi : 10.1103/PhysRevB.4.3184 .
12. "P. Cousot & R. Cousot, Interpretación abstracta: un modelo de red unificada para el análisis estático de programas mediante construcción o aproximación de puntos fijos".

enlaces externos

• Una solución elegante para dibujar un punto fijo