En matemáticas , un grupo fucsiano es un subgrupo discreto de PSL(2, R ) . El grupo PSL(2, R ) puede considerarse de manera equivalente como un grupo de isometrías del plano hiperbólico que preservan la orientación , o transformaciones conformes del disco unitario, o transformaciones conformes del semiplano superior , por lo que un grupo fucsiano puede considerarse como un grupo que actúa en cualquiera de estos espacios. Hay algunas variaciones de la definición: a veces se supone que el grupo fucsiano está generado de forma finita , a veces se permite que sea un subgrupo de PGL(2, R ) (para que contenga elementos que invierten la orientación), y a veces se permite ser un grupo kleiniano (un subgrupo discreto de PSL(2, C ) ) que está conjugado con un subgrupo de PSL(2, R ).
Los grupos fucsianos se utilizan para crear modelos fucsianos de superficies de Riemann . En este caso, el grupo puede denominarse grupo fucsiano de la superficie . En cierto sentido, los grupos fucsianos hacen con la geometría no euclidiana lo que los grupos cristalográficos hacen con la geometría euclidiana . Algunos gráficos de Escher se basan en ellos (para el modelo de disco de geometría hiperbólica).
Los grupos fucsianos generales fueron estudiados por primera vez por Henri Poincaré (1882), motivado por el artículo (Fuchs 1880), y por lo tanto los nombró en honor a Lazarus Fuchs .
Sea H = { z en C : Im( z ) > 0} el semiplano superior . Entonces H es un modelo del plano hiperbólico cuando está dotado de la métrica
El grupo PSL(2, R ) actúa sobre H mediante transformaciones fraccionarias lineales (también conocidas como transformaciones de Möbius ):
Esta acción es fiel y, de hecho, PSL(2, R ) es isomorfa al grupo de todas las isometrías de H que conservan la orientación .
Un grupo fucsiano Γ puede definirse como un subgrupo de PSL(2, R ), que actúa de forma discontinua sobre H. Eso es,
Una definición equivalente para que Γ sea fucsiano es que Γ sea un grupo discreto , lo que significa que:
Aunque la discontinuidad y la discreción son equivalentes en este caso, esto no es generalmente cierto para el caso de un grupo arbitrario de homeomorfismos conformes que actúan sobre la esfera de Riemann completa (a diferencia de H ). De hecho, el grupo fucsiano PSL(2, Z ) es discreto pero tiene puntos de acumulación en la recta numérica real Im z = 0: los elementos de PSL(2, Z ) llevarán z = 0 a todo número racional, y los racionales Q son denso en R .
Una transformación fraccionaria lineal definida por una matriz de PSL(2, C ) preservará la esfera de Riemann P 1 ( C ) = C ∪ ∞, pero enviará la mitad superior del plano H a algún disco abierto Δ. La conjugación mediante dicha transformación enviará un subgrupo discreto de PSL(2, R ) a un subgrupo discreto de PSL(2, C ) preservando Δ.
Esto motiva la siguiente definición de grupo fucsiano . Sea Γ ⊂ PSL(2, C ) actuar invariantemente sobre un disco abierto adecuado Δ ⊂ C ∪ ∞, es decir, Γ(Δ) = Δ. Entonces Γ es fucsiano si y sólo si se cumple alguna de las siguientes tres propiedades equivalentes:
Es decir, cualquiera de estos tres puede servir como definición de un grupo fucsiano, y los demás pueden servir como teoremas. La noción de un subconjunto propio invariante Δ es importante; el llamado grupo Picard PSL(2, Z [ i ]) es discreto pero no conserva ningún disco en la esfera de Riemann. De hecho, incluso el grupo modular PSL(2, Z ), que es un grupo fucsiano, no actúa de forma discontinua en la recta numérica real; tiene puntos de acumulación en los números racionales . De manera similar, la idea de que Δ es un subconjunto propio de la región de discontinuidad es importante; cuando no es así, el subgrupo se denomina grupo kleiniano .
Lo más habitual es tomar el dominio invariante Δ como el disco unitario abierto o el semiplano superior .
Debido a la acción discreta, la órbita Γ z de un punto z en el semiplano superior bajo la acción de Γ no tiene puntos de acumulación en el semiplano superior. Sin embargo, puede haber puntos límite en el eje real. Sea Λ(Γ) el conjunto límite de Γ, es decir, el conjunto de puntos límite de Γ z para z ∈ H . Entonces Λ(Γ) ⊆ R ∪ ∞. El conjunto de límites puede estar vacío, contener uno o dos puntos, o puede contener un número infinito. En este último caso, existen dos tipos:
Un grupo fucsiano del primer tipo es un grupo para el cual el límite establecido es la recta real cerrada R ∪ ∞. Esto sucede si el espacio cociente H /Γ tiene volumen finito, pero existen grupos fucsianos del primer tipo de covolumen infinito.
En caso contrario, se dice que un grupo fucsiano es del segundo tipo . De manera equivalente, este es un grupo para el cual el conjunto límite es un conjunto perfecto que no es denso en ninguna parte en R ∪ ∞. Como no es denso en ninguna parte, esto implica que cualquier punto límite está arbitrariamente cerca de un conjunto abierto que no está en el conjunto límite. En otras palabras, el conjunto límite es un conjunto de Cantor .
El tipo de un grupo fucsiano no tiene por qué ser el mismo que su tipo cuando se lo considera un grupo kleiniano: de hecho, todos los grupos fucsianos son grupos kleinianos de tipo 2, ya que sus conjuntos de límites (como grupos kleinianos) son subconjuntos propios de la esfera de Riemann. , contenido en algún círculo.
Un ejemplo de grupo fucsiano es el grupo modular , PSL(2, Z ). Este es el subgrupo de PSL(2, R ) que consta de transformaciones fraccionarias lineales
donde a , b , c , d son números enteros. El espacio cociente H /PSL(2, Z ) es el espacio de módulos de curvas elípticas .
Otros grupos fucsianos incluyen los grupos Γ( n ) para cada número entero n > 0. Aquí Γ( n ) consiste en transformaciones fraccionarias lineales de la forma anterior donde las entradas de la matriz
son congruentes con los de la matriz identidad módulo n .
Un ejemplo co-compacto es el grupo de triángulos (ordinario, rotacional) (2,3,7) , que contiene los grupos fucsianos del cuártico de Klein y de la superficie de Macbeath , así como otros grupos de Hurwitz . De manera más general, cualquier grupo hiperbólico de von Dyck (el subgrupo índice 2 de un grupo de triángulos , correspondiente a isometrías que preservan la orientación) es un grupo fucsiano.
Todos estos son grupos fucsianos del primer tipo .
Si h es un elemento hiperbólico, la longitud de traslación L de su acción en el semiplano superior está relacionada con la traza de h como una matriz de 2 × 2 mediante la relación
Una relación similar se cumple para la sístole de la superficie de Riemann correspondiente, si el grupo fucsiano no tiene torsión y es cocompacto.
